第三章 冪級數(shù)展開

第三章冪級數(shù)展開第1頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月復數(shù)項級數(shù)意義:

級數(shù)在某項后的任意項之和趨于零.收斂判據(jù):給定,必有N存在,當n>N時,有這里為任意正整數(shù).必要條件：第2頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月復函數(shù)級數(shù)的運算1.兩級數(shù)相乘2.級數(shù)的倒數(shù)如級數(shù)的各項在曲線上連續(xù),則級數(shù)和的積分可逐項積分后求和(積分與求和可交換次序).如級數(shù)的各項在區(qū)域內解析,則級數(shù)和的微分可逐項微分后求和(求導與求和可交換次序).3.級數(shù)的積分4.級數(shù)的微分兩級數(shù)各項相乘后按對角線項組合.級數(shù)的倒數(shù)或除法按多項式除法進行.第3頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月兩級數(shù)相乘第4頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月

一個冪級數(shù)必有一個以為圓心,以R為半徑的收斂圓.圓內冪級數(shù)收斂,圓外冪級數(shù)發(fā)散,圓周上冪級數(shù)的斂散性要具體判斷.收斂半徑：一.冪級數(shù)第5頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月解析函數(shù)在其解析點的鄰域可以展開成泰勒級數(shù)(正冪項冪級數(shù)).及其鄰域內單值解析在意義---解析函數(shù)在為中心的圓域內可以用正冪級數(shù)表示.二.泰勒級數(shù)條件:第6頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月科希公式泰勒展開公式等比級數(shù)由于泰勒公式的證明:第7頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月代入科希公式中有同時(再比較)科希公式第8頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月級數(shù)形式應是第11頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月級數(shù)形式應是第12頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月主要部分(負冪項)解析部分(正冪項)條件:在環(huán)域內單值解析

解析函數(shù)在除去其奇點的環(huán)域可以展開成羅朗級數(shù)(含有正負冪項的冪級數(shù)).意義:解析函數(shù)在以為中心的環(huán)域可以用含有正負冪項的冪級數(shù)表示.三.羅朗級數(shù)第13頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月關于羅朗級的說明:是級數(shù)的奇點,但不一定是的奇點。展開系數(shù)若僅有環(huán)心是的奇點,則內園半徑可任意小。羅朗級數(shù)具有唯一性。第14頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月解析延拓

一、解析延拓的含意解析延拓就是通過函數(shù)的替換來擴大解析函數(shù)的定義域。替換函數(shù)在原定義域上與替換前的函數(shù)相等。二、解析延拓的唯一性無論用何種方法進行解析延拓，所得到的替換函數(shù)都完全等同。第15頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例1的環(huán)域上將函數(shù)在展開為羅朗級數(shù).解:環(huán)域中心為z=0,展開區(qū)域為().等比級數(shù)羅朗展開系數(shù)級數(shù)形式應是第16頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例2在

z=1

的鄰域將函數(shù)作冪級數(shù)展開.作代換z-1=u,有z=u+1,則由于z=1是函數(shù)的奇點,所以展開式為羅朗級數(shù)解:級數(shù)形式應是第18頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例3將函數(shù)在分別展開成羅朗級數(shù).內,(1)在內,(2)在內,內,(3)在級數(shù)形式應是解:第19頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月練習.將函數(shù)在下列區(qū)域分別展開成羅朗級數(shù).解3).作代換z+1=u,有z=u-1,則4).作代換z+1=u,有z=u-1,則第20頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月物理和工程的近似計算中常用的級數(shù)展開式1.泰勒公式2.牛頓二項式3.等比級數(shù)第21頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月例()第22頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月四.孤立奇點性質的分類在該點的冪級數(shù)展開中主要部分有無窮多項.在該點的冪級數(shù)展開中主要部分的最高冪項為:在該點的冪級數(shù)展開中主要部分只有負一次冪一項:在該點的冪級數(shù)展開中沒有主要部分(沒有負冪項).(一階極點)單極點:可去奇點:m階極點:本性奇點:第23頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月判定孤立奇點性質的方法

1.先找出函數(shù)的奇點2.把函數(shù)在的環(huán)域作羅朗展開

如果負冪項的最高項為2).如果展開式中有無窮多負冪項,則1).如果展開式中沒有負冪項,則為可去奇點為本性奇點3).如果展開式中只有有限項負冪項,則為極點,則為m階極點(一).基本方法----羅朗展開第24頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月(二)不作羅朗展開時判定孤立奇點性質的步驟:1.先找出函數(shù)的奇點3.對于極點,再按下述方法判斷極點的階:第25頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月1).直接作:極點的階的判斷方法2).第26頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月用羅朗展開法第27頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月用羅朗展開z=1是本性奇點第28頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月用羅朗展開3).奇點是z=0z=0是1階極點第29頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月補充習題找出奇點并判斷其性質(4).第30頁，課件共31頁，創(chuàng)作于2023年2月二.冪級數(shù)的形式冪級數(shù)小結一.級數(shù)的運算(級數(shù)的收斂、乘、除、微分、積分)四.解析函數(shù)在除去其奇點的環(huán)域可以展開成含有正負冪項的冪級數(shù)(叫羅朗級數(shù)----羅朗級數(shù)在環(huán)域內收斂).三.解析函數(shù)在其解析點的鄰域(圓域)可以展開成正冪項冪級數(shù)(叫泰勒