中考高分的十八個(gè)關(guān)節(jié)關(guān)節(jié)8審題與解法探尋的策略

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在中，，在中，，。 （1``）即【說明】對于（2）的如上的證法，是以對（1）的基礎(chǔ)上背景圖形（1`）特點(diǎn)的深入認(rèn)識和對“用三角形三邊的關(guān)系證線段的不等關(guān)系”這一基本模式的深刻掌握，才自然而順利地形成的。例2一手機(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃購進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購進(jìn)8部，且恰好用完預(yù)計(jì)的購機(jī)款61000元，設(shè)購進(jìn)A型手機(jī)部，B型手機(jī)部，三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)如下表：手機(jī)型號A型B型C型進(jìn)價(jià)（單位：元/部）90012001100預(yù)售價(jià)（單位：元/部）120016001300

（1）用含，的式子表示購進(jìn)C型手機(jī)的部數(shù)； （2）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）假設(shè)所購進(jìn)手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷商在購進(jìn)這批手機(jī)過程中需另外支出各種費(fèi)用共1500元。①求出預(yù)估利潤（元）與（部）的函數(shù)關(guān)系式；（注：預(yù)估利潤=預(yù)售總額—購機(jī)款—各種費(fèi)用）。②求出預(yù)估利潤的最大值，并寫出此時(shí)購進(jìn)三款手機(jī)各多少部？【觀察與思考】梳理本題的數(shù)量關(guān)系背景：背景一：三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)售價(jià)（如題中的表所示）背景二：購進(jìn)A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，即；背景三：購進(jìn)60部手機(jī)恰好用61000元，即；對以上三方面的背景進(jìn)一步研究，可知：Ⅰ、對于問題（1），由背景二即可明確解答。Ⅱ、對于問題（2），顯然單由背景二不能解決，若將背景二和背景三相結(jié)合，則兩個(gè)交量（和），在兩個(gè)關(guān)系中（背景二和背景三所確定的兩個(gè)等量關(guān)系），便相依存地聯(lián)系在了一起，——這正是我們在函數(shù)部分指出的建立函數(shù)關(guān)系的第三條途徑，——通過等式導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系式。Ⅲ、對于問題（3），有了問題（1）、（2）的解決，再根據(jù)背景三，可由“直接列式法”寫出與的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而解決最大利潤問題。解：（1）；（2）由題意和（1）得：，從中可導(dǎo)出：（3）由①題意，得，整理得②購進(jìn)C型手機(jī)部數(shù)為：，根據(jù)題意列不等式組得，， 解得的范圍為，且為整數(shù)， （6）這樣，在時(shí)，重疊部分的圖形為等腰直角三角形，時(shí)，重疊部分的圖形為等腰梯形，分別計(jì)算面積即可。簡解：當(dāng)（如圖（2）當(dāng)時(shí)，（見圖（4），為平行四邊形，，為等腰梯形ABCD的高），易知， 當(dāng) 當(dāng)【說明】當(dāng)整個(gè)過程出現(xiàn)不同的制式或不同的對應(yīng)規(guī)則時(shí)，必須分段處理，但為什么分段和如何分段正是建立在對“過程”深入而全面研究的基礎(chǔ)上的。當(dāng)一個(gè)題目和“過程”相關(guān)時(shí)，必須全面深入地去研究“過程”這是審題活動不可或缺的一部分。二、關(guān)于解法的探尋解法的探尋是解題活動的中心，它是相關(guān)知識與思考策略正確使用及結(jié)合的產(chǎn)物，其表現(xiàn)形式豐富多彩，且常因人而異，我們只能擇其要者和常用的方法提供給同學(xué)們參考。1、向基本模型和基本模式化歸我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，集中體現(xiàn)為一些基本模型，如“方程模型”、“函數(shù)模型”、“直角三角形模型”、“相似三角形模型”等，以及一些基本模式，如數(shù)、式的算法和公式，基本圖形的基本性質(zhì)和圖形關(guān)系等。幾乎所有的數(shù)學(xué)問題都要化歸到這些基本模型或基本模式才能解決。因此，“將問題化歸到基本模型或基本模式”就是最高超的數(shù)學(xué)能力，當(dāng)然也是解法探尋最為重要的思考策略。例1在某次數(shù)字變換游戲中，我們把整數(shù)稱為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則是：將舊數(shù)先平方，再除以100，所得到的數(shù)稱為“新數(shù)”。（1）請把舊數(shù)80和26按照上述規(guī)則變換為新數(shù)；（2）經(jīng)過上述變換后，我們發(fā)現(xiàn)許多舊數(shù)變小，有有斷言：“按照上述變換規(guī)則，所有的新數(shù)都不等于它的舊數(shù)”。你認(rèn)為這種說法對嗎？若不對，請求出所有不符合這一說法的舊數(shù)；（3）請求出按照上述規(guī)則變換后減小了最多的舊數(shù)（要寫出解答過程）【觀察與思考】對于（1），按規(guī)定計(jì)算即可；對于（2），應(yīng)化歸到方程來解決；對于（3），為了建立舊數(shù)與所變新數(shù)之間的差和舊數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)然要引入“函數(shù)”。解：（2）不對，設(shè)這個(gè)數(shù)為，滿足即。解得。不符合這一說法的舊數(shù)有0和100。（3）設(shè)舊數(shù)為，變換后減少的最為，則時(shí)，有最大值25，即變換后減少最多的舊數(shù)是50?！菊f明】在這里，正是由于正確而及時(shí)地將問題化歸到方程和函數(shù)，才使問題獲得規(guī)范而迅速的解決。ABCD例2如圖，在矩形ABCD中，線段，在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM，MF為一邊作矩形EMNH，矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形。令當(dāng)為何值時(shí)矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？ABCD【觀察與思考】在我們搞清楚題目背景和要解決的問題之后，自然地就會形成EFEFMNGH在本題，矩形EMNH的邊EM被另一邊MN所決定，因而其面積也就被邊MN所決定，也就是說，矩形EMNH的面積是其一邊“MN的函數(shù)”，本題就是研究這個(gè)函數(shù)的“最值”問題的，因此，必須先把這個(gè)函數(shù)求出來。第二，由矩形MFGN∽矩形，可知，這樣，矩形EMNH中應(yīng)有：，因此，矩形EMNH的面積S關(guān)于MN的函數(shù)表達(dá)式容易建立起來?！鉀Q的方法就這樣確立了出來。解：設(shè)MN的長為，則由矩形MFGN∽矩形，得，即。當(dāng)MN的長為時(shí)，矩形EMNH的最大值為?！菊f明】認(rèn)識到這是函數(shù)，然后建立函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)（這不就是函數(shù)“三個(gè)支點(diǎn)”嗎？）正是恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了“函數(shù)模型”使本題解答自然流暢，簡易明快。ADCBMN例3如圖，在梯形中，分別是的中點(diǎn)，若與互余，則與的關(guān)系是（）ADCBMNA、B、C、D、ADCBMNFEADCBMNFE， （1`）即F為斜邊CE的中點(diǎn)，當(dāng)然有。也即有。解：應(yīng)選C?！菊f明】在這里，根據(jù)題目背景，認(rèn)識到并實(shí)施化歸到“直角三角形”是關(guān)鍵。ADBCE例4現(xiàn)有一張矩形紙片如圖（1），其中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，實(shí)施操作：將紙片沿直線AE折疊，使點(diǎn)B落在梯形內(nèi)，記為點(diǎn)。ADBCE（1）請用尺規(guī)，在圖中作出（保留作圖痕跡）（2）試求兩點(diǎn)之間的距離。 （1）【觀察與思考】點(diǎn)易作出，要求線段長度，立刻想到尋找相關(guān)的直角三角形。解：（1）可以從關(guān)于對稱來作，也可以從來作，作法略，如圖（1`）ADBCADBCECF。在中，。 （1`）兩點(diǎn)之間的距離為?！菊f明】為求，始終把尋找相關(guān)的直角三角形作為思考的指導(dǎo)。例5如圖，在中，，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA，CB分別相交于點(diǎn)P，Q，則線段PQ的長度的最小值是（）A、B、C、D、ABABCDABCQP （1`） （1）【觀察與思考】過直角頂點(diǎn)C且與斜邊AB相切的圓有無數(shù)多個(gè)，最小的就是以斜邊上的高為直徑的圓，即PQ的最小值應(yīng)等于斜邊上的高，因此，本題歸于圖（1`）這樣的基本模式，即求斜邊上的高CD的長。解：應(yīng)選：B。【說明】將圖（1）和原問題化歸到圖（1`）這樣的基本模式，轉(zhuǎn)化為求CD的長，就是本題獲解的最佳通道。由以上幾例可以看出：Ⅰ、化歸到基本模型或基本模式，是解法探究的第一指導(dǎo)思想，是最重要的思考策略，是最大的“巧”?、颉⒒瘹w意識的強(qiáng)烈，化歸方法的有效落實(shí)，是以對“方程”、“函數(shù)”、“直角三角形”、“相似三角形”等這些模型，和一系列的模式的意義和作用，有深刻認(rèn)識把握為基礎(chǔ)的，達(dá)到“似非方程，卻恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用方程”，“似非函數(shù)，卻恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用函數(shù)”，“似無直角三角形，卻恰當(dāng)?shù)卦斐霾⒂弥苯侨切巍?，表面上不是某個(gè)模式，卻恰當(dāng)?shù)貧w入并運(yùn)用這一模式，達(dá)到這樣的程度，就標(biāo)志著對知識的掌握上升到了本質(zhì)和原理的水平。這正是每一個(gè)學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)追求的目標(biāo)。2、把“特殊與一般的關(guān)系”用活，用足特殊與一般的關(guān)系是人們認(rèn)識事物、解決問題最常用的思維方法。在我們探究數(shù)學(xué)問題的解法時(shí)，它同樣發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。（1）注意從背景中的“特殊點(diǎn)”切入我們知道，在平行四邊形的背景下若附加“對角線互相垂直”，它就成了菱形，若附加更特殊的條件“對角線互相垂直且相等”。它就成了正方形，可知，越是特殊的條件，越體現(xiàn)著事物的特殊性，而越是特殊的東西范圍越小，相對的就越好解決。ABCDFGE例6已知：如圖，在梯形中，，點(diǎn)分別在邊上，ABCDFGE（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)時(shí)，求證：四邊形是矩形?！居^察與思考】在四邊形是等腰梯形的大背景下，對于（1），就要從“”這個(gè)附加的特殊條件切入，去推得且。對于（2），就要從更特殊的附加條件“”切入，而為了應(yīng)用“2倍角”這個(gè)關(guān)系，想到作于H（如圖（1`），目的是將平分，構(gòu)造出等角和直角三角形。ABCDFGEHABCDFGEH。 （1`）即又四邊形是平行四邊形。（2）過點(diǎn)G作，垂足為H，（如圖（1`）。平行四邊形是矩形?！菊f明】由本例可以看出，最特殊的條件，常常正好是解法探尋的入口處。（2）善于借特殊窺測一般，解決一般BCAMN（D）E）O）ACMNDEB例7如圖，在中，分別是的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，連結(jié)，若BCAMN（D）E）O）ACMNDEB （1`） （1）【觀察與思考】在本題，的三邊是確定的，點(diǎn)的位置是確定的，而在上且，但兩點(diǎn)的位置不確定，它們在滿足上述條件下是可以在上移動的，這個(gè)移動不影響陰影部分面積的大小。現(xiàn)考慮將原圖換成圖（1`）那樣的特殊情況，即E為的中點(diǎn)，D重合于點(diǎn)B，此時(shí)立刻看出，即。解：應(yīng)填30。例8現(xiàn)有若干張邊長不相等但都大于4的正方形紙片，從中任選一張，如圖（1），從距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)2處，沿角畫線，將正方形紙片分成5部分，則中間陰影部分的面積是；若在上述正方形紙片中再任選一張重復(fù)上述過程，并計(jì)算陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？。 （1） （1`）【觀察與思考】若將陰影部分的正方形沿原正方形紙片的對角線平移，使兩頂點(diǎn)到正方形紙片兩鄰邊上，如圖（1`），立刻看到陰影正方形的邊長為，所有有：解：陰影部分正方形面積為；所得陰影正方形是定值：都等于。（3）正向思考與逆向思考的轉(zhuǎn)化例12如圖，在中，分別以為邊在BC的同側(cè)作等邊三角形，等邊三角形，等邊三角形。（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）①當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形DAEF是矩形；②當(dāng)滿足條件時(shí)，四邊形DAEF是菱形；DBAEFC③DBAEFC【觀察與思考】對于（1），通過證明可推得解：（1）和都是等邊三角形又，同理四邊形ADFE是平行四邊形【觀察與思考】對于（2），應(yīng)逆過來思考，即從結(jié)論出發(fā)尋找條件。若，則需若則需，但又不等于BC。因當(dāng)時(shí)，DAEF在一條直線上，已不構(gòu)成四邊形——這正是（3）的情況。解：（2）①；②；③，且；【說明】象本題中對（2）的思考，就是運(yùn)用了“逆向”的形式，當(dāng)由結(jié)論探尋其成立的條件時(shí)，常常用這種方法。不過在運(yùn)用逆向思考得到結(jié)果后，還需正過來進(jìn)行驗(yàn)證。以上列舉的事實(shí)可以看到：獲得問題解法的主要思考策略是：Ⅰ、化歸到基本模型或基本模式；Ⅱ、用活，用足特殊與一般的關(guān)系；Ⅲ、從等價(jià)、數(shù)與形、正向逆向三個(gè)角度考慮將問題轉(zhuǎn)化。練習(xí)題ADCBEGADCBEGFH（1）試探索四邊形EGFH的形狀，并說明理由。（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形EGFH是菱形？并加以證明。（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶€段EF與線段BC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論。AABCD2、如圖，在等腰直角三角形ABC中，，AD為的平分線。求。3、如圖（1），在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AF平分交BD于點(diǎn)F。（1）求證：（2）點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)B重合），同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動，點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動速度相同，當(dāng)動點(diǎn)停止動動時(shí)，另一動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，如圖（2），平分，交BD于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請猜想，與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；ABCDABCDCAAABCDEF （2） （1）4、如圖，正方形ABCD的邊長是，一個(gè)邊長為的小正方形沿著正方形ABCD的邊ABCDAAB BC CD DA AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，它的方向是（）ABCDAAAAAAA B C D5、如圖（1），在邊長為的正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上