2022屆專題復(fù)習(xí)探究題型

2022屆專題復(fù)習(xí)探究題型（一）學(xué)習(xí)重點1.綜合運用已有的知識和經(jīng)驗，經(jīng)過自主探索和合作交流，解決與生活經(jīng)驗密切聯(lián)系的、具有挑戰(zhàn)性和綜合性的問題，發(fā)展解決問題的能力。2.加深對“數(shù)與代數(shù)”“空間與幾何”“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的理解，體會各部分知識之間的聯(lián)系，能針對不同的探究題目采取有效的解題策略。（二）學(xué)習(xí)關(guān)鍵1.采用多樣化的方式學(xué)習(xí)，體驗實際生活與數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，提高用數(shù)學(xué)的意識。2.自主探索、合作交流和動手實踐有機(jī)結(jié)合，養(yǎng)成對結(jié)果反思的好習(xí)慣?！镜湫屠}】例1.如圖，已知AB是⊙O中一條長為4的弦，P為⊙O上一動點，出這個三角形的面積；若不存在，請說明理由。評析：本例“是否存在”的對象是三角形，要求滿足“面積最大”的條件。解題的思路是：假定這個三角形存在，則任意畫出這個假設(shè)的三角形，這時可以發(fā)現(xiàn)這個三角形的底是定值，其面積大小取決于高，從而將問題轉(zhuǎn)化到三角形高的最值問題（線段最值）。假設(shè)存在以A、P、B為頂點且面積最大的三角形（任意畫出△ABP進(jìn)行分析），作PD⊥AB于點D，則PD為弓形的高?！摺鰽BP的底AB是定值，所以其面積大小取決于高PD顯然點P為優(yōu)弧中點，連結(jié)PA、PB，則等腰三角形△APB即為所求。為了求PD的長，作直徑AC，連結(jié)BC，則∠C＝∠APB例2.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過點B的直線BE折疊這個三角形，要使點C恰好與AB的中點D重合，還應(yīng)添加什么條件？評析：本題屬條件開放型探究題。如果不再添加輔助線，要使D為AB的中點，可添加下列條件之一：（1）∠BED＝∠DEA（2）∠EBA＝∠A（3）∠AED＝∠CEB（4）∠A＝∠EBC（5）∠CEB＝60°（6）∠DEB＝60°（7）∠DEA＝60°（8）∠BEA＝120°（9）∠EBC＝30°（10）∠EBA＝30°（11）∠A＝30°（12）∠CBA＝60°（以上是角的關(guān)系）（13）BE＝AE（14）AB＝2BC（17）△BEC≌△AED（三角形之間關(guān)系）由于本題添加的條件屬性不明，可以從不同角度、不同層次回答，因此答案繁多。雖然從理論上講，本題的答案是有限個，但實際上，解題者很難一下子把所有答案一一列舉出來。我們把這一類的條件開放題稱為有限混濁型條件開放探究題。解這類題的策略是：需從多個不同角度思考，先從直接條件入手，再挖間接的、隱含的條件，并按某些規(guī)律分類表述。如本題先從角的關(guān)系來表述，再從邊的關(guān)系表述，最后是從三角形之間的關(guān)系來表述，這樣就容易做到不重不漏。例3.已知：如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，是否存在另一個菱形，它的周長和面積分別是已知菱形周長和面積的2倍？請你寫出自己的探究過程。分析：此題為存在型的探究題，如果存在的話，只要找到一個符合條件的菱形就可以得出結(jié)論。如果是不存在的話，就要說明理由了。答：存在。設(shè)菱形ABCD邊長為a，面積為s；另一個菱形為A1B1C1D1，邊長＝b，面積＝S，過A做AE⊥BC于E，過A1E1⊥B1C1，C＝4a，C1＝2C存在另一個菱形，其周長和面積是已知菱形周長和面積的2倍，菱形A1B1C1D1的邊長是菱形ABCD邊長的2倍，∠B1≈25.7°。例4.某商廈張貼巨幅廣告：“真情回報顧客”活動共設(shè)獎金20萬元，最高獎每份1萬元，平均每份獎金200元，一顧客幸運地抽到一張獎券，獎金數(shù)為10元，她調(diào)查了周圍正兌獎的其他顧客，一個也沒有超過50元的，她氣憤地要求與商廈領(lǐng)導(dǎo)評理。商廈領(lǐng)導(dǎo)說不存在欺騙，并向她出示了下面這張獎金分配表，你認(rèn)為商廈說“平均每份獎金200元”是否欺騙了顧客？大多數(shù)中獎?wù)攉@得的獎金能接近獎金的平均數(shù)嗎？中一等獎的概率是多少？以后遇到開獎的問題你應(yīng)該更關(guān)心什么？分析：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)這三個統(tǒng)計量都是反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量。由于每個等級設(shè)置的中獎人數(shù)差距懸殊，90%的獎券金額不超過50元，因此中獎?wù)攉@得的獎金大多不能用平均數(shù)來衡量。對于開獎的問題應(yīng)選擇的統(tǒng)計量是眾數(shù)。解：即平均每份獎券的獎金確為200元，沒有欺騙顧客。以后遇到開獎的問題，應(yīng)該更關(guān)心中獎金額的眾數(shù)等信息。例5.從鄂州到武漢有新舊兩條公路可走，一輛最多可乘19人的汽車在這條公路上行駛時有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：說明：1升/100千米表示汽車每行駛100千米耗油1升。（1）如果用y1（元）、y2（元）分別表示汽車從鄂州到武漢走新路、舊路時司機(jī)的收入，僅就上表數(shù)據(jù)求出y1、y2與載客人數(shù)x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）你認(rèn)為司機(jī)應(yīng)選擇哪條公路才能使收入較多？評析：表式信息的優(yōu)越性就在于將所有的已知數(shù)量的對應(yīng)關(guān)系顯現(xiàn)了出來，但它反映的僅僅是對應(yīng)關(guān)系，還需要找到這些數(shù)量之間的等量關(guān)系，如本例只有找到關(guān)系式：司機(jī)的收入＝人數(shù)×票價－路程×耗油量×油價－過路費才能解決（1）的問題：要解決（2）的問題，需要比較y2和y1的大小。其中x是不超過19的正整數(shù)。即當(dāng)乘車人數(shù)不到4人時，y2＞y1，走舊路比走新路司機(jī)收入多；當(dāng)乘車人數(shù)是4人或超過4人時，y2＜y1，走新路比走舊路司機(jī)收入多。1.如圖，AB是⊙O的直徑，把AB分成幾條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，設(shè)AB＝a，那么⊙O的周長。計算：（1）把AB分成兩條相等的線段，每個小圓的周長。（2）把AB分成三條相等的線段，每個小圓的周長__________。（3）把AB分成四條相等的線段，每個小圓的周長__________?！?）把AB分成n條相等的線段，每個小圓的周長__________。結(jié)論：把大圓的直徑分成n條相等的線段，以每條線段為直徑分別畫小圓，那么每個小圓周長是大圓周長的___________。（5）請仿照上面的探索方法和步驟，計算推導(dǎo)出每個小圓面積與大圓面積的關(guān)系。2.把棱長為a的小正方體按照如圖所示的方法擺放，自上而下分別叫第一層、第二層、……、第n層的小正方體的個數(shù)記為S。請解答下列問題：（1）在表中空白處填上適當(dāng)數(shù)字：n1234……S136……（2）寫出當(dāng)時，S＝__________；（3）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，把S作為縱坐標(biāo)，n作為橫坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的各點，并用平滑曲線連接各點；（4）請你猜一猜上述各點會在某個二次函數(shù)圖象上嗎？如果在某個二次函數(shù)圖像上，求出該函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量n的取值范圍；如果不在，請說明理由。3.觀察下列圖形：如果第x行共有y枚黑白兩色圍棋子，那么y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是____________。（不要求寫出x的取值范圍）4.已知AD是△ABC的角平分線，E、F分別是邊AB、AC的中點，連結(jié)DE、DF，在不再連結(jié)其他線段的前提下，要使四邊形AEDF成為菱形，還需添加一個條件，這個條件可以是____________。5.如下圖，已知：⊙O的弦AC、BD相交于點E，點A為上一動點，當(dāng)點A的位置在____________時，△ABE∽△ACB。6.如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC，垂足為E。（1）由這些條件，你能推出哪些正確結(jié)論？（要求：不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過程，寫出4個結(jié)論即可）。（2）若∠ABC為直角，其他條件不變，除上述結(jié)論外，你還能推出哪些結(jié)論？7.已知：如圖，在中，AB＝AC，∠A＝90°，點D為BC上任一點，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M為BC的中點。試判斷△MEF是什么形狀三角形，并證明你的猜想。8.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E在BC上，過點C作CF⊥AE，垂足為點F，過點B作BD⊥BC交CF的延長線于點D，請你仔細(xì)觀察后，在這個圖形中除了AC＝BC外，再找出一組相等的線段，并說明你的理由。參考答案1.（2）；（3）；（4），；（5）2.（1）空白處填：10（2）（3）描點，連線，圖略（4）經(jīng)觀察所描各點，可知：它們在二次函數(shù)的圖像上。設(shè)函數(shù)解析式為：，則有：解得：3. 4. 5.A是的中點6.（1）DE是⊙O的切線（2）△AOD∽△ABC（3）∠ADO＝∠C（4）∠AOD＝∠ABC（5）（6）△CDE∽△CAB等……7.△MEF是等腰直角三角形證明：連結(jié)AM∵M(jìn)是BC的中點，∠BAC＝90°，AB＝AC，MA平分∠BAC∴∠MAB＝∠MAC＝45°∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB∴DE∥AB，DF∥AC∵∠BAC＝90°∴四邊形DFAE是矩形∴DF＝AE∵DF⊥BF，∠B＝45°∴∠BDF＝45°＝∠B∴BF＝FD∴AE＝BF∴△AEM≌△BFM∴EM＝FM，∠AME＝∠BMF∴△MEF是等腰直角三角形8.結(jié)論：AE＝CD∵CF⊥AE，∠ACB＝90°探索與實踐對于一些探索與實踐的題目，題中提供某些信息，供解題者觀察。類比、推理、反思，從而歸納，猜想型探究題。猜想型探究題能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和直覺思維，能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的思維品質(zhì)和探索精神，但猜想是合情推理，不是嚴(yán)格的論證，有的猜想正確，有的猜想不正確，所以對猜想的結(jié)論必須證明或驗證。【典型例題】例1.我們知道32－12＝8，52－32＝16，72－52＝24，且它們都能被8整除。試問：任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差都能被8整除嗎？如果能夠，請寫出你的推理過程；如果不能，請說明理由。分析：由已知三個等式可以猜想上述結(jié)論是正確的，但觀察猜想并不能準(zhǔn)確地反映這一特征，故而可設(shè)出兩個連續(xù)奇數(shù)為2n＋1，2n－1，利用平方差公式因式分解可得出上述結(jié)論。解：任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)。推理如下：設(shè)這兩個連續(xù)奇數(shù)為2n＋1，2n－1，（其中n為任意整數(shù)）顯然，當(dāng)n為整數(shù)時，任意兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差都能被8整除。說明：要準(zhǔn)確判別某個結(jié)論的正確與否，必須通過推理，找出其所蘊含的內(nèi)在特征，才能對這個結(jié)論作出肯定或否定的判斷，不能單從觀察、猜想來予以說明。例2.已知：在△ABC與△A’B’C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’。試問：△ABC與△A’B’C’是否全等？如果全等，請給出證明；如果不全等，試舉出反例來說明。分析：顯然這樣的兩個三角形未必全等，可舉一反例說明。解：僅由AB＝A’B’，BC＝B’C’，∠C＝∠C’不能證明△ABC≌△A’B’C’，事實上，它們可能全等，也可能不全等。如下圖，由∠C＝∠C’，AB＝A’B’，BC＝B’C’時，此時△ABC≌△A’B’C’。如下圖，由∠C＝∠C’，BC＝B’C’，BA＝B’A’，但是△ABC與△A’B’C’不全等。說明：舉反例也是證明命題的一種行之有效的方法。但是，有時舉反例也并非一件容易的事，它們必須建立在對已知定義、定理、公理的基礎(chǔ)上，挖掘不足，從而發(fā)現(xiàn)問題，得到反例。例3.如圖，是某城市部分街道示意圖，F(xiàn)是EC中點，EC⊥BC，AF∥BC，AB∥DE，BD∥AE。小軍和小強(qiáng)兩人同時從B站乘車到F站。小軍乘1路車，路線是B→A→E→F；小強(qiáng)乘2路車，路線是B→D→C→F，假設(shè)兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達(dá)F站？請說明理由。分析：在速度相同的情況下，“誰先到達(dá)”是由路程決定的，因此本題實質(zhì)是比較BA＋AE＋EF與BD＋DC＋CF的大小。解：同時到達(dá)。∵AE∥BD，AB∥DE∴四邊形ABDE是平行四邊形∴AB＝DE………………①∵EC⊥BC∴∠ECB＝90°∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠ECB＝90°即AF⊥EC又∵F是EC的中點，∴DE＝DC∵平行四邊形ABDE中，DE＝AB∴DC＝AB…………②∴BA＋AE＋EF＝DC＋BD＋FC∵兩人乘車的路程相同，兩車速度相同∴兩人同時到達(dá)F站說明：此題將抽象的邏輯證明賦予現(xiàn)實背景，增強(qiáng)證明的趣味性，同時也可以讓解題者體會到邏輯證明在實際中的意義和作用，體現(xiàn)“生活中的數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)中的生活”的密切聯(lián)系。例4.已知：AD是△ABC的角平分線，E、F分別是邊AB、AC的中點，連結(jié)DE、DF，在不再連結(jié)其他線段的前提下，要使四邊形AEDF成為菱形，還需添加一個什么條件？并證明四邊形AEDF是菱形。分析：題中的現(xiàn)有條件不能夠推證出菱形AEDF。由結(jié)論入手要得菱形AEDF，首先想到能否得到平行四邊形，只有D為BC中點即可，根據(jù)“AD是角平分線”聯(lián)想到“三線合一”，因此可試加“AB＝AC”，構(gòu)造“等腰三角形三線合一”。解：添AB＝AC證明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC∴D為BC中點∵E為AB中點∴DE為△ABC中位線∴DE∥AC，同理：DF∥AB∴四邊形AEDF是平行四邊形∵E、F分別為AB、AC中點又∵AB＝AC，∴AE＝AF∴平行四邊形AEDF是菱形說明：培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力是素質(zhì)教育的重點。開放探究題是考查這種能力的一種新題型，近年來全國各地中考命題中受到極大的關(guān)注。開放題常見類型有：條件開放型、結(jié)論開放型、條件結(jié)論全開放型，本題屬于條件開放型，要求解題者善于從問題的結(jié)論出發(fā)，逆向追索、多途尋因。例5.把一個矩形紙片如圖折疊，使頂點B和D重合，折痕為EF。問題：（1）找出圖中全等的三角形，并證明。（2）重合部分是什么圖形？證明你的結(jié)論。（3）連結(jié)BE，判斷四邊形BEDF是什么特殊四邊形，BD與EF有什么關(guān)系？并證明。分析：發(fā)現(xiàn)折疊后出現(xiàn)的相等的線段，相等的角是解決問題的關(guān)鍵。比如：A’D＝AD，A’E＝AE，DF＝BF，∠A’＝∠A，∠A’DF＝∠B，∠BFE＝∠DFE等。解：（1）△A’ED≌△DFC證明：由折疊可知：AD’＝AB，∠A’＝∠A＝90°，∠A’DF＝∠B＝90°∵矩形ABCD中，AB＝CD，∠C＝90°，∠ADC＝90°∴A’D＝CD，∠A’＝∠C，且∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3∴△A’DE≌△DCF（2）等腰△DEF證明：∵△A’DE≌△DFC（已證）∴DE＝DF∴等腰△DEF（3）菱形EBDF，EF⊥BD證明：由折疊可知：BF＝DF∵DE＝DF（已證）∴DE＝BF∵矩形ABCD中，DE∥BF∴四邊形BEDF是平行四邊形∵DE＝DF∴平行四邊形BEDF是菱形∴EF⊥BD說明：折疊問題通常是軸對稱變換，其中折痕是對稱軸，解決這類問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后哪些量（邊、角）變了，哪些量（邊、角）不變，折疊后又有哪些條件可利用。通過“軸對稱變換”將條件集中，從而打開解題思路，折疊問題既可以訓(xùn)練學(xué)生的空間想象力，又可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力，是近幾年中考中的熱點題目。1.2022年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EFGH都是正方形。求證：△ABE≌△DAH2.△ABC中，AB＝AC，D是BC中點，DE⊥AB，DF⊥AC。求證：（1）△BDE≌△CDF；（2）△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形。3.正方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是BA延長線上一點，。（1）求證：△ABE≌△ADF；（2）通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)中的哪一種方法，使△ABE變到△ADF的位置；（3）指出圖中線段BE與DF之間的關(guān)系。4.梯形ABCD中，AB∥CD，E、F、G、H分別是梯形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點，當(dāng)梯形ABCD滿足條件___________時，四邊形EFGH是菱形。證明你的發(fā)現(xiàn)。5.在平行四邊形ABCD中，點E、F在對角線AC上，且AE＝CF，請你以F為一個端點和圖中已標(biāo)明字母的某一點連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）。（1）連結(jié)_______________。（2）猜想：______________________________。（3）證明：6.△ABC中，D、E、F分別是各邊中點，連結(jié)AE、DF（1）AE、DF有什么關(guān)系？（2）△ABC滿足什么條件時，AE⊥DF？（3）△ABC滿足什么條件時，AE＝DF？（4）△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是正方形？7.已知：∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AC。求證：四邊形CEDF是正方形。8.在平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，小明想在平行四邊形ABCD中截出一個菱形，于是以頂點A為圓心，AB為半徑畫弧，交BC于點E，交AD于點F，則得到四邊形ABEF，你能證明它是菱形嗎？9.如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AD、BD、BC、AC的中點，順次連結(jié)點E、F、G、H，所得四邊形是一個怎樣的四邊形？若四邊形EFGH是一個菱形，則四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件？10.先閱讀下面題目及小明給出的證明，再根據(jù)要求回答問題。已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線與BC邊相交于點E，∠B的平分線與AD邊相交于點F，AE與BF相交于O。求證：四邊形ABEF是菱形。證明：①∵四邊形ABCD是平行四邊形②∴AD∥BC③∴∠ABE＋∠BAF＝180°④∵AE、BF分別是∠BAF、∠ABE的平分線⑤⑥⑦∴∠AOB＝90°⑧∴AE＝BF⑨∴四邊形ABEF是菱形。問：（1）上述證明是否正確？（2）如有錯誤，指出在第_________步到第_________步推理錯誤，應(yīng)在第____________步后添加如下證明過程：_________________________。

參考答案1.∵正方形EFGH∴∠FEH＝∠EHG＝90°∠AEB＝∠AHD＝90°∵正方形ABCD∴AB＝AD，∠BAD＝90°2.（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED＝∠CFD＝90°∵AB＝AC，∴∠B＝∠C∵D是BC中點，∴BD＝CD∴△BDE≌△CDF（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時，四邊形AEDF是正方形∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED＝∠AFD＝90°又∵∠A＝90°，∴四邊形AEDF是矩形∵△BDE≌△CDF∴DE＝DF∴四邊形AEDF是正方形3.（1）∵正方形ABCD∴AD＝AB，∠DAB＝90°∴∠DAF＝90°＝∠DAB∵E為AD中點又∵∴AE＝AF（2）旋轉(zhuǎn)。將△ABE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°可變到△ADF的位置。（3）BE＝DF且BE⊥DF，延長BE交DF于G∴BE⊥DF4.滿足條件AD＝BC連結(jié)AC、BD∵G、H分別為DA、DC中點同理，∵等腰梯形ABCD∴AC＝BD∴HG＝HE＝EF＝FG∴四邊形EFGH是菱形5.（1）連結(jié)BF（2）猜想BF＝DE（3）∵平