小學數學問題解決的內涵

小學數學問題解決的內涵

20世紀80年代，美國國家數學教師委員會（rcm）在20世紀80年代的學校數學教育法案上指出了這一點。”這一口號提出以來,問題解決已成為國際數學教育研究的重要課題之一。進入90年代以來,問題解決仍被不少國家的數學教育工作者置于使學生具有較高數學素質這一教學目標的中心地位。從我國的情況來看,這方面的研究有待深入。本文擬結合小學數學學習的實際,就問題解決的有關問題作一初步的探討。一、數學學習的目對于問題解決的內涵,即什么是問題解決,不同學者、不同文件作出了不同的解釋。較有代表性的觀點有以下幾種。其一,問題解決是應用數學的過程。如美國數學指導委員會(NCSM)在《21世紀的數學基礎》中指出:“問題解決是把前面學到的知識運用到新的和不熟悉的情境中的過程?！逼涠?問題解決是一種能力。如英國的考克羅夫特(Cockcroft,W.H.)等人稱:“那種把數學用于各種情況的能力,我們叫做問題解決?！逼淙?問題解決是數學學習的目的。美國學者西爾弗(Silver,E.A.)指出:“20世紀80年代以來,世界上幾乎所有的國家都把提高學生的問題解決能力作為數學教學的主要目的之一?！逼渌?問題解決是一種教學模式。如英國的《考克羅夫特報告》中提到:“將‘問題解決’的活動形式看做教或學的類型?！鄙厦嫠姆N解釋的著眼點雖各有側重,但其實質是一脈相通的,即問題解決是一種在應用數學的過程中形成的數學能力,這種數學能力是數學教學必須著重培養(yǎng)的數學素質之一,需要構建一種適當的教學活動模式來實現這一培養(yǎng)目標。事實上,問題解決本是學習心理學中早就存在的一個重要概念。在美國心理學家加涅最初提出的學習等級分類中,問題解決為層次最高的一類學習,是指以獨特的方式選擇多組規(guī)則并加以綜合運用的學習。從問題解決學習的心理活動來看,它是一種以問題為目標定向,以思考為內涵的探索活動。具體地說,是指學生面臨新的問題情境,發(fā)現它與主客觀需要有矛盾但又缺乏現成對策時所引起的探究處理問題方法的心理活動。有必要指出,本文之所以強調問題解決的心理學含義,是因為將問題解決視為一種高級形式的學習,其外延就要比“學習解題”(不管是什么樣的題)廣泛得多。就小學數學學習而言,它首先存在于獲取數學知識的過程中,表現為憑借已有的知識、經驗去完成新的學習課題;其次存在于應用數學知識的過程中,表現為將學過的數學知識、原理、技能遷移到新的問題情境中去。二、發(fā)現與發(fā)現并形成的內角和內因小學生以數學為研究客體的問題解決學習,同樣具有一般問題解決的一些特征。第一,問題解決是指試行解決初次遇到的新問題。也就是說,主體必須具有解決該問題的意愿,并且是第一次解決這一問題。如果是第二次、第三次解決同類問題,那么這樣的活動只能說是一種練習。第二,問題解決是一種進行探究、克服障礙的活動。因此,這里所說的問題具有障礙性和探究性,它能使主體陷入一定的認知困惑狀態(tài),所以有別于通常針對學習內容而設計的操練性習題。因為在一般情況下,解答這類操練性習題時學生只要運用教師提供的典范方法(甚至是詳細的操作步驟),避免失誤就能取得解題成功。也正是由于問題的障礙性、探究性,所以問題又是因學生而異的。例如,利用三角形的內角和去探求多邊形的內角和,對于小學生具有障礙性和探究性,而對于知道結論的中學生,就不成為問題。第三,導致問題獲得解決的已有規(guī)則(包括概念、命題等)的獨特組合,往往生成一種更高級的規(guī)則或解題策略,因而具有發(fā)現與創(chuàng)新的成分。例如,在130、144、147、158、159、174六個數中1.能被2整除的數有哪幾個?2.能被3整除的數有哪幾個?3.能被6整除的數有哪幾個?回答前兩個問題,明顯地只是已學整除特征的運用。在教師沒教能被6整除的數的特征的情況下,如果學生依據整除概念用6去除給出的每一個數,根據是否有余數來作出判斷,且就此結束解題活動,那就仍停留在前兩個問題的學習水平上,只是應用的知識有所不同。如果學生通過自己的思考,將能被2、3整除的數的特征綜合成能被6整除的數的判斷方法,就得到了一個新的規(guī)則。不管這一規(guī)則的得出,是受了前兩個問題的啟發(fā)或者說“暗示”,還是先用6試除,然后才發(fā)現能被6整除的數既能被2、又能被3整除都沒關系。因為對學生來說,這確實是一個新的發(fā)現,這說明學生已進入了問題解決學習的層次。對于問題解決的內在心理機制,長期以來,不同的心理學派作出過不同的解釋。早期的聯想心理學派認為問題解決是“試誤”,而格式塔心理學派則認為是“頓悟”。應該說,試誤與頓悟都不是絕對的。當解決問題的途徑不明確時,有選擇地進行嘗試并及時糾正偏差,常常是可取的。但盲目的嘗試既費時,又難以奏效,就是僥幸成功,也無多大的認知收獲,而解題者沉浸在思考中突然悟出解法的現象,也并非絕無僅有。但頓悟的出現常常是探究、假設的結果,是已有知識、經驗的遷移,而且頓悟還可能是試誤的產物。從50年代起,由人工智能研究發(fā)展起來的信息加工理論認為,問題解決是一個搜集信息、處理信息的過程,因此,這種理論側重于問題解決程序的研究。近年來這方面的研究已取得很大進展。但程序設計必須在問題和解決方法都能非常明確地陳述出來的條件下才能進行。如果說“問題說得明白,等于解決了一半”,那么計算機程序實際上只實現了問題解決的另一半?，F代認知心理學將問題解決解釋為問題情境與原認知結構的相互作用,側重于問題解決中認知策略的研究。三、核心問題的確立、描述和描述通常,小學數學課本中新的學習課題,以及首次出現的例題,大多符合上述的問題特征。因此,新授階段無疑是問題解決的廣闊天地。在問題解決的教學中,既有啟發(fā)式、探究式教學的成分,也有動手操作、帶著問題閱讀課本、討論質疑等多種學習方法的綜合運用。其教學功效是不言而喻的,即充分發(fā)揮學生的主體性和能動性,使他們在獲取知識、理解知識的同時,感悟探究的某些策略與方法,從而學會學習,促進發(fā)展。實施問題解決的教學過程,大致包括四個環(huán)節(jié):感知問題→分析問題→解決問題→檢驗評價。這是基于一般情況所作的劃分,這幾個環(huán)節(jié)是典型的,但又不是刻板的。在不少情況下,某一步可嵌入另一步中,從而使問題解決過程得到簡縮,或使某種特殊的解題策略得以實施。這里,僅就感知問題與檢驗評價環(huán)節(jié)中易被忽視的幾個問題作些分析。感知問題是解決問題的第一步,也是對分析問題的定向。因此,感知問題不能僅僅滿足于分清已知什么、要求什么,更重要的是通過了解問題的初始狀態(tài)和目標狀態(tài),在頭腦里建立起整個問題的映象。雖然這種映象一開始可能是粗略的,但可以定出繼續(xù)研究的方向。如果只注意片斷的感知和局部的了解,就難以實現對分析問題的定向,也難以引起感知與思維的“共振”。例如,以下面的例題為載體推導分數除以分數的計算法則。小明爬山,3535小時行910910千米,他1小時行多少千米?感知這一問題,如果僅僅讓學生說出已知條件和所求問題,那就等于將題目重讀一遍,對探尋算法并無多大幫助。如果指導學生由題意畫線段圖,那么學生是否理解已知數與未知數的含義,是否對問題有所整體領悟,都可以通過畫出的線段圖反映出來。借助圖示很容易明確分析的方向是搞清3等份與5等份的關系。不難看出對于這個問題來說,圖示既是感知問題的外顯形式,又是分析問題的輔助手段,同時還起到了自然銜接感知問題、分析問題兩個環(huán)節(jié)的作用。為了幫助學生更好地感知問題,還應當盡可能地在知識系統的框架下引入問題,使學生了解知識產生、發(fā)展的背景,并造成學生的認知沖突,激起學生解決問題的欲望,進而誘發(fā)他們更大的主動性和積極性。例如,教學能被3整除的數的特征。通常認為沒有必要復習能被2、5整除的數的特征,理由是新舊知識差異較大,擔心只看個位數的思維定勢對獲取新知識產生負遷移。然而實踐已證明,不但應該復習,而且還可因勢利導,讓學生從小到大報出10個3的倍數:3,6,9,12,15,18,21,24,27,30然后引導學生觀察思考:1.能被3整除的數,個位數字有哪幾種情況?2.判斷某數能否被3整除,只看個位數行嗎?這樣,學生從一開始接觸課題就知道,能被3整除的數的特征與能被2、5整除的數的特征不同,需要另外尋找新的判斷方法,不能只看一個數字。顯然,這有利于轉換思路去發(fā)現新的方法,接納新的知識,而且轉換思路本身還是一種有益的解題經驗。問題解決的檢驗是指對問題答案、結論的檢查與驗證。通過檢驗,引導學生從其他角度深入審視問題,增強對結論的確信感。問題解決的評價是指對問題解決過程的合理性、簡捷性等因素作出評判;對問題解決的策略、方法進行總結。因為我們的目的是在獲得陳述性知識的同時積累程序性知識,所以評價是問題解決教學應當重視的環(huán)節(jié)。以上述導出分數除以分數計算法則的問題為例,可以根據乘除法的關系進行驗算;也可以將910910千米改寫成900米,使分數除以分數轉化為前面學過的整數除以分數,通過計算:一方面驗證答案的正確性,另一方面進一步看到每一等份是300米(310(310千米),從而理解計算過程中約分的實際含義?？偨Y時,除了歸納計算法則、計算要點之外,還應總結推導的過程與方法:先算出幾等份中的一份是多少,再算出全部的幾份是多少,整個過程如同應用題的“歸一”解法。實踐告訴我們,學生掌握這一思路對于洞察分數除法應用題的內在解題機制,對于用口算解決有關的實際問題都有益處。四、問題的開放性數學知識應用過程中的問題解決,其步驟與上面給出的四個環(huán)節(jié)基本一致。不妨更簡練地表述為:審題→分析→解答→回顧。美國著名數學家波利亞提倡的解題步驟也是類似的四步。鑒于并不是所有的練習題都具有問題解決學習的問題性質,所以一些學者在研究中,往往側重于數學中的非常規(guī)問題、開放性問題和現實生活中的實際數學問題。其實,常規(guī)與非常規(guī)的界線是很模糊的。例如:72+75+78本是一道極其普通的常規(guī)計算題,但具有選擇簡便算法自覺性的學生卻想到了3種算法:算法一72+75+78=(72+78)+75算法二72+75+78=75×3算法三72+75+78=70×3+2+5+8如果說,依據加法交換律與結合律的算法一是學過的,應歸入常規(guī)方法的話,那么巧妙應用“平均數”的算法二和靈活應用“數的組成”的算法三無疑是非常規(guī)的了?？梢姵Ｒ?guī)與非常規(guī)是相對的。所謂開放性問題是指題目的條件不充分,或答案不惟一,或問題解決的途徑多種多樣。也有學者概括為問題存在某種不確定性。應該說,相對于傳統的封閉性問題而言,適當地補充一些開放性問題,開闊學生的思路,使學生了解現實生活中各種數學問題的復雜性、多樣性是有益的。例如:如果給你10元錢,可以買回多少千克蘋果?這道缺少條件的應用題,似乎更接近生活實際?？梢宰寣W生自己去水果店了解蘋果售價再計算,把錢用完或剩余一點都可以。學生問到的單價不盡相同恰恰反映了市場經濟的現實狀況。要是由此引起討論:追求量多還是質好?偏遠地區(qū)價低合算嗎?那么收獲就更大了。又如:王師傅接受了加工600個零件的生產任務,他每小時加工72個,工作8小時有沒有完成任務?這是一道改變了問題提法的應用題。從筆者作的測試結果來看,學生想到的解法主要有:解法一72×8=576(個),600-576=24(個)解法二600÷72=8(小時)……24(個)解法三600÷8=75(個)可見,問題提法的“開放性”給學生提供了展現個性的機會。也有一些學生無從下手,但當把問題改為“工作8小時后還剩幾個沒加工?”他們中的絕大多數很快作出了正確的解答。這正說明只練習封閉性題目的局限性。必須指出,從某種意義上講,數學的價值,它的生命、力量,就在于它的確定性、精確性?？梢哉f數學的任務就是從混亂狀態(tài)中抽取規(guī)律性,從開放性中找出確定性。因此,適當補充一些開放性問題是可取的,但不應厚此薄彼。類似地,解決現實生活中的實際數學問題有利于加強教學與現實的聯系,促進所學數學知識的應用。但實際問題要搬到課堂上來,且適于教和學,常常不得不進行簡化或典型化。再者,解決實際問題需要將實際問題化歸為數學問題,而這種化歸能力又可以反過來通過給數學問題賦予各種實際