高中數(shù)學(xué)(必修2)直線與平面的平行與垂直

(必修2)第一章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)直線與平面的平行與垂直1.理解直線與平面的位置關(guān)系，理解線面平行、線面垂直的定義.2.掌握線面平行、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能靈活運(yùn)用.3.掌握空間的平行關(guān)系、垂直關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化定理，并能靈活應(yīng)用.4.規(guī)范推理、論證等解題程序，培養(yǎng)并提升邏輯推理能力.1.對(duì)任意直線l和給定平面α，在平面α內(nèi)必存在直線m,使得直線m與l()CA.平行B.相交C.垂直D.互為異面直線

若l

α,則選項(xiàng)D錯(cuò)誤;若l∥α,則選項(xiàng)B錯(cuò)誤;若l∩α=P,則選項(xiàng)A錯(cuò)誤;而對(duì)于任意直線l，平面α內(nèi)必存在直線m與l或相交垂直或異面垂直，故選C.2.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面.給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α,n∥α,則m⊥n;②若α∥β,β∥γ,m⊥α,則m⊥γ;③若m∥α,n∥α,則m∥n;④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.

其中正確命題的序號(hào)是()AA.①②④B.②③④C.③④D.①④①正確，故排除答案B、C，又知②正確，故選A.1.直線與平面平行定義：直線a與平面α沒有公共點(diǎn)，稱直線a平行于平面α，記作a∥α.

判定定理:若①

外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.

性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的交線與該直線②

.平面平行2.直線與平面垂直定義:直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直,稱直線a垂直于平面α,記作a⊥α.判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條③

垂直，則該直線與此平面垂直.性質(zhì)定理:如果兩條直線同④

一個(gè)平面,那么這兩條直線平行.相交直線垂直于直線與平面垂直的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線PABCDABCDA1D1B1

C1

側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱垂直于底面的任何一條直線。PD⊥底面，則PD⊥AB，PD⊥BC，等。（2）性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行

mlm⊥

｝l⊥

ml//有關(guān)結(jié)論：1、垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；2、兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；3、兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于一條直線，則另一個(gè)平面也垂直于這條直線。3.空間平行關(guān)系及空間垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是立體幾何證明中常用思路以下是平行關(guān)系轉(zhuǎn)化圖：題型一線面平行的判定與應(yīng)用例1

已知正方形ABCD、ABEF構(gòu)成如圖的一個(gè)空間圖形，M、N分別是AE、DB上的點(diǎn)，且AM=DN.

證明：MN∥平面EBC.

證明線面平行常用的方法:一是判定定理，關(guān)鍵是在平面EBC上找一條直線與MN平行；二是先證明面面平行，再證明線面平行.(方法一)過M作MM1⊥BE于M1,過N作NN1⊥BC于N1，連接M1N1，則有MM1∥AB,且=,NN1∥CD,且=.又ABCD，AM＝DN,故MM1∥NN1，所以MN∥M1N1.又MN

平面EBC,M1N1

平面EBC，所以MN∥平面EBC.(方法二)如圖，連接AN并延長與BC(或BC的延長線)交于點(diǎn)Q，連接EQ.因?yàn)锳D∥BQ，所以=.而AM=DN,ME=NB，所以==.在△AEQ中，=,所以MN∥EQ.又MN

平面EBC,EQ

平面EBC，所以MN∥平面EBC.(方法三)如圖，過M作MK⊥AB于K,過N作NK1⊥AB于K1，則有MK∥EB，故=,NK1∥AD，故=.而AM=DN,AE=DB，所以=，所以K與K1重合.考慮平面MNK與平面EBC.由MK∥EB,MK

平面EBC,EB

平面EBC,得MK∥平面EBC.由NK∥AD，得NK∥BC.又NK

平面EBC,BC

平面EBC，所以NK∥平面EBC.又MK∩NK=K,所以平面MNK∥平面EBC,而MN

平面MNK，所以MN∥平面EBC.

本題呈現(xiàn)了證明線面平行的一般方法，前兩種證法本質(zhì)上都是利用判定定理，但找與MN平行的直線操作不一樣，證法二是先證面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)來說明線面平行.本題證明平行關(guān)系用的是比例關(guān)系，更有一般性.若M、N是所在邊的中點(diǎn)，直接利用中位線定理更簡(jiǎn)捷.本題的背景是幾何體中的局部“場(chǎng)景”，但所用的證明方法非常有代表性.

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,點(diǎn)M是PC的中點(diǎn),點(diǎn)G是DM上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)G和直線AP的平面交平面BDM于GH,求證：AP∥GH.

連接AC、BD，AC∩