高中數(shù)學(xué)：含參“一元二次不等式”的解法高中數(shù)學(xué)黃金解題模板

2020年含參“一元二次不等式”的解法【高考地位】解含參一元二次不等式，常涉及對(duì)參數(shù)的分類討論以確定不等式的解，這是解含參一元二次不等式問題的一個(gè)難點(diǎn).在高考中各種題型多以選擇題、填空題等出現(xiàn)，其試題難度屬中高檔題.【方法點(diǎn)評(píng)】類型一根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)分類使用情景：參數(shù)在一元二次不等式的最高次項(xiàng)解題模板：第一步直接討論參數(shù)大于0、小于0或者等于0；第二步分別求出其對(duì)應(yīng)的不等式的解集；第三步得出結(jié)論.例1已知關(guān)于的不等式.（1）若不等式的解集為，求的值．（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）①當(dāng)時(shí)，或②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，④當(dāng)時(shí)，⑤當(dāng)時(shí)，原不等式解集為（2）第一步，直接討論參數(shù)大于0、小于0或者等于0：不等式為，即第二步，分別求出其對(duì)應(yīng)的不等式的解集：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，方程的根為；所以當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，④當(dāng)時(shí)，，學(xué)*科網(wǎng)第三步，得出結(jié)論：綜上所述，原不等式解集為①當(dāng)時(shí)，或；②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，原不等式解集為.考點(diǎn)：一元二次不等式的解法.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題考察的是一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系，由題目所給條件知的兩根為，且，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出的值．（2）本題考察的是解含參一元二次不等式，根據(jù)題目所給條件和因式分解化為，然后通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求出不等式的解集．學(xué)*科網(wǎng)【變式演練1】【河南省平頂山市2017-2018學(xué)年期末調(diào)研考試高二理科數(shù)學(xué)】若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【變式演練2】已知：和是方程的兩個(gè)實(shí)根，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；：不等式有解，若為真，為假，求的取值范圍．【答案】∴，∴，∴不等式有解時(shí)，∴假時(shí)的范圍為，②由①②可得的取值范圍為．學(xué)*科網(wǎng)考點(diǎn)：命題真假性的應(yīng)用類型二根據(jù)二次不等式所對(duì)應(yīng)方程的根的大小分類使用情景：一元二次不等式可因式分解類型解題模板：第一步將所給的一元二次不等式進(jìn)行因式分解；第二步比較兩根的大小關(guān)系并根據(jù)其大小進(jìn)行分類討論；第三步得出結(jié)論.例2解關(guān)于的不等式（為常數(shù)且）.【答案】時(shí)不等式的解集為；時(shí)不等式的解集為；時(shí)不等式的解集為；時(shí)不等式的解集為.若，，不等式的解集為學(xué)*科網(wǎng)試題分析：,先討論時(shí)不等式的解集；當(dāng)時(shí)，討論與的大小，即分，，分別寫出不等式的解集即可.考點(diǎn)：1.一元二次不等式的解法；2.含參不等式的解法.【變式演練3】已知，解關(guān)于x的不等式．【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．考點(diǎn)：一元二次不等式．【變式演練4】【2018重慶高三理科數(shù)學(xué)不等式單元測(cè)試卷】已知0<b<1+a，若關(guān)于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則（）A．－1<a<0B．0<a<1C．1<a<3D．3<a<6【答案】C【解析】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則有1－<0，此時(shí)>1，而0<b<1+a，故a>1，由不等式<0解得即要使該不等式的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），則有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，則1<a<3．學(xué)&科網(wǎng)類型三根據(jù)判別式的符號(hào)分類使用情景：一般一元二次不等式類型解題模板：第一步首先求出不等式所對(duì)應(yīng)方程的判別式；第二步討論判別式大于0、小于0或等于0所對(duì)應(yīng)的不等式的解集；第三步得出結(jié)論.例3設(shè)集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，試求k的取值范圍．【答案】【解析】第一步，首先求出不等式所對(duì)應(yīng)方程的判別式：B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式，(1)當(dāng)k=0時(shí)，.(2)當(dāng)k＞0時(shí)，△＜0，x.(3)當(dāng)k＜0時(shí)，.第三步，得出結(jié)論：綜上所述，k的取值范圍是：【點(diǎn)評(píng)】解含參的一元二次不等式，可先分解因式，再討論求解，若不易分解，也可對(duì)進(jìn)行分類，或利用二次函數(shù)圖像求解.對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)且不能因式分解時(shí)，則需對(duì)判別式的符號(hào)分類.【變式演練5】在區(qū)間SKIPIF1<0上,不等式SKIPIF1<0有解，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C考點(diǎn)：一元二次不等式定區(qū)間定軸問題.【變式演練6】【2018湖北襄陽四中高三六月全真模擬一數(shù)學(xué)（文）試卷】若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：設(shè)，因?yàn)榇嬖?，使不等式成立，可知，所以，故選A．學(xué).科網(wǎng)考點(diǎn)：不等式恒成立問題．【高考再現(xiàn)】1.不等式的解集為________.【答案】【解析】由題意得：，解集為【考點(diǎn)定位】解指數(shù)不等式與一元二次不等式【名師點(diǎn)晴】指數(shù)不等式按指數(shù)與1的大小判斷其單調(diào)性，決定其不等號(hào)是否變號(hào)；對(duì)于一元二次方程的解集，先研究，按照，，三種情況分別處理，具體可結(jié)合二次函數(shù)圖像直觀寫出解集.學(xué)科*網(wǎng)2.已知關(guān)于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______．【答案】（0,8）【解析】試題分析：因?yàn)椴坏仁絰2-ax+2a＞0在R上恒成立．∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8故答案為：（0，8）考點(diǎn)：一元二次不等式的應(yīng)用，以及恒成立問題3.有實(shí)根，則的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥勘绢}考查二次方程有關(guān)知識(shí)與絕對(duì)值不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用；由于關(guān)于的二次方程有實(shí)根，那么即，而，從而，解得。4.下列不等式中，與不等式解集相同的是（）.A.B.C.D.【答案】B【考點(diǎn)定位】同解不等式的判斷.【名師點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是判斷出.本題也可以解出各個(gè)不等式，再比較解集.此法計(jì)算量較大.【反饋練習(xí)】1．已知函數(shù)，集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A點(diǎn)睛：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題；設(shè)集合，根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系結(jié)合，得出和，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.2．設(shè)：，：，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)：的解集為A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2},設(shè)：的解集為B，所以B={x|m≤x≤m+1},由題知p是q的必要不充分條件，即得B是A的真子集，所以有綜合得m∈，故選D.學(xué)*科網(wǎng)3．已知集合，，若，則的值為（）A．1B．-1C．D．2【答案】A【解析】由，，且，得，又由，則必有，且，所以.故選A.4．若關(guān)于的方程存在三個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】C

∵關(guān)于的方程存在三個(gè)不等實(shí)根，∴方程有兩個(gè)根，且一正一負(fù)，且正根在區(qū)間內(nèi)．令，則有，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．選C．點(diǎn)睛：解答本題時(shí)，根據(jù)所給函數(shù)的特征并利用換元的方法將問題化為方程根的問題處理，然后結(jié)合二次方程根的分布情況再轉(zhuǎn)化成不等式的問題解決．對(duì)于本題中的根的情況，還要根據(jù)數(shù)形結(jié)合根據(jù)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷．5．若“”是“”的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A考點(diǎn)：充分必要條件.6．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，則a＋b的值是()A．10B．－10C．－14D．14【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，那么說明了是ax2＋bx＋2=0的兩個(gè)根，然后利用韋達(dá)定理可知?jiǎng)ta＋b的值是-14，故選C.學(xué)科!網(wǎng)考點(diǎn)：一元二次不等式的解集點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二次不等式的解集的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。7．已知，二次三項(xiàng)式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，又，使成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】分析：對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化為，平方后換元，利用基本不等式可得結(jié)果.點(diǎn)睛：本題主要考查一元二次不等式恒成立問題以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.8．若，則的取值范圍是________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，得；綜上，的取值范圍是。12．12．不等式的解集為__________．【答案】{x|-a＜x＜3a}【解析】，因?yàn)椋?不等式的解集為，故答案為.9．已知不等式的解集為,則不等式的解集為.【答案】【解析】考點(diǎn)：一元二次不等式的解法.10．設(shè)命題實(shí)數(shù)滿足，命題實(shí)數(shù)滿足．（I）若，為真命題，求的取值范圍；（II）若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（I）；（II）．【解析】分析：（1）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)求不等式組的解集的問題．（2）將是的充分不必要條件轉(zhuǎn)化為兩不等式解集間的包含關(guān)系處理，通過解不等式組解決．學(xué)&科網(wǎng)詳解：（1）當(dāng)時(shí)，由得，由得，∵為真命題，∴命題均為真命題，∴解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．點(diǎn)睛：根據(jù)充要條件求解參數(shù)的范圍時(shí)，可把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系，由此得到不等式（組）