因式分解知識(shí)要點(diǎn)

PAGE2-因式分解知識(shí)要點(diǎn)因式分解在代數(shù)式的恒等變形、根式運(yùn)算、分式通分與約分、一元二次方程以及三角函數(shù)的變形求解等方面均有著十分重要的應(yīng)用，下面對(duì)因式分解中的有關(guān)知識(shí)要點(diǎn)進(jìn)行歸納說明，供大家學(xué)習(xí)和參考。1、因式分解的定義把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（也可叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式）。本定義可從以下幾方面進(jìn)行理解：⑴、因式分解是一種恒等變形，如,無論字母a和b取何值，代數(shù)式與的值總是相等的；⑵、因式分解的結(jié)果必須是整式的積的形式，分解后的因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，但必須都是整式；⑶、由于因式分解是整式乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，故因式分解是否正確，通?？梢杂谜匠朔ㄟM(jìn)行檢驗(yàn)，看乘得的結(jié)果是否等于原多項(xiàng)式；⑷、多項(xiàng)式的因式分解，必須進(jìn)行到每個(gè)因式都不能再分解為止，但要注意是在何種數(shù)集內(nèi)進(jìn)行因式分解（如無特殊說明，教材一般只要求在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行分解）。2、因式分解的方法⑴、提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，則可利用分配律將此多項(xiàng)式的公因式提出來，從而將原多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的積的形式，像這種因式分解的方法，叫做提公因式法。如:。⑵、運(yùn)用公式法：利用等式的性質(zhì)將乘法公式逆用從而實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式的因式分解，像這種因式分解的方法就稱為公式法。公式法主要有以下兩種：①平方差公式：；②完全平方公式：。⑶、分組分解法（教材中未給出但作業(yè)中有所涉及）:將一個(gè)多項(xiàng)式中所含的各項(xiàng)分成若干組，然后再利用提公因式法或公式法等方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，像這種因式分解的方法就稱為分組分解法。運(yùn)用分組分解法的目的和作用主要有兩個(gè)——①分組后能直接提公因式；②分組后能直接運(yùn)用公式（平方差公式或完全平方公式）。3、因式分解的步驟因式分解的一般步驟是：先看各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式，則先提取公因式；若無公因式，則看能否運(yùn)用公式法進(jìn)行分解；最后，若以上方法均不能分解，則可嘗試采用分組分解法。因式分解也可按以下步驟進(jìn)行考慮：先提公因式，若公因式提取后的多項(xiàng)式是二項(xiàng)式，則考慮用平方差公式；若是三項(xiàng)式，則考慮用完全平方公式或分組分解法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，則應(yīng)考慮用分組分解法。因式分解的步驟還可用口決概括為：“先看有無公因式，再看能否套公式，分組分解試一試，最后結(jié)果要合適”。4、有關(guān)因式分解的幾項(xiàng)規(guī)定⑴、因式分解的結(jié)果中若既有單項(xiàng)式又有多項(xiàng)式，則單項(xiàng)式須放在多項(xiàng)式的前面。如；⑵、提公因式時(shí),必須一次性提盡相同字母的最低次數(shù)。如對(duì)提公因式時(shí)，不能寫成；⑶、分解因式后的乘積中若有相同的因式，則應(yīng)寫成冪的形式。如對(duì)分解因式時(shí)應(yīng)寫作，而不寫作；⑷、多項(xiàng)式的最高次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，分解因式前應(yīng)先提出“－”號(hào)。如；以上規(guī)定需要同學(xué)們?cè)诮忸}過程中認(rèn)真進(jìn)行反思、領(lǐng)悟和體會(huì)，切忌死記硬背?！兑蚴椒纸狻分R(shí)要點(diǎn)精析一、因式分解的概念：1、因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解.2、因式分解的注意事項(xiàng)：（1）因式分解的結(jié)果必須是幾個(gè)整式積的形式，如：①x＋2＝x（），②x2－4＋5x＝（x＋2）（x－2）＋5x，這些都不是因式分解，因?yàn)棰俨皇钦?，②不是積的形式.（3）分解結(jié)果應(yīng)在指定范圍內(nèi)不能再分解為止；若無指定范圍，一般在有理數(shù)范圍內(nèi)分解如：a4－16＝（a2＋4）（a2－4），到此還沒有分解徹底，正確解：原式＝（a2＋4）（a2－4）＝（a2＋4）（a＋2）（a－2）；（4）結(jié)果中相同的因式要寫成冪的形式；（5）單項(xiàng)式不存在因式分解.二、因式分解的方法：（一）提取公因式法：1、提取公因式：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么可把該公因式提取出來進(jìn)行分解的方法叫做提取公因式法.如：多項(xiàng)式ma＋mb各項(xiàng)都含有的公因式m，可將m提到括號(hào)外面，寫成m（a＋b）的形式.2、公因式的確定：用提取公因式法分解因式的關(guān)鍵是確定公因式，確定公因式可按照下面的步驟：（1）公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的最大公約數(shù)（當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時(shí)）

（2）字母取各項(xiàng)的相同字母，（3）各字母的指數(shù)取最低次冪3、提取公因式的注意事項(xiàng)（1）提公因式后的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣，（2）當(dāng)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)恰好是公因式時(shí)，這一項(xiàng)應(yīng)看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應(yīng)是1.1作為項(xiàng)的系數(shù)通?？墒÷裕绻麊为?dú)成一項(xiàng)時(shí)，它在因式分解時(shí)不能漏項(xiàng).這類題常有學(xué)生犯下面的錯(cuò)誤，如：4x2－8ax＋2x=2x（2x－4a（3）第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)先提負(fù)號(hào)轉(zhuǎn)化，然后再提公因式（4）添括號(hào)法則：括號(hào)前面是“＋”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)；括號(hào)前面是“－”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都要變號(hào)（5）公因式要提盡，如：＝3ab＋6abx＝9aby＝ab(3＋6x＋9y)(×)原式應(yīng)分解為：－3ab(1－2x＋3y)（6）公因式可以是一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式.如：2（a－b）－a＋b，利用添括號(hào)法則把－a＋b可變形成－（a＋b），若把（a－b）看作m，原多項(xiàng)式就可以提取公因式a－b.（二）運(yùn)用公式法：1、概念平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）；完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2.（a、b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式）在選用完全平方公式的關(guān)鍵是看多項(xiàng)式中的乘積為2倍的符號(hào).2、運(yùn)用公式法的注意事項(xiàng)：（1）若多項(xiàng)式為兩項(xiàng)，這兩項(xiàng)都能寫成完全平方數(shù)（或式）的形式，且符號(hào)相反，即可用平方差公式；（2）若多項(xiàng)式為三項(xiàng)，其中有兩項(xiàng)能寫成完全平方數(shù)（或式）的形式，符號(hào)相同，且第三項(xiàng)恰是這兩個(gè)數(shù)（或式）的2倍或2倍的相反數(shù)，即可用完全平方公式；（3）因式分解時(shí)，無論有幾項(xiàng)，首先考慮提取公因式.再考慮是否符合公式.第一章《分解因式》導(dǎo)學(xué)一、知識(shí)梳理二、備考兵法1、提公因式法的關(guān)鍵是正確的找到公因式。公因式一般是由各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母（或因式）的最低次冪的積所組成。公因式提取后，各項(xiàng)的余下部分要用括號(hào)括起來，而括號(hào)內(nèi)仍是一個(gè)與羽原多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)相同的多項(xiàng)式。當(dāng)提取的公因式帶有“－”號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)都要改變符號(hào)。2、分解因式與整式乘法是互逆的關(guān)系。多項(xiàng)式分解因式是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，而整式的乘法是把幾個(gè)整式的積化成一個(gè)多項(xiàng)式。它們都是恒等變形，是互逆的兩個(gè)過程。分解因式與整式乘法有著十分密切關(guān)系，理解并抓住它們的聯(lián)系不僅是學(xué)好分解因式的關(guān)鍵，也可以深化對(duì)整式乘法的理解。3、在熟練掌握公式法之后，有時(shí)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行必要的變形是必不可少的。在運(yùn)用基本方法的過程中，有時(shí)需要對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M、添項(xiàng)、拆項(xiàng)等變形過程。其分解的一般步驟是：（1）首先看能否提公因式；（2）如果多項(xiàng)式符合公式的特征，可直接運(yùn)用公式；（3）上述兩種方法都不能進(jìn)行，可考慮適當(dāng)分組，但要注意“分組”的目的是能夠達(dá)到提取公因式或運(yùn)用公式。例如(a+2)(a－2)=a2－4是整式乘法；a2－4=(a－2)(a+2)是分解因式。3、體現(xiàn)逆向思維的思想方法。鑒于分解因式和整式乘法是互逆變形，因此可將分解因式的結(jié)果還原成一個(gè)多項(xiàng)式的方法進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)這也是一種逆向思維的思想方法。這種思想方法的滲透和應(yīng)用十分廣泛。4、分解因式的結(jié)果的檢驗(yàn).由于分解因式與整式乘法是互逆的變形過程，因此可以將分解的結(jié)果的兩個(gè)因式乘開，看是否與左邊的多項(xiàng)式是否一致。還可以對(duì)字母取相同的數(shù)值，分別代入左右兩邊，看兩邊的值是否相等，即可知道分解是否正確。三、要點(diǎn)識(shí)記1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式＿＿＿＿.2、提取公因式法：3、運(yùn)用公式法平方差公式a2－b2=＿＿＿＿＿＿；完全平方公式a2±2ab+b2=＿＿＿＿.4.分解因式的一般步驟：一提二套三分組，二次三項(xiàng)想十字相乘．例1下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為()（A） （B）（C）（D）解析：選（C）。點(diǎn)評(píng)解答此類題目要充分理解分解因式的定義和具體要求。顯然（A）屬于整式乘法，（B）只是分解了局部，沒有完全化成整式的積的形式，而（D）雖然等式右邊是一個(gè)多項(xiàng)式，左邊是整式的積的形式，但由平方差公式可知是分解的結(jié)果，所以式子在變形過程中丟掉了“”，不屬于恒等變形，因而也不屬于分解因式。例2把8a3b2－12ab3c分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．先引導(dǎo)學(xué)生按確定公因式的方法找出多項(xiàng)式的公因式4ab2．解8a3b2－12ab3c=4ab2·2a2－4ab=4ab2(2a2－3bc點(diǎn)評(píng)(1)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)確定公因式的兩個(gè)條件以免漏取．(2)開始找公因式法時(shí)，最好把公因式單獨(dú)寫出．①以顯提醒；③強(qiáng)調(diào)提公因式；③強(qiáng)調(diào)分解因式．例3請(qǐng)寫出一個(gè)三項(xiàng)式（用字母a，b表示），使它能先提取公因式，再運(yùn)用公式來分解.

你編寫的三項(xiàng)式是，分解因式的結(jié)果是.

解析依據(jù)題設(shè)條件，能用公式法分解且含有字母a，b的最簡(jiǎn)單的三項(xiàng)式，就是關(guān)于a，b的完全平方公式a2±2ab+b2，再考慮到要先用提公因式法提公因式，故可寫出如下的一些式子：

2a2±4ab+2b2=2（a2±2ab+b2）＝2（a±b）2；

a3±2a2b+ab2=a（a2±2ab+b2）＝a（a±b）2；

a2b±2ab2+b3=b（a2±2ab+b2）＝b（a±b）2；…

例4分解因式：x2+2xy+y2－2x－2y+1.

分析此題共六項(xiàng)，較難分解.但考慮到前三項(xiàng)正好可以逆用完全平方和公式得到（x+y）2.－2x－2y可以提?。?得到－2（x+y）.再把x+y作為整體正好是完全平方式.

解x2+2xy+y2－2x－2y+1

=（x+y）2－2（x+y）+1

=（x+y－1）2.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用公式法分解因式是指運(yùn)用平方差公式和完全平方公式來分解因式的方法.它是分解因式最基本的方法之一.

本題中，我們都用到了將某項(xiàng)看作一個(gè)整體的方法，這種方法也就是我們通常所說的換元法例5分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1.

【思考與分析一】這個(gè)代數(shù)式中，x2+4x出現(xiàn)了兩次，且除此之外其余均為常數(shù)．如果令a=x2+4x，那么原式就轉(zhuǎn)化為a的二次式．

解法一：令a=x2+4x，則

（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝（a+3）（a+5）+1＝a2+8a+15+1＝a2+8a+16＝（a+4）2＝（x2+4x+4）２＝|（x+２）２|２＝（x+２）4.

【思考與分析二】在本題中如果我們令a=x2+4x+3，那么原式就轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的更簡(jiǎn)單的二次三項(xiàng)式.

解法二：令a=x2+4x+3，則

（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝a（a＋2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2+4x+4）2＝|（x+2）2|2＝（x+2）4.

【思考與分析三】在本題中我們還可以令a=x2+4x+4，那么前項(xiàng)就變成一個(gè)平方差公式的形式，我們就可以將原式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的更簡(jiǎn)單的單項(xiàng)式形式.

解法三：令a=x2+4x+4，則

（x2+4x+3）（x2+4x+５）+1＝（a－1）（a+1）+1＝a2－1+1＝a2＝（x2+4x+4）2＝|（x+2）2|2＝（x+2）4.

點(diǎn)評(píng)本題如果我們不按換元的思路來解，幾乎無法解決.在形式上，如果不把x2+4x例6要使二次三項(xiàng)式x2－5x+p在整數(shù)范圍內(nèi)能進(jìn)行分解因式，那么p的取值可以有（）.

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.無數(shù)多個(gè)

解析根據(jù)公式x2＋（m+n）x＋mn＝（x+m）（x+n），設(shè)p＝m·n，可知只要m+n＝－5（m，n為整數(shù)），二次三項(xiàng)式x2－5x+p在整數(shù)范圍內(nèi)都能進(jìn)行分解因式，選D.

點(diǎn)評(píng)這道題是開放型探索題，它主要考察我們靈活地進(jìn)行分解因式的能力和發(fā)散思維能力以及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.例7已知23＝0,求代數(shù)式2－)＋2(5―)―9的值.解析當(dāng)23＝0時(shí),原式＝3－2＋52―3―9＝42－9＝(2＋3)(2－3)＝0.點(diǎn)評(píng)上述求值方法是利用分解因式，整體代入法,它比先求出字母的值,再代入求值方便.例8在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“分解因式”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式，分解因式的結(jié)果是，若取x=9，y=9時(shí)，則各個(gè)因式的值是：=0，=18，=162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式，取=10，=10時(shí)，用上述方法產(chǎn)生的密碼是：(寫出一個(gè)即可)．解析因?yàn)榛虻扔诨虻扔?，取，時(shí)，，，所以產(chǎn)生的密碼為101030，或103010，或301010。答案101030，或103010，或301010。點(diǎn)評(píng)：這是一道在分解因式的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的與密碼有關(guān)的創(chuàng)新題，解決這個(gè)問題，必須理解密碼的轉(zhuǎn)換方法。要得到密碼，只需將分解因式即可。例9計(jì)算：2－22－23－……－218－219+220,解析我們注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=21