單入單出模糊控制器插值方法的解析式

單入單出模糊控制器插值方法的解析式

1模糊控制仿真模糊控制融合了專家的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。結(jié)構(gòu)簡單，具有很強(qiáng)的魯棒性，反應(yīng)快，程序或硬件執(zhí)行方便等優(yōu)點(diǎn)。這是模糊理論中非常成功的領(lǐng)域之一。從結(jié)構(gòu)上講，模糊控制器包括輸入信號的模糊性、基于規(guī)則庫的模糊推理和輸出信號的澄清。另一方面，從數(shù)學(xué)上講，模糊檢測器可以表示輸入域和輸出域之間的映射。文從數(shù)學(xué)上證明了目前常用的模糊控制算法都可以歸結(jié)為某種插值方法.基于模糊控制的插值機(jī)理,文建立了變論域自適應(yīng)模糊控制理論,并對包括四級倒立擺在內(nèi)的一類非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真和實(shí)物實(shí)驗(yàn),取得了很好的效果.此外,基于模糊控制的插值機(jī)理,文還揭示了模糊控制器與PID調(diào)節(jié)器的關(guān)系,文描述了模糊邏輯系統(tǒng)與前向式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)之間的聯(lián)系,文將模糊控制系統(tǒng)應(yīng)用于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的模型建立.此外,模糊控制的插值式還廣泛應(yīng)用于文[9,10,11,12,13,14]:文分析了如何從數(shù)據(jù)中獲取模糊推理規(guī)則庫;文證明了一類模糊系統(tǒng)的泛逼近性;文設(shè)計(jì)了穩(wěn)定的自適應(yīng)模糊控制器;文主要討論T-S模型如何應(yīng)用于模糊控制器的設(shè)計(jì)以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模.T-S模型最成功之處在于將基于數(shù)據(jù)的參數(shù)優(yōu)化方法以及模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析引入模糊系統(tǒng)中,這與文有一定類似.在本文中將證明:規(guī)則庫完備時(shí),文[9,10,11,12,13,14]中模糊系統(tǒng)的輸入輸出映射就是一個(gè)插值式.模糊控制的插值機(jī)理在分析證明時(shí),借助了有限和近似積分的性質(zhì).這一近似建立在規(guī)則數(shù)目較龐大這一基礎(chǔ)上.當(dāng)模糊控制器推理規(guī)則較少時(shí),模糊控制器和插值式間將有較大差距,因此,為了獲取更佳的逼近,需要領(lǐng)域?qū)＜姨峁┍M量多的推理規(guī)則.而龐大的推理規(guī)則庫在實(shí)際應(yīng)用中是難于獲取的.我們需要一個(gè)折衷,一方面規(guī)則數(shù)目不過于龐大,另一方面,插值式能較好的代替模糊控制器.基于以上目標(biāo),本文主要分析單入單出模糊控制器和插值式之間的偏差,以及在實(shí)用中推理規(guī)則數(shù)目的選取.2模糊集的建立設(shè)單入單出模糊控制器輸入論域?yàn)閄=[a,b],X上模糊劃分為A={Ai|1≤i≤n},其中Ai∈F(X)為正規(guī)模糊集(即?!xi∈X,Ai(xi)=1,稱xi為模糊集Ai的峰點(diǎn));輸出論域?yàn)閅=[c,d],Y上模糊劃分為B={Bi|1≤i≤n},其中Bi∈F(Y)為正規(guī)模糊集,峰點(diǎn)為yi∈Y.此外,模糊劃分為單調(diào)的,即A和B滿足:x1<x2<…<xn以及y1<y2<…<yn.選取模糊化方式為單值模糊化,模糊蘊(yùn)涵算子θ為取小算子或乘積算子,聚合算子為取大運(yùn)算,去模糊化方式為重心法,假設(shè)推理規(guī)則庫共有n條規(guī)則,分別為Rulei:ifxisAithenyisBi,1≤i≤n(1)由此得到X×Y上規(guī)則i確定的模糊關(guān)系Ri∈F(X×Y)且Ri(x,y)=θ(Ai(x),Bi(y)),并聚合為總模糊關(guān)系R=R1∪R2∪…∪Rn;由此可以誘導(dǎo)輸入論域X到輸出論域Y的模糊映射φ:F(X)→F(Y)Aφ(A)?A。R(2)因此,?x∈X,以單值模糊化方式得到模糊集Ax,由式(2)可計(jì)算出B=φ(Ax)=Ax。R.最后,以重心法去模糊化,由此得到單入單出模糊控制器的控制函數(shù)y=f(x)=∫YyB(y)dy∫YB(y)dy=∫Yyn∨i=1θ(Ai(x),Bi(y))dy∫Yn∨i=1θ(Ai(x),Bi(y))dy(3)此外,基于式(1)的單入單出模糊控制器一元分段插值表達(dá)式為y=F(x)=n∑i=1Ai(x)yi(4)無論是單入單出還是多入單出模糊控制器,一般我們對論域模糊劃分A或B的要求沿用文在分析模糊聚類時(shí)所給出的模糊劃分定義,即?i∈{1,2,…,n},Ai≠>且?x∈X,n∑i=1Ai(x)=1二相基元組是一類特殊的模糊劃分,滿足有?x∈X有|{i|Ai(x)>0,1≤i≤n}|≤2,其中|S|中表示有限集S的元素個(gè)數(shù).最常用的二相基元組為三角形模糊劃分,即A1(x)=trimf(x,[x1-1,x1,x2]);Ai(x)=trimf(x,[xi-1,xi,xi+1]);1＜i＜nAn(x)=trimf(x,[xn-1,xn,xn+1]);}(5)其中,三角形函數(shù)trimf(x,[a,b,c])是Matlab模糊工具箱中多個(gè)隸屬函數(shù)之一.3控制函數(shù)解析下面,我們首先證明規(guī)則庫完備前提下,文[9,10,11,12,13,14]涉及的多入單出模糊系統(tǒng)的輸入輸出映射就是一個(gè)插值式,然后給出單入單出模糊控制器插值式的偏差表達(dá)式以及一個(gè)上界估計(jì).設(shè)多入單出模糊系統(tǒng)輸入變量為x=(x1,x2,…,xk),輸入論域?yàn)閄=X1×X2×…×Xk,輸出變量為y,論域?yàn)閅,模糊規(guī)則庫是由如下n條模糊IF-THEN規(guī)則組成:Rulei:ifx1isA(i)1andx2isA(i)2and…andxkisA(i)kthenyisBi(6)其中A(i)s為論域Xs上模糊集,Bi為輸出論域上模糊集,1≤s≤k,1≤i≤n.由文[9,10,11,12,13,14]可知,選擇單值模糊化、乘積型模糊蘊(yùn)涵算子和中心平均去模糊化的模糊系統(tǒng)以及多入單出零階T-S模型均為:y=f(x)=n∑i=1yiωi(x)/n∑i=1ωi(x)(7)其中yi為模糊集Bi的峰點(diǎn),ωi(x)?.當(dāng)規(guī)則庫式(6)完備時(shí),存在一組模糊劃分{A1,…,Ak}滿足?s∈{1,?,k},As={A?s(is)|1≤is≤ps}?F(Xs),滿足p1…pk=n且A?s(is)=As(i),其中∑s=1k-1(is-1)ps+ik=i.因此,∑i=1nωi(x)=∑i1=1p1∑i2=1p2…∑ik=1pkA?1(i1)(x1)A?2(i2)(x2)?A?k(ik)(xk)=∑i1=1p1…∑ik-1=1pk-1A?1(i1)(x1)…A?k-1(ik-1)(xk-1)∑ik=1pkA?k(ik)(xk)=∑i1=1p1…∑ik-1=1pk-1A?1(i1)(x1)?A?k-1(ik-1)(xk-1)=1故式(7)可轉(zhuǎn)化為y=f(x)=∑i=1nyiωi(x),即多元分片插值式.為計(jì)算單入單出模糊控制器的一元分段插值函數(shù)F(x)與控制函數(shù)f(x)之間差異,先給出描述控制函數(shù)f(x)解析式的兩個(gè)引理.引理1給定單入單出模糊控制器,其控制規(guī)則為式(1),約定模糊蘊(yùn)涵算子θ為乘積算子,A為二相基元組且B為三角形模糊劃分,則?x∈X,?i∈{1,…,n-1},有x∈[xi,xi+1]且控制函數(shù)f(x)=yi+-λhi2+(2-2λ+λ3)hi+12+3(1-λ)hi+1hi+2+(1-λ)hi+223λhi+3(1-λ+λ2)hi+1+3(1-λ)hi+2(8)其中λ?Ai(x),hk?yk-yk-1,1≤k≤n+1,y0?y1,yn+1?yn.特別,若輸出論域上模糊劃分的峰點(diǎn)為等距分布時(shí),約定h?y2-y1(如無特別聲明,本文中符號y0,yn+1,λ,hk,h含義不變,以后不再約定),控制函數(shù)有簡潔表達(dá)式:f(x)={y1+h(6-6λ+λ3)/(6-6λ+3λ2),i=1;yi+h(6-7λ+λ3)/(6-3λ+3λ2),i=2,?,n-2;yn-1+h(2-3λ+λ3)/(3+3λ2),i=n-1.(9)證明假設(shè)x∈[xi,xi+1]且2≤i≤n-2.由A、B為二相基元組及式(3),有f(x)=∫YyB(y)dy/∫YB(y)dy.其中B(y)=∨i=1nAi(x)·Bi(y)=λBi(y)∨(1-λ)Bi+1(y).從而有B(y)={λhi(y-yi-1),y∈[yi-1,yi);λhi+1(yi+1-y),y∈[yi,λyi+1+(1-λ)yi);1-λhi+1(y-yi),y∈[λyi+1+(1-λ)yi,yi+1);1-λhi+2(yi+2-y),y∈[yi+1+yi+2);0,otherwise.因此∫YB(y)dy=1/2(λhi+(1-λ+λ2)hi+1+(1-λ)hi+2)(10)∫YyB(y)dy=1/2yi(λhi+(1-λ+λ2)hi+1+(1-λ)hi+2)+1/6(-λhi2+(2+λ3-2λ)hi+12+3(1-λ)hi+1hi+2+(1-λ)hi+22)(11)綜合式(10)以及式(11)可得式(8).此外,當(dāng)i=1即x∈[x1,x2]時(shí)h1=0,當(dāng)i=n-1即x∈[xn-1,xn]時(shí)hn+1=0,類似可得式(8).注1對于峰點(diǎn)xi+1而言,有xi+1∈[xi,xi+1],且λ?Ai(xi+1)=0,由式(8)f(xi+1)=yi+2hi+12+3hi+1hi+2+hi+223hi+1+3hi+2=yi+13(2hi+1+hi+2)=yi+yi+1+yi+23?而同時(shí)xi+1∈[xi+1,xi+2]且λ?Ai+1(xi+1)=1,由式(8)f(xi+1)=yi+1+hi+22-hi+123hi+1+3hi+1=yi+1+13(hi+2-hi+1)=yi+yi+1+yi+23從而驗(yàn)證了控制函數(shù)y=f(x)在峰點(diǎn)處取值無歧義.引理2給定單入單出模糊控制器,其控制規(guī)則為式(1),約定模糊蘊(yùn)涵算子θ為取小算子,A為二相基元組且B為三角形模糊劃分,則?x∈X,?i∈{1,…,n-1},有x∈[xi,xi+1]且控制函數(shù)f(x)=yi+[(-3λ+3λ2-λ3)hi2+(2-3λ2+2λ3)hi+12+3(1-λ2)hi+1hi+2+(1-λ3)hi+22]/[(6λ-3λ2)hi+3hi+1+(3-3λ2)hi+2](12)特別,若輸出論域上模糊劃分的峰點(diǎn)為等距分布時(shí),控制函數(shù)有簡潔表達(dá)式:f(x)={y1+(6-6λ2+λ3)/(6-3λ2)h,i=1;yi+(6-3λ-3λ2)/(6+6λ-6λ2)h,i=2,?,n-2;yn-1+(2-3λ+λ3)/(3+6λ-3λ2)h,i=n-1.(13)證明類似引理1證明,當(dāng)x∈[xi,xi+1]且2≤i≤n-2時(shí),B(y)=∨i=1n(Ai(x)∧Bi(y))=(λ∧Bi(y))∨((1-λ)∧Bi+1(y))?情況1,當(dāng)λ≤1/2時(shí),∫YB(y)dy=1/2((2λ-λ2)hi+hi+1+(1-λ2)hi+2)(14)∫YyB(y)dy=1/2yi((2λ-λ2)hi+hi+1+(1-λ2)hi+2)+1/6((-3λ+3λ2-λ3)hi2+(2-3λ2+2λ3)hi+12+3(1-λ2)hi+1hi+2+(1-λ3)hi+22).(15)?情況2,當(dāng)λ>1/2時(shí),表達(dá)式∫YB(y)dy和∫YyB(y)dy分別同于式(14)和式(15).綜合式(14)與式(15),可計(jì)算出式(12).從引理1以及引理2證明過程容易看出:當(dāng)輸入信號x=xi時(shí),有λ=Ai(xi)=1,因此,模糊蘊(yùn)涵算子選擇取小算子時(shí),B(y)=(Ai(xi)∧Bi(y))∨(Ai+1(xi)∧Bi+1(y))=Bi(y),而模糊蘊(yùn)涵算子選擇乘積算子時(shí),亦有B(y)=(Ai(xi)·Bi(y))∨(Ai+1(xi)·Bi+1(y))=Bi(y).因此,不難理解如下推論:推論1給定單入單出模糊控制器,其控制規(guī)則為式(1),A為二相基元組且B為三角形模糊劃分,則無論θ選擇乘積算子還是取小算子,均有f(xi)=(yi-1+yi+yi+1)/3,1≤i≤n.有了引理1和引理2的準(zhǔn)備,我們可以給出單入單出模糊控制器控制函數(shù)y=f(x)和插值式y(tǒng)=F(x)之間偏差d(x)?f(x)-F(x)的解析式.定理1給定單入單出模糊控制器,其控制規(guī)則為式(1),約定θ為乘積算子,A為二相基元組且B為三角形模糊劃分,則?x∈X,?i∈{1,…,n-1},有x∈[xi,xi+1]且偏差d(x)=[-λhi2-3(λ-λ2)hihi+1+p(λ)hi+12+3(λ-λ2)hi+1hi+2+(1-λ)hi+22]/[3λhi+3(1-λ+λ2)hi+1+3(1-λ)hi+2](16)其中p(λ)=-1+4λ-6λ2+4λ3∈[-1,1].若記hmin?min2≤i≤nhi,hmax?max2≤i≤nhi,則|d(x)|≤2hmax2/(3hmin),?x∈X.(17)證明略,見附錄.定理2給定單入單出模糊控制器,其控制規(guī)則為式(1),約定θ為取小算子,A為二相基元組且B為三角形模糊劃分,則?x∈[xi,xi+1],i=1,2,…,n-1,控制函數(shù)與插值式間偏差為d(x)=[φ1(λ)hi2+φ2(λ)hihi+1+φ3(λ)hi+12+(3λ-3λ3)hi+1hi+2+(1-λ3)hi+22]/[(6λ-3λ2)hi+3hi+1+(3-3λ2)hi+2](18)其中φ1(λ)?-3λ+3λ2-λ3,φ2(λ)?-6λ+9λ2-3λ3,φ3(λ)?-1+3λ-3λ2+2λ3.此外,|d(x)|≤2hmax2/(3hmin),?x∈X(19)因類似附錄1中定理1的證明,略.定理1和定理2給出了單入單出模糊控制器控制函數(shù)與插值式間偏差的一個(gè)上界估計(jì),這對模糊系統(tǒng)在實(shí)際使用時(shí)規(guī)則數(shù)的確定有一定的指導(dǎo)意義:比如,輸出論域?yàn)榈染鄤澐謺r(shí),為了插值式與控制函數(shù)達(dá)到指定的靠近程度σL(參數(shù)L為輸出論域區(qū)間長度),規(guī)則數(shù)n可選擇為n=[2/(3σ)]+1;例如,σ=10%,則n=7.例1選擇輸入論域?yàn)閄=[-1,1],輸出論域?yàn)閅=[-2,2],輸入輸出論域上模糊劃分均為三角形模糊劃分,模糊蘊(yùn)涵算子分別為取小算子θ13和乘積算子θ14,模糊化方法為單值模糊化,規(guī)則庫為完備的單調(diào)規(guī)則庫,去模糊化方法為重心法.圖1分別模糊蘊(yùn)涵算子分別為θ13和θ14且n=3,7,9時(shí),模糊系統(tǒng)的控制函數(shù)與插值函數(shù)的對比.4模糊系統(tǒng)模糊控制器的特性分析眾所周知,重心法是模糊控制器中最早也是最成熟的去模糊化方法,文還證明了重心法在平均平