【優(yōu)化探究】高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 階段達(dá)標(biāo)檢測2

PAGEPAGE10【優(yōu)化探究】2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)階段達(dá)標(biāo)檢測2(時(shí)間：120分鐘總分值：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1．(高考北京卷)已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)>0}，那么A∩B＝()A．(－∞，－1) B．{－1，－eq\f(2,3)}C．(－eq\f(2,3)，3) D．(3，＋∞)解析：∵3x＋2>0，∴x>－eq\f(2,3).∴A＝{x|x>－eq\f(2,3)}．又∵(x＋1)(x－3)>0，∴x>3或x<－1.∴B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩B＝{x|x>－eq\f(2,3)}∩{x|x<－1或x>3}＝{x|x>3}．答案：D2．(武漢調(diào)研)已知a，b，a＋b，a－b均為非零向量，那么(a＋b)·(a－b)＝0是|a|＝|b|的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：(a＋b)·(a－b)＝0a2－b2＝0|a|2＝|b|2|a|＝|b|.答案：C3．(荊州模擬)曲線y＝x2與曲線y＝8eq\r(x)所圍成的封閉圖形的面積為()A.eq\f(64,3) B.eq\f(128,3)C．16 D．48解析：兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(4，16)，兩曲線所圍成的封閉圖形的面積為eq\i\in(0,4,)(8eq\r(x)－x2)dx＝(eq\f(16,3)x－eq\f(x3,3))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(4,0))＝eq\f(16,3)×8－eq\f(64,3)＝eq\f(64,3).答案：A4．函數(shù)y＝x·ex在點(diǎn)(1，e)處的切線方程為()A．y＝ex B．y＝x－1＋eC．y＝－2ex＋3e D．y＝2ex－e解析：因?yàn)閥′＝ex＋xex，所以y′eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝1))＝e＋e＝2e，所以函數(shù)y＝x·ex在點(diǎn)(1，e)處的切線方程為y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.答案：D5．(高考遼寧卷)執(zhí)行如下圖的程序框圖，那么輸出的S值是()A．4 B.eq\f(3,2)C.eq\f(2,3) D．－1解析：根據(jù)程序框圖的要求一步一步地計(jì)算判斷．根據(jù)程序框圖，程序執(zhí)行的步驟為S＝4，i＝1<6；S＝－1，i＝2<6；S＝eq\f(2,3)，i＝3<6；S＝eq\f(3,2)，i＝4<6；S＝4，i＝5<6；S＝－1，i＝6<6不成立，輸出S＝－1.答案：D6．(高考江西卷)以下命題中，假命題為()A．存在四邊相等的四邊形不是正方形B．z1，z2∈C，z1＋z2為實(shí)數(shù)的充分必要條件是z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)C．假設(shè)x，y∈R，且x＋y>2，那么x，y至少有一個(gè)大于1D．對于任意n∈N＋，Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)都是偶數(shù)解析：選項(xiàng)B中，假設(shè)z1＋z2為實(shí)數(shù)，那么保證z1，z2虛部互為相反數(shù)即可，并不需要z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，如z1＝1－i，z2＝2＋i.故B不對．答案：B7．根據(jù)給出的數(shù)塔猜想123456×9＋7＝()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111……A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113解析：對題中所給信息進(jìn)展歸納推理可得答案為B.也可以由123456×9＋7得到的數(shù)的個(gè)位數(shù)為1，排除選項(xiàng)A、C、D，應(yīng)選B.答案：B8．(高考天津卷)以下函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1，2)內(nèi)是增函數(shù)的為()A．y＝cos2x，x∈RB．y＝log2|x|，x∈R且x≠0C．y＝eq\f(ex－e－x,2)，x∈RD．y＝x3＋1，x∈R解析：利用逐項(xiàng)排除法求解．選項(xiàng)A中函數(shù)y＝cos2x在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞減，不滿足題意；選項(xiàng)C中的函數(shù)為奇函數(shù)；選項(xiàng)D中的函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，應(yīng)選B.答案：B9．已知函數(shù)f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|(a>0，且a≠1)，f(2011)·g(－2012)<0，那么y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是()解析：由f(2011)·g(－2012)<0，知0<a<1，根據(jù)函數(shù)g(x)＝loga|x|(0<a<1)的圖象和函數(shù)f(x)＝ax－2(0<a<1)的圖象，知選項(xiàng)B正確．應(yīng)選B.答案：B10．(高考天津卷)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，λ∈R.假設(shè)eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2)，那么λ＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1±\r(2),2)C.eq\f(1±\r(10),2) D.eq\f(－3±2\r(2),2)解析：先用向量eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))表示出向量eq\o(BQ,\s\up6(→))，eq\o(CP,\s\up6(→))，再根據(jù)向量的運(yùn)算列方程求解．eq\o(BQ,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))＝[eq\o(BA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))]·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)，所以4λ2－4λ＋1＝0.所以λ＝eq\f(1,2).答案：A11．(高考浙江卷)假設(shè)從1，2，3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，那么不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種解析：先找出和為偶數(shù)的各種情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理求解．滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是四個(gè)奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)1，3，5，7，9中，任意取4個(gè)，有Ceq\o\al(4,5)＝5(種)；二是兩個(gè)奇數(shù)加兩個(gè)偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個(gè)奇數(shù)中任取2個(gè)，再在4個(gè)偶數(shù)2，4，6，8中任取2個(gè)，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)＝60(種)；三是四個(gè)偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的取法有1種，所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66(種)．答案：D12．(高考山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝－x2＋bx，假設(shè)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是()A．x1＋x2>0，y1＋y2>0B．x1＋x2>0，y1＋y2<0C．x1＋x2<0，y1＋y2>0D．x1＋x2<0，y1＋y2<0解析：利用函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想求解．設(shè)F(x)＝x3－bx2＋1，那么方程F(x)＝0與f(x)＝g(x)同解，故其有且僅有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1，x2.由F′(x)＝0得x＝0或x＝eq\f(2,3)b.這樣，必須且只需F(0)＝0或F(eq\f(2,3)b)＝0.因?yàn)镕(0)＝1，故必有F(eq\f(2,3)b)＝0，由此得b＝eq\f(3,2)eq\r(3,2).不妨設(shè)x1<x2，那么x2＝eq\f(2,3)b＝eq\r(3,2).所以F(x)＝(x－x1)(x－eq\r(3,2))2，比擬系數(shù)得－x1eq\r(3,4)＝1，故x1＝－eq\f(1,2)eq\r(3,2).x1＋x2＝eq\f(1,2)eq\r(3,2)>0，由此知y1＋y2＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)<0.答案：B二、填空題(本大題共4小題，每題4分，共16分)13．(高考湖南卷)(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．(用數(shù)字作答)解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解．∵(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6＝(eq\f(2x－1,\r(x)))6＝eq\f(（2x－1）6,x3)，又∵(2x－1)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r(－1)r，令6－r＝3，得r＝3.∴T3＋1＝－Ceq\o\al(3,6)(2x)3＝－20×23·x3＝－160x3.∴(2eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))6的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－160.答案：－16014．(高考湖北卷)假設(shè)eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，那么a＋b＝________．解析：利用復(fù)數(shù)相等的條件求出a，b的值．eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(（3＋bi）（1＋i）,2)＝eq\f(1,2)[(3－b)＋(3＋b)i]＝eq\f(3－b,2)＋eq\f(3＋b,2)i.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3－b,2)，,\f(3＋b,2)＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))∴a＋b＝3.答案：315．某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．假設(shè)一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬元，那么x的最小值是________．解析：七月份的銷售額為500(1＋x%)，八月份的銷售額為500(1＋x%)2，那么一月份到十月份的銷售總額是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根據(jù)題意有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，那么25t2＋25t－66≥0，解得t≥eq\f(6,5)或者t≤－eq\f(11,5)(舍去)，故1＋x%≥eq\f(6,5)，解得x≥20.答案：2016．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（x＋1），x>0,－x2－2x，x≤0，))假設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：函數(shù)f(x)的圖象如下圖，函數(shù)f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0<m<1即可使方程f(x)＝m有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個(gè)零點(diǎn)．答案：(0，1)三、解答題(本大題共6小題，共74分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(12分)設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝(a－eq\f(3,2))x是R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域?yàn)閇－1，3]，假設(shè)“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求a的取值范圍．解析：∵f(x)＝(a－eq\f(3,2))x是R上的減函數(shù)，∴0<a－eq\f(3,2)<1.∴eq\f(3,2)<a<eq\f(5,2).∵f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域?yàn)閇－1，3]，那么2≤a≤4.∵“p且q”為假，“p或q”為真，∴p、q為一真一假．假設(shè)p真q假，得eq\f(3,2)<a<2，假設(shè)p假q真，得eq\f(5,2)≤a≤4，綜上可知：a的取值范圍是(eq\f(3,2)，2)∪[eq\f(5,2)，4]．18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)假設(shè)不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)解不等式f(x)>3x.解析：(1)當(dāng)x∈[－3，1]時(shí)，f(x)＝(x＋2)|x－2|＝(x＋2)(2－x)＝－x2＋4.∵－3≤x≤1，∴0≤x2≤9.于是－5≤－x2＋4≤4.即函數(shù)f(x)在[－3，1]上的最大值等于4.∴要使不等式f(x)≤a在[－3，1]上恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，＋∞)．(2)不等式f(x)>3x，即(x＋2)|x－2|－3x>0.當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式等價(jià)于x2－4－3x>0，解得x>4或x<－1.又∵x≥2，∴x>4.當(dāng)x<2時(shí)，原不等式等價(jià)于4－x2－3x>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.滿足x<2.綜上可知，原不等式的解集為{x|x>4或－4<x<1}．19．(12分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}，對定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x>1時(shí)f(x)>0，f(2)＝1.(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(3)解不等式f(2x2－1)<2.解析：(1)證明：因?qū)Χx域內(nèi)的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，令x1＝x，x2＝－1，那么有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，從而f(－1)＝0，于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．(2)證明：設(shè)0<x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·eq\f(x2,x1))＝f(x1)－[f(x1)＋f(eq\f(x2,x1))]＝－f(eq\f(x2,x1))，由于0<x1<x2，所以eq\f(x2,x1)>1，從而f(eq\f(x2,x1))>0，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)由于f(2)＝1，所以2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)，不等式可化為f(2x2－1)<f(4)，結(jié)合(1)(2)已證結(jié)論，可得上式等價(jià)于|2x2－1|<4且2x2－1≠0.解得{x|－eq\f(\r(10),2)<x<eq\f(\r(10),2)，且x≠±eq\f(\r(2),2)}．20．(12分)某玩具廠生產(chǎn)一種兒童智力玩具，每個(gè)玩具的材料本錢為20元，加工費(fèi)為t元(t為常數(shù)，且2≤t≤5)，出廠價(jià)為x元(25≤x≤40)．根據(jù)市場調(diào)查知，日銷售量q(單位：個(gè))與ex成反比，且當(dāng)每個(gè)玩具的出廠價(jià)為30元時(shí)，日銷售量為100個(gè)．(1)求該玩具廠的日利潤y元與每個(gè)玩具的出廠價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)t＝5，那么每個(gè)玩具的出廠價(jià)x為多少元時(shí)，該工廠的日利潤y最大？并求最大值．解析：(1)設(shè)日銷量q＝eq\f(k,ex)(k≠0)那么eq\f(k,e30)＝100，∴k＝100e30∴日銷量q＝eq\f(100e30,ex).∴y＝eq\f(100e30（x－20－t）,ex)(25≤x≤40)．(2)當(dāng)t＝5時(shí)，y＝eq\f(100e30（x－25）,ex)(25≤x≤40)∴y′＝eq\f(100e30（26－x）,ex)(25≤x≤40)由y′>0得x∈[25，26)，由y′<0得(26，40]，∴函數(shù)在[25，26]上遞增，在[26，40]上遞減，∴當(dāng)x＝26時(shí)，ymax＝100e4.即當(dāng)每個(gè)玩具的出廠價(jià)為26元時(shí)，工廠的日利潤最大，最大值為100e4元．21．(13分)(大同模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋a)－x2－x在x＝0處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)假設(shè)關(guān)于x的方程f(x)＝－eq\f(5,2)x＋b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解析：(1)∵f′(x)＝eq\f(1,x＋a)－2x－1，又函數(shù)f(x)在x＝0處取得極值，∴f′(0)＝eq\f(1,a)－1＝0，得a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.令g(x)＝f(x)＋eq\f(5,2)x－b＝ln(x＋1)－x2＋eq\f(3,2)x－b，x∈(－1，＋∞)，那么g′(x)＝eq\f(1,x＋1)－2x＋eq\f(3,2)＝eq\f(－（4x＋5）（x－1）,2（x＋1）).令g′(x)＝0得x＝1.此時(shí)g′(x)，g(x)隨x的變化情況如下表：∴當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)取得極大值也是最大值．由題設(shè)可知函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）>0,g（0）≤0,g（2）≤0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ln2＋\f(1,2)－b>0,－b≤0,ln3－1－b≤0))解得ln3－1≤b<ln2＋eq\f(1,2)，∴b的取值范圍是[ln3－1