水平寬鉛垂高求三角形面積

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日作三角形鉛垂高是解決三角形面積問題的一個好法子之邯鄲勺丸創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日二次函數(shù)教學反思鉛垂高?§§如圖，過4ABC的三個極點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫4ABC的“水平寬”（a）,中間的這條直線在^ABC內部線段的長度叫4ABC的“鉛垂高”（h）.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S^ABC=1\2ah,即三角形面積即是水平寬與鉛垂高乘積的一半.最近教學二次函數(shù)遇到很多求三角形面積的問題，經過研究,我發(fā)現(xiàn)作三角形鉛錘高是解決三角形面積問題的一個好法子.在課堂上我還風趣地說遇到“歪歪三角形中間砍一刀”，同學們很快掌握了這種方法現(xiàn)總結如下：如圖1,過4ABC的三個極點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a）,中間的這條直線在4ABC內部線段的長度叫△創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日ABC法：的“鉛垂高（h）”.我們可得出一種計算三角形面積的新方ABC法：s=』ah,即三角形面積即是水平寬與鉛垂高乘積的一半.C標系中3水平寬a圖1例1.（2013B深圳）如圖，尸號yOA,速線C標系中3水平寬a圖1例1.（2013B深圳）如圖，尸號yOA,速線A/的坐標為〈一2,Oa繞原點o順時針旋轉120。，：獲得線段OB.（l）求點B的坐標；（2）求經過A、0、B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使4B0C的周長最?。咳舸嬖?，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由.（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么4PAB是否有最年夜面積？若有，求出此時P點的坐標及4PAB的最年夜面積；若沒有，請說明理由.解：（1）B（1,,：3）（2）設拋物線的解析式為y=ax（x+a）,代入點B（1,6）,得a二昱，因此y二12+遼x3 3 3（3）如圖，拋物線的對稱軸是直線x=-1,當點C位于對稱軸與線段AB的交點時，4B0C的周長最小.設直線AB為y=kx+b.所以Jk+b=后解得廠=T,因此直線AB為[-2k+b=0 七2看b= [3y-亙x+亙,當x=-1時，y_近,因此點C的坐標為（一1,33 3創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日Q/3).(4)如圖，過P作y軸的平行線交AB于D.當x二一1時，4PAB的面積的最年夜值為姮,此時一旦].2 8 12，4,例2.(2014益陽)如圖2,拋物線極點坐標為點C(1,4)，交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；⑵點P是拋物線(在第一象限內)上的一個動點，連結PA,PB,當P點運動到極點C時，求4CAB的鉛垂高CD及sa四；(3)是否存在一點P,使S4二9S,若存在，求出P點的坐標；若不存△PAB8ACAB在，請說明理由.圖-2解：(1)設拋物線的解析式為：y]=a(x-1)2+4把A(3,0)代入解析式求得a=-1所以y「-(x-1)2+4=-x2+2x+3設直線AB的解析式為：y2=kx+b由y「-x2+2x+3求得B點的坐標為(0,3)把A(3,0)，B(0,3)代入y=kx+b中解得：k二-1,b二3所以圖-2y2=-x+3⑵因為C點坐標為(1,4)所以當x=l時，5=4,y2=2所以CD=4-2=2S=L3X2=3(平方單元)ACAB2⑶假設存在符合條件的點P,設P點的橫坐標為X,4PAB的鉛垂高為h,貝Uh-y-y=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x由SApar=~Satar,1 /2 APAB8ACAB得1X3x(—x2+3x)—9x3化簡得：4x2-12x+9-0解得，x-3將x-32 8 2 2代入y1--x2+2x+3中，解得P點坐標為J?)例3.(2015江津)如圖，拋物線y--x2+bx+c與X軸交于創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日A(1,0),B(-3,0)兩點，(1)求該拋物線的解析式；(2)設(1)中的拋物線交y軸于C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得4QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.(3)在(1)中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P,使4PBC的面積最年夜？，若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最年夜值.若沒有，請說明理由.解：(1)將A(1,0),B(—3,0)代——%2+隊+c中得(T+b+c=0???[-9-3b+c=0(b=-2[c=3??拋物線解析式為：尸-x2-2x+3(2)存在.理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=-1對稱??直線BC與%=-1的交點即為Q點，此時4AQC周長最小;y=—x2—2x+3?.C的坐標為：(0,3)直線BC解析式為：y=x+3Q點坐標即為「=-1的解[y=x+3?.(x=-1???Q(—1,2)[y=2(3)答：存在.理由如下：設P點 (x,-x2-2x+3)(-3<x<0) ,S=S-S=S-9若S 有最年夜值，則S就△BPC 四邊形BPCO △BOC 四邊形BPCO2 四邊形BPCO △BPC最年夜,?S=S+S =1BE.PE+1OE(PE+OC)四邊形BPCORtMPE直角梯形PEOC2 2創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日_1 1 -3 3 927那時%二-3,2927927 1 ——= 2 8 2 8那時%--3,2—2（%+3）（-%2-2%+3）+2（-%）（-%2-2%+那時%二-3,2927927 1 ——= 2 8 2 8那時%--3,2最年夜值=9+27???S最年夜=四邊形BPCO 2 8 ABPC-%2-2%+3二15???點P坐標為（-2,9同學們可以做以下練習:1.(2015浙江湖州)已知如圖，矩形OABC的長OA=*5,寬OC=1,將4AOC沿AC翻折得AAPC.(1)填空：ZPCB=度，P點坐標為(,)；(2)若P,A兩點在拋物線y二一4x2+bx+c上，求b,c的值，3并說明點C在此拋物線上；于點A(1,0)和點B(—3,0),與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；(2)設拋物線的對稱軸與％軸交于點M,問在對稱軸上是否存在點P,使4CMP為.等腰所有符合條件的點軸上是否存在點P,使4CMP為.等腰所有符合條件的點P的坐標；若不角形？若存在，請直接寫出存在，請說明理由.(3)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最年夜值，并求此時￡點的坐標.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日圖① 圖②3.（2015年恩施）如圖11,在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與X軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3,0）,與y軸交于C（0,-3）點，點P是直線BC下方的拋物線上一動點.（1）求這個二次函數(shù)的表達式.（2）連結PO、PC,并把4POC沿CO翻折，獲得四邊形POP/C,那么是否存在點P,使四邊形POP,C為菱形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.（3）當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最年夜并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最年夜面積.解：（1）將B、C兩點的坐標代入得尸b+c=0[c二-3 圖11解得：1b二一2所以二次函數(shù)的表達式為：y=x2—2x—3Ic=-3(2)存在點P,使四邊形POP,C為菱形.設P點坐標為(x,x2-2X-3),PP,交為于￡若四邊形POP/C是菱形，則有PC=PO.連結PP/則PELCO于E,???OE=EC=y=-3.-2???x2-2x-3=3解得x=2+.,x=2-40(分歧題意,—2 1 2 2 2創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日舍去)???P點的坐標為(2+6°2(3)(x,過點P作y軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點F,(3)(x,%2-2%一3),易得，直線BC的解析式為y二%一3則Q點的坐標為(標為(x,x—3).S四邊形ABPC=S+S+S=1AB.OC+1QP.OE+1QP?EB

AABC ABPQ ACPQS四邊形ABPC=1x4x3+1(-%2+3%)x32 2%一一當%"I當%"I時,四邊形ABPC的面積最年夜此時P點的坐標為(3-竺］,四邊形ABPC的面積124)的最大值為758.25.(2015綿陽)如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸的兩個交點分別為A(—4,0)、B(2,0),與y軸交于點C,極點為D.E(1,2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫召盤點D的坐標；(2)在直線EF上求一點H,使4CDH的周長最小，并求出最小周長；(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當K運動到什么位置時，4EFK的面積最年夜？并求出最年夜面積.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日【解析】(1)由題意,得“a-4b+4=0,解得1,b=—1.a 【解析】(1)由題意,4a+2b+400, 2所以拋物線的解析式為y__L27+4，極點D的坐標為(一1,2(2)設拋物線的對稱軸與x軸交于點M.因為EF垂直平分BC,即C關于直線EG的對稱點為B,連結BD交于EF于一點，則這一點為所求點H,使DH+CH最小，即最小為DH+CH=DH+HB=BD1BE=3品.而TOC\o"1-5"\h\z■ 9 "5CD=,12+(——4)2=——?2 2???△CDH的周長最小值為CD+DR+CH=?無+3、.2設直線BD的解析式為y=klx+b,則］2%Jbi=09 解得k=_3「ki+bi=2， 12bl=3.所以直線BD的解析式為y=_3x+3.由于BC=2,CE=BC2/2=、：5,Rt^CEGs^COB,得CE:CO=CG:CB,所以CG=2.5,GO=1.5.G(0,1.5).同理可求得直線EF的解析式為y=1x+3得CE:CO=CG:CB,2 2聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使4CDH的周長最小的點H(3415).8創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日(3)如圖所示，設K(t,J,2T+4)，xF<t<xE.過K作x軸2的垂線交EF于N.則KN=yK-yN=」2T+4一(11+3)=.L2二t+5.TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 2 2所以SAEFK=SAKFN+SAKNE=1KN(t+3)+1KN(1-t)=2 22KN=-t2-3t+5=-(t+3)2+29,2 4即當t=-3時，^EFK的面積最年夜，最年夜面積為絲，此時K2 4(-3,35).8平面直角坐標系中三角形面積的求法我們經常會遇到在平面直角坐標系中求三角形面積的問題.解題時我們要注意其中的解題方法和解題技巧.1,有一邊在坐標軸上:例1：如圖1,平面直角坐標系中，4ABC的極點坐標分別為一一1一一—-4——I-(—3,0),(0,3),(0,-1),求4ABC的面積.匚口二I T 1 分析：根據三個極點的坐標特征可以看出，^ABC的邊檢一一1一一—-4——I-(—3,0),(0,3),(0,-1),求4ABC的面積.匚口二I T 1 分析：根據三個極點的坐標特征可以看出，^ABC的邊檢I--T 1--I -|-rKI F-y軸上,L_1由圖形可得BC=4,點A到BC邊的距離就是A點到y(tǒng)軸的施離11—」 L1一一「1),B1),B也就是A點橫坐標的絕對值3,然后根據三角形的面積公式求解.2,有一邊與坐標軸平行：例2：如圖2,三角形48，三個極點的坐標分別為A(4,(4,5),C(-1,2),求4ABC的面積.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日

創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日分析：由A(4,1),B(4,5)兩點的橫坐標相同，可知邊AB與y軸平行，因而AB的長度易求.作AB邊上的高CD,就可求得線段CD的長，進而可求得三角形ABC的面積..三邊均不與坐標軸平行:例3：例3：已知平面內三點月，氏C的坐標如圖所示，求的面積.分析：由于三邊均不服行于坐標軸，所以我們無法:直接34.三角形面積公式的推廣:過4ABC三個極點分別作與水平線垂直的三條直線垂高水平寬\a4.三角形面積公式的推廣:過4ABC三個極點分別作與水平線垂直的三條直線垂高水平寬\a心廣1J--LJ■^-2.-2)\\：■\\直線之間的距離叫^ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線△ABC內部線段的長度叫