專題08 旋轉模型證全等（含解析）

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專題08旋轉模型證全等

1．已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，則△ADE的面積為（）

A．1B．2C．5D．無法確定

2．如圖，按順時針方向轉動40°得，點D恰好在邊BC上，則∠C＝°．

3．如圖，將繞著直角頂點順時針旋轉，得到，連接，若，則度．

4．如圖，五邊形中，，則這個五邊形的面積等于．

5．如圖，和都是等腰直角三角形，，，則度．

6．在△ABC中，AO=BO，直線MN經(jīng)過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D

(1)當直線MN繞點O旋轉到圖①的位置時，求證：CD=AC+BD；

(2)當直線MN繞點O旋轉到圖②的位置時，求證：CD=AC-BD；

(3)當直線MN繞點O旋轉到圖③的位置時，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．

7．已知如圖，射線在的內(nèi)部，．點分別在射線上，且．連結．

（1）如圖1，若，延長到點，使，連接．求證：①≌．

②．

（2）如圖2，若，其它條件不變，問題（1）中的線段之間的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？請說明理由．

8．（1）問題背景：如圖1，在四邊形中，，，．分別是上的點，且，請?zhí)骄繄D中線段之間的數(shù)量關系是什么？

小明探究此問題的方法是：延長到點，使，連結．先證明，得；再由條件可得，證明，進而可得線段之間的數(shù)量關系是．

（2）拓展應用：如圖2，在四邊形中，，．分別是上的點，且．問（1）中的線段之間的數(shù)量關系是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．

（1）操作發(fā)現(xiàn)

如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關系為；

（2）猜想論證

當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關系，并對圖2的結論進行證明；

（3）拓展延伸

若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．

10．如圖，在中，，點P為邊上的一點，將線段繞點A順時針方向旋轉（點P對應點）．當旋轉至時，點恰好在同一直線上，此時作于點E．

（1）求證：；

（2）若，求的面積；

（3）在（2）的條件下，點N為邊上一動點，點M為邊上一個動點，連接，求的最小值．

11．（1）如圖，、、三點共線，，．

求證：；

（2）如圖，在中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉90°至，連接，

求的面積；

（3）在中，，，點在上，且，動點從點出發(fā)，沿射線以每秒1個單位長度的速度運動，連接，將線段繞點逆時針旋轉，得到線段，要是點恰好落在射線上，求點運動的時間．

（2023觀成周考）

12．（2023觀成周考）在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設∠BAC=α，∠BCE=β．

（1）如圖，當點D在線段BC上移動，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．

（2）當點D在直線BC上移動，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．

13．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠B+∠AEC＝180°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．求證：AC＝DC．

14．五邊形ABCDE中，，，，求證：AD平分∠CDE．

15．如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點于C，且∠BCA＝∠ECD，連結BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．

（1）求證：BE＝AD；

（2）若將等腰△DEC繞點C旋轉至圖2、3、4情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）

參考答案：

1．A

【分析】因為知道AD的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出△ADE的面積．過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可．

【詳解】過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，

∵∠EDF+∠FDC=90°，

∠GDC+∠FDC=90°，

∴∠EDF=∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，

所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．

故選A．

【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定方法；題目需要作輔助線構造直角三角形，利用全等三角形和面積公式來解答．對同學們的創(chuàng)造性思維能力要求較高，是一道好題．

2．70

【分析】由于△ABC按順時針方向轉動一個角后成為△AED，可求出AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，再由三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．

【詳解】∵△ABC按順時針方向轉動一個角后成為△AED，

∴△ABC≌△AED，

∴AD＝AC，∠EAB＝∠CAD＝40°，

∴∠C＝＝＝70°．

故答案為：70．

【點睛】本題考查的是圖形旋轉的性質及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．

3．70

【分析】首先由旋轉的性質，得△ABC≌△A′B′C，然后利用等腰直角三角形的性質等角轉換，即可得解.

【詳解】解：由旋轉的性質，得△ABC≌△A′B′C，

∴AC=A′C，∠BAC=∠B′A′C，∠ACA′=90°，

∴∠CAA′=∠CA′A=45°

∵

∴∠BAC=25°

∴∠BAA′=∠BAC+∠CAA′=25°+45°=70°

故答案為：70.

【點睛】此題主要考查利用全等三角形，旋轉求解角度，熟練掌握，即可解題.

4．1

【分析】將三角形ABC繞點C順時針旋轉至AB與AE重合，連AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可將五邊形ABCDE的面積轉化為兩個△ADF的面積，進而求出結論．

【詳解】解：延長DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，

由旋轉的性質可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），

∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°，

∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°，

∴D、E、F三點共線，

又∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD（SSS），

∴，

∵AB=CD=AE=BC+DE，，

∴DF=CD=1，

∵，

∴．

故答案為：1．

【點睛】本題考查全了等三角形的判定與性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．

5．132

【分析】先證明△BDC≌△AEC，進而得到角的關系，再由∠EBD的度數(shù)進行轉化，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得到答案．

【詳解】解：∵，∴，

在和中，，

∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴．

故答案為132

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題．

6．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）CD=BD-AC，證明見解析.

【分析】（1）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC+BD；

（2）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC-BD；

（3）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=BD-AC．

【詳解】解：（1）如圖1，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=AC+BD；

（2）如圖2，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OD﹣OC=AC﹣BD，即CD=AC﹣BD．

（3）如圖3，

∵△AOB中，∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

直線MN經(jīng)過點O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，

∴∠ACO=∠BDO=90°

∴∠AOC+∠OAC=90°，

∴∠OAC=∠BOD，

在△ACO和△ODB中，

,

∴△ACO≌△ODB（AAS），

∴OC=BD，AC=OD，

∴CD=OC﹣OD=BD﹣AC，

即CD=BD﹣AC．

【點睛】此題是一道幾何變換綜合題，需要掌握全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，是一個探究題目，對于學生的能力要求比較高.

7．（1）①見解析；②見解析；（2）不發(fā)生變化，仍然有，理由見解析．

【分析】（1）①根據(jù)SAS即可證得結論；

②根據(jù)全等三角形的性質可得∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，進而可得∠EAF=∠GAF，然后根據(jù)SAS即可證明△EAF≌△GAF，可得EF＝FG，進一步即可證得結論；

（2）延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG，根據(jù)SAS可證明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，然后仿（1）題的思路證明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，進而可得結論．

【詳解】解：（1）證明：①如圖1，在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）；

②由①知：△ABE≌△ADG，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，

∵∠EAF＝∠CAM=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°－60°=60°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△EAF和△GAF中，，

∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝GF，

∵GF＝DG+DF，BE＝DG，

∴BE+DF＝EF；

（2）不發(fā)生變化，結論EF＝BE+DF仍然成立；

理由：如圖3，延長FD到點G，使DG＝BE，連結AG．

∵，，∴∠ABE=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，

∵∠EAF＝∠BAD，∴∠BAE+∠DAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，

在△AEF和△GAF中，，

∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，

∵FG＝DG+DF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF．

【點睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，屬于常考題型，正確添加輔助線、熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．

8．（1）；（2）結論仍然成立；證明見解析．

【分析】（1）延長到點．使．連結，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；

（2）延長到點．使．連結，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題．

【詳解】（1），

理由如下：

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴；

故答案為：．

（2）結論仍然成立；

理由：延長到點．使．連結，如圖2，

∵，，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，

∴．

【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，四邊形綜合題，解題關鍵是添加輔助線構造全等三角形．

9．（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）圖2中BE＝AB+BD，圖3中，BD＝AB+BE，證明見解析；（3）72或2

【分析】（1）首先通過SAS證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質和等量代換即可得出答案；

（2）仿照（1）中證明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性質即可得出結論；

（3）首先求出BE的長度，然后利用S△AEDADEB即可求解．

【詳解】解：（1）如圖1中，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠A＝∠CBA＝45°，

∴∠CBE＝∠A＝45°，

∴ABE＝90°，

∴AB⊥BE，

∵AB＝AD+BD，AD＝BE，

∴AB＝BD+BE，

故答案為AB⊥BE，AB＝BD+BE．

（2）①如圖2中，結論：BE＝AB+BD．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，

∵AD＝AB+BD，AD＝BE，

∴BE＝AB+BD．

②如圖3中，結論：BD＝AB+BE．

理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

∵CA＝CB，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

∴AD＝BE，

∵BD＝AB+AD，AD＝BE，

∴BD＝AB+BE．

（3）如圖2中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝5+7＝12，

∵BE⊥AD，

∴S△AEDADEB12×12＝72．

如圖3中，∵AB＝5，BD＝7，

∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，

∵BE⊥AD，

∴S△AEDADEB2×2＝2．

【點睛】本題主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性質并分情況討論是關鍵．

10．（1）見解析；（2）9；（3）4.8

【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質可得，根據(jù)等邊對等角的性質可得，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，利用“角角邊”證明和△全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，然后求得PC的長，再根據(jù)三角形面積公式計算即可；

（3）過D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時H點即為N點，連接CM，再由等積法即可求出DN，即為MC+MN的最小值．

【詳解】解：（1）證明：是旋轉得到，

，

，

，，

，，

又

；

（2）如圖，過點作于，

又，，

，

，

，

又，

，

在和△中，

，

△，

，

，

，，

，，

設，則，，

在中，，

解得，

，

∴△PBC的面積==9；

（3）∵BP平分∠ABC，且PD⊥AB，

∴點D為C點關于BP的對稱點，連接CD，

過D作DH⊥BC，交BP于M，交BC于H，此時H點即為N點，連接CM，

∴CM=DM，MC+MN=MN+MD=DN，

由等面積法得：

，

∴，

即，

∴，

∴，

∴．

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，勾股定理，（2）作輔助線構造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關鍵．

11．（1）證明見解析；（2）8；（3）8

【分析】（1）由已知條件不難證明，再結合已知條件即可證明≌．

（2）將邊AC繞點A逆時針旋轉90°至，連接，根據(jù)旋轉的性質得出對應的角度，進而證明四邊形是直角梯形，用梯形的面積減去的面積即可得到的面積．

（3）類比第（1）問的證明過程，不難證明≌，即可得出OB=PC，由已知分別條件求出EC、OB的長度，即可得出EP的長度，即可得出點P的運動時間．

【詳解】（1），

，

，

在與中，

≌．

（2）如圖，將邊AC繞點A逆時針旋轉90°至，連接，

，，

由題意可得：，

∴

，

四邊形是直角梯形，

=

=

=

=

=8；

（3），，

OB=2，

由題意可得：，OP=OF，

，

，

，

，

，

，

在與中，

，

≌，

OB=PC=2，

EP=EC+PC=6+2=8，

點P運動的時間為t=8÷1=8秒．

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，是較為典型的一線三等角證明三角形全等，根據(jù)題意得出對應的角相等，從而證明三角形全等是解題關鍵．

12．（1）α＋β=180°，理由見解析；（2）當點D在線段BC上移動或點D在BC延長線上移動時，α＋β=180°；當點D在CB延長線上移動時，α=β，理由見解析．

【分析】（1）利用SAS證出△DAB≌△EAC，可得∠B=∠ACE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結論；

（2）根據(jù)點D的位置分類討論，分別畫出對應的圖形，根據(jù)全等三角形的判定及性質、三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質即可得出結論．

【詳解】解：（1）α＋β=180°，理由如下

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

（2）①當點D在線段BC上移動時，由（1）知α＋β=180°；

②當點D在BC延長線上移動時，如下圖所示

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC

∴∠EAC=∠DAB

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠B=∠ACE

∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°

∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°

∴α＋∠BCE=180°

∴α＋β=180°

③當點D在CB延長線上移動時，如下圖所示，連接BE

∵∠DAE=∠BAC

∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE

∴∠DAB=∠EAC

在△DAB和△EAC中

∴△DAB≌△EAC

∴∠ABD=∠ACE

∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE

∴∠BAC=∠BCE

∴α=β．

綜上：當點D在線段BC上移動或點D在BC延長線上移動時，α＋β=180°；當點D在CB延長線上移動時，α=β．

【