孔明是一個喜歡探究鉆研的同學,他在和同學們一起研究某條拋物

23.(2011廣東株洲，24，10分)孔明是一個喜歡探究鉆研的同學，他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax2(a<0)的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點，請解答以下問題：若測得OA=OB=2五(如圖1),求a的值；對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉到如圖2所示位置時，過B作BF4軸于點F,測得OF=1,寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標；對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發(fā)現，交點A、B的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標設點A(設點A(-m,一丄m2)(m>0),則OE=m,21AE=—m2,2【答案】解：(1)設線段AB與y軸的交點為C,由拋物線的對稱性可得C為AB中點,?/OA=OB=2^2，厶OB=90°,.??AC=OC=BC=2,.??B(2,-2),將B(2,-2)代入拋物線y=ax(a<0)得，a=-.2(2)解法一：過點A作AE4軸于點E,?/點B的橫坐標為1,.(1,-丄),2:.BF=丄.又\，ZAOB=90°，易知厶OE=XOBF,又ZAEO=XOFB=90。,2AEOF1:△EOsZFB,：.——===2/.AE=2OE,OEBF1.??m=4，即點A的橫坐標為-4.1212解法二：過點A作AE丄x軸于點E,1AE=m*2*2?:—m2=2m2??1AE=m*2*2?:—m2=2m2???點B的橫坐標為1,:B(1,-1),2設A(-m,一—m22(m>0).15OB2=12+(―)2=,24OA21—m4,AB2=(1+m)2411+(一—+—m2)2,22?ZAOB=90°,:.AB2=OA2OB2，.11.?(1+m)2+(一—+—m2)22211(1+m)2+(一一+—m2)2,22?/點B的橫坐標為1,?：（1,-丄）,2：?tanZOBF==丄=2BF1VZ4OB=90°,易知Z4OE=zOBF,AE=tanZAOE=tanZOBF=2,?:AE=2OE,OE解得：m=4，即點A的橫坐標為-4.-—n2)(n〉0),2(3)解法一：設A(-m,一丄m)(m-—n2)(n〉0),2設直線AB的解析式為：y=kx+b,一mk+b則<nk+b=1=一—m221一—n22(1)(2)(l)xn+(2)xm得,(l)xn+(2)xm得,(m+n)b=一—(m2n+mn2)=一—mn(m+n),22AEOE0.5m2m又易知NAEOs^OFB,..=，…，=,.?mn=4,OFBFn0.5n2：.b=--x4=-2.由此可知不論k為何值，直線AB恒過點（0,-2）,2（說明：寫出定點C的坐標就給2分）解法二：設A（一m，一-_m2)2(m>0),B（n，-一n2)2(n>0),直線AB與y軸的交點為C,根據S:=S一S—S—S+S可AAOB梯形ABFEAAOEAB0FAAOCABOC得111111111—?(—n2+—m2)(m+n)一—?m?—m2一—?n■—n2=—?OC-m+—?OC-n,222222222化簡，得OC=mn.2又易知△AEOsAOFB,.aeOE,0.5m2m.mn=4.OC=2為固定值.??—,??——OFBFn0.5n2故直線AB恒過其與y軸的交點C（0,-2）說明：mn的值也可以通過以下方法求得.由前可知，OA2=m2+丄m4,OB2=n2+丄n4,AB2=(m+n)2+(--m2+丄n2)2,由OA2+OB2=由OA2+OB2=AB2，得:24.⑶以AC,CB為一組鄰邊作口ABCD，則點D關于x軸的對稱點D是否在該拋物線上?請說明理由.39以設BD39以設BD的解析式為y=--x+b，因為B(3,0)，所以b=-，直線BD的解析式223911為：y=-%+，同理可得:直線AD的解析式為:y=x+，因此直線BD與CD的交2222331點坐標為:(2,)，則點D關于x軸的對稱點D"是(2,-)，當x=2時代入y=x2-x-第即題圖【答案】解：⑴??二拋物線y=1x2-x+a的頂點坐標為(-—,222"—方2222222213得,y=-—,所以D柱二次函數y=x2-x-的圖象上.2a4a13點在直線y=-2x上，所以y=-2,即頂點坐標為(1,-2),??2=—-1+a,即a=-—4;(2)二次函22數的關系式為y=x2-x-，當y=0時，2213x2-x-=0，解之得：x=-1,x=-，即A(-1,0),B(3,0)；(3)如圖所示:221233直線BD//ACAD//BC,因為A(-1?0),C(O,--)，所以宜線AB的解析式為y=--x-一,所22225?(2011四川廣安，30,12分)如圖9所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC^4D，ZBAD=90。，BC與y軸相交于點M,且M是BC的中點，A、B、D三點的坐標分別是A(-1.0)，B(-1.2)，D(3.0)，連接DM,并把線段DM沿DA方向平移到O/V,若拋物線y=ax2+bx+c經過點D、M、N。求拋物線的解析式拋物線上是否存在點P.使得PA=PC.若存在，求出點P的坐標；若不存在.請

說明理由。設拋物線與x軸的另一個交點為E.點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點Q在什么位置時有\(zhòng)qe-QC|最大？并求出最大值。答案】(1)解：由題意可得M(0.2)，N(-3.2)'2=c??]2=9a-3b+c0=9a+3b+c1a=-—9解得：＜c=2(2)VPA=PC?P為AC的垂直平分線上，依題意，AC的垂直平分線經過(-1.2)(1.0)所在的直線為y=-x+1x=3+3^2fx=3—3弋'2解得：＜1f_)2_Iy=-2-3、；'2Iy=-2+解得：＜12:?P](3+3“2,—2—3心2)P2(3—3^2,—2+3"2)(3)D為E關于對稱軸x=1.5對稱CD所在的直線y=－x+3.了q=4.5.4(-1.5.4.5)|QE-QC|最大值為QC=\：2.52+2.52=5<22設點A(-m,一丄m2)(m>0),則OE=m,.?m=4，即點A的橫坐標為-4.解法三：過點A作AE丄x軸于點E,1111(