2022-2023學(xué)年江西省贛州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)綜合測試試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省贛州市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)綜合測試試題一、單選題1．若命題p的否定為：，則命題p為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用含有量詞的否定方法進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)槊}p的否定為：，所以命題p為：.故選：B.2．可化為()A． B．C． D．【答案】A【分析】將根式化為有理數(shù)指數(shù)冪的形式，即可得答案.【詳解】.故選：A3．甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選名，列出基本事件的總數(shù)，利用古典概型求解即可.【詳解】設(shè)甲校2男1女的編號分別為1，2，A，乙校1男2女編號分別為B，3，4，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，共計(jì)9個(gè)，選出的2名教師性別相同的結(jié)果有，，，共計(jì)4個(gè)，故選出的2名教師性別相同的概率為．故選：B.4．某飲料生產(chǎn)企業(yè)推出了一種有一定幾率中獎(jiǎng)的新飲料．甲?乙兩名同學(xué)都購買了這種飲料，設(shè)事件為“甲?乙都中獎(jiǎng)”，則與互為對立事件的是（

）A．甲?乙恰有一人中獎(jiǎng) B．甲?乙都沒中獎(jiǎng)C．甲?乙至少有一人中獎(jiǎng) D．甲?乙至多有一人中獎(jiǎng)【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念判斷即可.【詳解】“甲、乙恰有一人中獎(jiǎng)”與互斥但不對立，故A錯(cuò)誤；“甲、乙都沒中獎(jiǎng)”與互斥但不對立，故B錯(cuò)誤；“甲、乙至少有一人中獎(jiǎng)”與不互斥，故C錯(cuò)誤；“甲、乙至多有一人中獎(jiǎng)”與互斥且對立，故D正確．故選：D.5．若扇形的周長為36，要使這個(gè)扇形的面積最大，則此時(shí)扇形的圓心角的弧度為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)扇形的周長及面積公式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，據(jù)此利用弧長公式求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，所以，故當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，所以，故選：B6．已知復(fù)數(shù)，是關(guān)于的方程的兩根，則下列說法中不正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】B【分析】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程得，，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算判斷各選項(xiàng)．【詳解】對于關(guān)于的方程，則，∴，不妨設(shè)，，，故A正確；，故C正確；，∴，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，所以，，，同理，故D正確．故選：B．7．在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（

）.A．與 B．與C．與 D．與【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的判定并結(jié)合圖形判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖，選項(xiàng)A、B、C、D分別對應(yīng)圖1、圖2、圖3、圖4.對于A，與相交，截面與相交，故A錯(cuò)誤；對于B，截面與平行.證明：因?yàn)樗运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，，，所以平面平面.故B正確；對于C，截面與相交于D點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，與相交，截面與相交，故D錯(cuò)誤；故選：B.8．如圖，在長方體中，，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．B．與異面C．平面D．平面平面【答案】A【分析】根據(jù)題目信息和相似比可知，不可能平行于，與異面，可得A錯(cuò)誤，B正確；再利用線面平行和面面平行的判定定理即可證明CD正確.【詳解】如下圖所示，連接，根據(jù)題意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A錯(cuò)誤；易知與不平行，且不相交，由異面直線定義可知，與異面，即B正確；在長方體中，所以，即四邊形為平行四邊形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正確；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正確.故選：A二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．的共軛復(fù)數(shù)不是 B．C．復(fù)數(shù) D．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】ACD【分析】根據(jù)給定的條件，利用共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的意義判斷AB；利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算判斷CD作答.【詳解】復(fù)數(shù)，，對于A，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，不是，A正確；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，，C正確；對于D，是純虛數(shù)，D正確，故選：ACD10．下列說法正確的是（

）A．以三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．棱臺(tái)的側(cè)面都是等腰梯形C．底面半徑為r，母線長為2r的圓錐的軸截面為等邊三角形D．棱柱的側(cè)棱長都相等，但側(cè)棱不一定都垂直于底面【答案】CD【分析】根據(jù)圓錐、棱臺(tái)、棱柱的定義及結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.【詳解】圓錐是以直角三角形的某一條直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體，當(dāng)繞斜邊旋轉(zhuǎn)時(shí)，不是棱錐，故A錯(cuò)誤；棱臺(tái)的側(cè)面都是梯形，但棱臺(tái)的側(cè)棱不一定都相等，故B錯(cuò)誤；圓錐的軸截面是等腰三角形，其腰長為2r，又底面半徑為r，故等腰三角形的底邊為2r，即該圓錐的軸截面為等邊三角形，故C正確；棱柱的側(cè)面都為平行四邊形，所以側(cè)棱都相等，棱柱包含直棱柱與斜棱柱，故側(cè)棱不一定都垂直于底面，故D正確.故選：CD.11．某學(xué)校為普及安全知識(shí)，對本校1500名高一學(xué)生開展了一次校園安全知識(shí)競賽答題活動(dòng)（滿分為100分）.現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圖中的值為0.017B．該校高一至少有80%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間C．該校高一學(xué)生競賽得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為195人D．該校高一學(xué)生競賽得分的第75百分位數(shù)估計(jì)大于80【答案】ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖相關(guān)知識(shí)直接求解參數(shù)，從而判斷A；計(jì)算得分介于60至90之間的頻率，從而判斷B；根據(jù)得分不小于90的人數(shù)的頻率從而估計(jì)整體，從而判斷C；計(jì)算得分介于50至80之間的頻率，與0.75比較，從而判斷第75百分位數(shù)與80的大小關(guān)系,進(jìn)而判斷D.【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：，解得，故A正確；得分介于60至90之間的頻率為，即該校高一至少有77%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間，故B錯(cuò)誤；得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為，故C正確；得分介于50至80之間的頻率為，故D正確.故選：ACD12．銳角內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓O的半徑，點(diǎn)D在邊BC上，且，是靠近的三等分點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）

A．B．C．周長的取值范圍是D．的最大值為【答案】ABD【分析】由正弦定理可判斷A；由同弧所對的圓心角為圓周角的兩倍求得，進(jìn)而得出，在中，由余弦定理得，然后由勾股定理可判斷B；利用正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，然后求值域可判斷C；數(shù)形結(jié)合可判斷D．【詳解】對于A：由題知，，由正弦定理可得，又為銳角三角形，所以，故A正確；對于B：因?yàn)?，且是靠近的三等分點(diǎn)，所以，，連接，由（1）得，則，所以，在中，由余弦定理得，所以，即，故B正確；對于C：因?yàn)?，所以，，則周長，因?yàn)闉殇J角三角形，故，解得，所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對于D：易知，當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線時(shí)取得最大值，所以AD的最大值為，故D正確，故選：ABD．

三、填空題13．函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】滿足被開方數(shù)大于等于0的自變量的范圍構(gòu)成的集合即為定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足即得當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，解得.綜上，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：14．已知向量，滿足，，，則．【答案】【分析】由可得，再由，代入化簡即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，，則，所以，所以，解得：，.故答案為：.15．已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，則這個(gè)球的表面積為.【答案】【分析】由題意求出底面正方形邊長，進(jìn)而根據(jù)正四棱柱的體對角線長即為其外接球的直徑，求出球的半徑，即可得答案.【詳解】由題意知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為32，故正四棱柱的底面積為8，則底面正方形邊長為，又因?yàn)檎睦庵捏w對角線長即為其外接球的直徑，故外接球半徑為，故這個(gè)球的表面積為，故答案為：16．已知，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意的實(shí)數(shù)x，都有成立，則的最小值為.【答案】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，分析可知是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，求出函數(shù)最小正周期的最大值，可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)，使得對任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則是函數(shù)的最小值，是函數(shù)的最大值，因?yàn)?，若使得最小，則函數(shù)的最小正周期取最大值，且函數(shù)最小正周期的最大值為，故的最小值為，則的最小值為.故答案為：.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位．(1)若，求的值；(2)若為實(shí)數(shù)，求的值；(3)若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求的值．【答案】(1)0(2)1(3)或【分析】（1）直接列方程求解即可；（2）把代入化簡，然后由虛部為零，可求出的值；（3）把代入方程化簡，然后列方程組可求出的值．【詳解】（1）因?yàn)椋?（2）因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，解得.（3）因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以，整理得，所以，解得或.18．已知函數(shù).(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)；【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡，從而可得的值；（2）由得，從而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?（2）由，可得，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.19．在中，角的對邊分別為，.(1)若，求；(2)若，點(diǎn)在邊上，且平分，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和、差的余弦公式求出，由誘導(dǎo)公式求出，即可求出，最后由計(jì)算可得；（2）利用二倍角公式求出，再由求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，則，，又，，則，又，所以，則.（2）由（1）知，則，由得，即，則，即，解得，所以的面積.20．如圖，以菱形ABCD的一邊AB所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個(gè)幾何體，已知，．

(1)求該幾何體的體積；(2)求該幾何體的表面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意可知該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一小個(gè)與上部分相同的圓錐，再根據(jù)圓柱的體積公式即可得解；（2）根據(jù)圓柱和圓錐的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】（1）如圖，這是所求的幾何體，該幾何體上部分為圓錐，下部分為在圓柱內(nèi)挖去一小個(gè)與上部分相同的圓錐，易知點(diǎn)D到AB的距離為，即圓柱底面圓的半徑為，所以該幾何體的體積為；（2）圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以該幾何體的表面積為．

21．如圖，在梯形中，，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，線段上一動(dòng)點(diǎn)滿足.分別交、于，兩點(diǎn)，記，.

(1)當(dāng)時(shí)，用，表示；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由平面向量基本定理，即可表示出.（2）根據(jù)題意，連接，，用，分別表示出，，然后根據(jù)，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線列出方程表示出，再結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴，∴，（2）

連接，，則因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，設(shè)，，所以，因?yàn)椋?，得因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，即，代入得因?yàn)椋越獾靡驗(yàn)?，∵，∴?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，∴的最大值是22．如圖①，在梯形中，，，，將沿邊翻折至，使得，如圖②，過點(diǎn)作一平面與垂直，分別交于點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得到，最后利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）方法一：通過作垂線的方法得到垂線段的長度即為點(diǎn)到平面的距離，然后求距離即可；方法二：利用等體積的方法求點(diǎn)到面的距離即可.【詳解】（1）證明：如圖①，，，，，，，

如圖