2023年中考數(shù)學常見幾何模型全歸納(全國通用版)：專題09 最值模型-將軍飲馬（原卷版）

專題09最值模型---將軍飲馬最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，將軍飲馬問題是由軸對稱衍生而來，同時還需掌握平移型將軍飲馬，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的將軍飲馬問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決幾何最值問題主要依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線同側(cè)：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對稱點。例1．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．例2．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，點為矩形的對角線上一動點，點為的中點，連接，，若，，則的最小值為________．例3．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP//EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為________．例4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）【模型介紹】古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側(cè)的兩個軍營．他總是先去營，再到河邊飲馬，之后，再巡查營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數(shù)學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)與直線交于點，連接，則的和最?。埬阍谙铝械拈喿x、理解、應(yīng)用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點，連結(jié)，，，∵直線是點，的對稱軸，點，在上，（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最?。練w納總結(jié)】在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點為與的交點，即，，三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側(cè)兩定點的距離和的最小值”問題的數(shù)學模型．【模型應(yīng)用】（2）如圖④，正方形的邊長為4，為的中點，是上一動點．求的最小值．解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點與關(guān)于直線對稱，連結(jié)交于點，則的最小值就是線段的長度，則的最小值是__________．（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內(nèi)離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂的最短路程為_____．（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．模型2.平移型將軍飲馬（將軍過橋模型）【模型解讀】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現(xiàn)要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2022·重慶中考模擬）如圖，已知直線l1∥l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=______．例2．（2022·廣西·二模）已知，在河的兩岸有A，B兩個村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點為靠近A村莊的河岸上一點，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．模型3.修橋選址模型【模型解讀】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè),且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線m同側(cè)：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關(guān)于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2022.山東青島九年級一模）如圖，已知A（3，1）與B（1，0），PQ是直線y＝x上的一條動線段且PQ＝（Q在P的下方），當AP+PQ+QB最小時，Q點坐標為（）A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）例2．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，矩形中，，是的中點，線段在邊上左右滑動；若，則的最小值為____________．例3．（2022·廣東·九年級期中）如圖，CD是直線x＝1上長度固定為1的一條動線段．已知A（﹣1，0），B（0，4），則四邊形ABCD周長的最小值為_________________．模型4.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)：（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2022·江蘇九年級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC邊上的動點，則△DEF的周長的最小值是（）A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6例2．（2022·湖北武漢市·九年級期中）如圖，點A在y軸上，G、B兩點在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動點，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9例3．（2022·湖北青山·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．（1）求證：△ADC為等邊三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．例4．（2022·山東泰安·中考真題）如圖，，點M、N分別在邊上，且，點P、Q分別在邊上，則的最小值是（

）A． B． C． D．模型5.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側(cè)：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側(cè)：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2022·四川成都·中考真題）如圖，在菱形中，過點作交對角線于點，連接，點是線段上一動點，作關(guān)于直線的對稱點，點是上一動點，連接，．若，，則的最大值為_________．例2．（2022·河南南陽·一模）如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P為直線CD上的動點，則|PA－PB|的最大值為____．例3．（2022·江蘇·九年級月考）如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130課后專項訓(xùn)練1．（2022·山東泰安·二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且EF＝4，點M是EF的中點，點Q是AB的中點，連接PQ、PM，則PQ+PM的最小值為（

）A．10 B． C．8 D．2．（2022·廣東廣州·二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，線段PQ在斜邊AC上運動，且PQ=2．連接BP，BQ．則△BPQ周長的最小值是（

）A． B． C．8 D．3．（2022·安徽合肥·二模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA上的動點(不與端點重合)，若四點運動過程中滿足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，則四邊形EFGH周長的最小值等于（

）A．10 B．10 C．5 D．54．（2022·湖北鄂州·中考真題）如圖，定直線MNPQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ=60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=24，當線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（

）A．24 B．24 C．12 D．125．（2022·山東濰坊·八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，是軸上的一條動線段，且，當取最小值時，點坐標為______.6．（2022·江蘇南通·一模）平面直角坐標系xOy中，已知點P（m，m＋2），點Q（n，0），點M（1，1），則PQ＋QM最小值為_________．7．（2022·江蘇南通·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于點D，點E、F分別是線段AB、AD上的動點，且BE＝AF，則BF+CE的最小值為_____．8．（2022·浙江金華·八年級期末）在綜合實踐課上，小明把邊長為2cm的正方形紙片沿著對角線AC剪開，如圖l所示．然后固定紙片△ABC，把紙片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，連A′B，D′B，D′C，在平移過程中：（1）四邊形A′BCD′的形狀始終是__；（2）A′B+D′B的最小值為__．9．（2022·貴州遵義·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，點，分別為，上的動點，且，．當?shù)闹底钚r，的長為__________．10．（2022·廣西賀州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則的周長最小值為__________．11．（2022·黑龍江·中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．12．（2022·安徽安慶·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．13．（2021·山東威?！ぐ四昙壠谥校驹茨＃耗Ｐ徒ⅰ堪兹盏巧酵寤穑S昏飲馬傍交河．——《古從軍行》唐

李欣詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題，我們稱之為“將軍飲馬”問題．關(guān)鍵是利用軸對稱變換，把直線同側(cè)兩點的折線問題轉(zhuǎn)化為直線兩側(cè)的線段問題，從而解決距高和最短的一類問題．“將軍飲馬”問題的數(shù)學模型如圖所示：【新模1：模型應(yīng)用】如圖1，正方形的邊長為，點在邊上，且，為對角線上一動點，欲使周長最?。?）在圖中確定點的位置（要有必要的畫圖痕跡，不用寫畫法）；（2）周長的最小值為______．【新模2：模型變式】（3）如圖2，在矩形中，，，在矩形內(nèi)部有一動點，滿足，則點到，兩點的距離和的最小值為______．【超模：模型拓廣】（4）如圖3，，，．請構(gòu)造合理的數(shù)學模型，并借助模型求的最小值．14．（2022·江蘇·南外雨花分校一模）閱讀并解答下列問題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點B關(guān)于x軸的對稱點B1，連接A1B1交x軸于點D，將點D向左平移2個單位長度得到點C，連接AC、BD．此時AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點A向右平移2個單位長度到點A1，作點A1關(guān)于x軸的的的點A2，連接A2B可以求解．小亮：對稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是______