2022高考數(shù)學(xué)沖刺考點(diǎn)分類(lèi)新編考點(diǎn)34空間直角坐標(biāo)系空間向量及其運(yùn)算（新課標(biāo)地區(qū)）

考點(diǎn)34空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算一、解答題1.（2022·遼寧高考理科·Ｔ18）（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ（II）求二面角Q-BP-C的余弦值．【思路點(diǎn)撥】建立空間坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)向量來(lái)解題（I）；（II）先求法向量，再求兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，最后確定二面角Q-BP-C的余弦值．【精講精析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.(Ⅰ)依題意有，，，則，，，所以，，即⊥，⊥.且故⊥平面.又平面，所以平面⊥平面.……6分（II）依題意有，=，=.設(shè)是平面的法向量，則即因此可取設(shè)是平面的法向量，則可取所以且由圖形可知二面角為鈍角故二面角的余弦值為……12分2.（2022·江西高考理科·Ｔ21）（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，使得且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：求該正四面體的體積【思路點(diǎn)撥】（1）首先，則，即得四個(gè)平面符合要求.（2）以第一問(wèn)中的四面體作為正四面體，通過(guò)坐標(biāo)系求出面，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求出正四面體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求得體積.【精講精析】（1）將直線三等分，其中另兩個(gè)分點(diǎn)依次為,連接,作平行于的平面，分別過(guò)，即為。同理，過(guò)點(diǎn)作平面即可的出結(jié)論。（2）現(xiàn)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,若，，，由于得，，那么，正四面體的棱長(zhǎng)為，其體積為（即一個(gè)棱長(zhǎng)為a的正方體割去四個(gè)直角三棱錐后的體積）3.（2022·江西高考理科·Ｔ21）（1）如圖，對(duì)于任一給定的四面體，找出依次排列的四個(gè)相互平行的平面，使得且其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離都相等；（2）給定依次排列的四個(gè)相互平行的平面，其中每相鄰兩個(gè)平面間的距離為1，若一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)滿足：求該正四面體的體積【思路點(diǎn)撥】（1）首先，則，即得四個(gè)平面符合要求.（2）以第一問(wèn)中的四面體作為正四面體，通過(guò)坐標(biāo)系求出面，再根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式求出正四面體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求得體積.【精講精析】4.（2022.天津高考理科.T17）如圖，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且（Ⅰ）求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）設(shè)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，且平面，求線段的長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系求空間角和建立較簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確。【精講精析】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意得（I）【解析】易得，于是所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）【解析】易知設(shè)平面AA1C1的法向量，則即不妨令可得，同樣地，設(shè)平面A1B1C1的法向量，則即不妨令，可得。于是從而所以二面角A—A1C1—B的正弦值為（III）【解析】由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得設(shè)M（a，b，0），則，由平面A1B1C1，得即解得故因此，所以線段BM的長(zhǎng)為方法二：（I）【解析】由于AC1C因?yàn)槠矫鍭A1B1B，又H為正方形AA1B1B的中心，可得因此所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為（II）【解析】連接AC1，易知AC1=B1C1又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C所以≌，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)R，連接B1R，于是，故為二面角A—A1C1—B1的平面角.在中，連接AB1，在中，，從而所以二面角A—A1C1—B1的正弦值為（III）【解析】因?yàn)槠矫鍭1B1C1，所以，取HB1中點(diǎn)D，連接ND，由于N是棱B1C1中點(diǎn)，所以N