新高考數(shù)學(xué)人教版一輪課件第七章第七節(jié)立體幾何中的向量方法

第七節(jié)立體幾何中的向量方法知識(shí)點(diǎn)空間角的求法1．設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，ν，則(1)線線平行：

；線面平行：

；面面平行：

.l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R

l∥α?a⊥u?a·u＝0α∥β?u∥ν?u＝kν，k∈R

(2)線線垂直：

；線面垂直：

；面面垂直：

.l⊥m?a⊥b?a·b＝0l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R

α⊥β?u⊥ν?u·ν＝02．空間角的求法(1)異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則②如圖b，c，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝

，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．

|cos〈n1，n2〉|?

溫馨提醒

?利用空間向量法求二面角時(shí)易忽視判斷二面角大小，從而致誤．解題時(shí)注意結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，從而在下結(jié)論時(shí)作出正確判斷．1．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為_(kāi)_______．答案：45°或135°2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為_(kāi)_______．

題型一異面直線所成的角合作探究[例]

(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

[解析]

(1)證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD為正方形，所以AD⊥DC，所以AD⊥平面PDC.因?yàn)锳D∥BC，AD?平面PBC，所以AD∥平面PBC.因?yàn)锳D?平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，所以l∥AD，因此l⊥平面PDC.向量法求異面直線所成角的兩種方法及一個(gè)注意點(diǎn)(1)兩種方法：①基向量法：利用線性運(yùn)算．②坐標(biāo)法：利用坐標(biāo)運(yùn)算．(2)一個(gè)注意點(diǎn)：注意向量法求異面直線所成角與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2020·高考北京卷)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BB1的中點(diǎn)．(1)求證：BC1∥平面AD1E；(2)求直線AA1與平面AD1E所成角的正弦值．

[解析]

(1)證明：連接BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C是矩形，所以點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn)，又點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以DE是△ABC1的中位線，所以DE∥AC1.因?yàn)镈E?平面B1CD，AC1?平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD.(2)由AB＝2，AC＝1，∠ABC＝30°，可得AC⊥BC，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

利用平面的法向量求線面角的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角即為所求．(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要誤認(rèn)為直線的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值即為所求．A題型三二面角合作探究利用法向量求二面角時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)對(duì)于某些平面的法向量要注意題中條件隱含著，不用單獨(dú)求．(2)注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進(jìn)行判斷，以防結(jié)論失誤．(2)由題知，DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.數(shù)學(xué)運(yùn)算—