遼寧省沈陽市第一七四中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

遼寧省沈陽市第一七四中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，周期為，且在上為減函數(shù)的是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.圓上到直線的距離等于的點(diǎn)有（

）個(gè).

.

.

.參考答案：答案：D3.設(shè)、是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A．

B．C．

D．參考答案：A4.函數(shù)y=lnx+x－－2的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．（，1）B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】先判斷函數(shù)y是定義域上的增函數(shù)，再利用根的存在性定理，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)（x＞0），∴y′=+1+＞0，∴函數(shù)y=lnx+x﹣﹣2在定義域（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；又x=2時(shí)，y=ln2+2﹣﹣2=ln2﹣＜0，x=e時(shí)，y=lne+e﹣﹣2=+e﹣﹣2＞0，因此函數(shù)的零點(diǎn)在（2，e）內(nèi)．故選：C．5.已知=(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.如果實(shí)數(shù)x，y滿足條件那么的最大值為

A．2

B．1

C．-2

D．-3參考答案：B7.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，則等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：Ｃ8.若函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)的圖象是（

）參考答案：A9.函數(shù)f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：B略10.直線y=2x與拋物線所圍成的曲邊圖形的面積是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最小值是________________________，最大值是_____________________.參考答案：－2

8不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為－2；當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為8.12.是正實(shí)數(shù)，設(shè)，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)，的元素不超過2個(gè)，且有使含2個(gè)元素，則的取值范圍是_________________.參考答案：略13.若函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，則非零實(shí)數(shù)=

.參考答案：14.設(shè),且,則的最小值是__________參考答案：115.已知為正六邊形，若向量，則▲▲（用坐標(biāo)表示）．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】單元綜合F4由=2則=+2=8-222（-）=12，則2，由2=（2，-2）?！舅悸伏c(diǎn)撥】根據(jù)向量的幾何運(yùn)算求出模再根據(jù)向量之間的運(yùn)算關(guān)系用坐標(biāo)表示。16.函數(shù)的定義域是

參考答案：17.已知函數(shù)f（x）=ex+x3，若f（x2）＜f（3x﹣2），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．參考答案：（1，2）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷單調(diào)性，轉(zhuǎn)化不等式求解即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ex+x3，可得f′（x）=ex+3x2＞0，所以函數(shù)f（x）為增函數(shù)，所以不等式f（x2）＜f（3x﹣2），等價(jià)于x2＜3x﹣2，解得1＜x＜2，故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），求證：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的極值的個(gè)數(shù)求出a的范圍，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，則f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切線方程為y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅱ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，則f′（x）=﹣，①當(dāng)△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2時(shí)，g（x）＞0恒成立，則f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．②當(dāng)△=0，即a=±2時(shí)，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，則f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．③當(dāng)△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）當(dāng)a＜﹣2時(shí)，g（x）=x2﹣ax+1是開口向上且過點(diǎn)（0，1）的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=（＜﹣1），則g（x）＞0恒成立，從而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．（ii）當(dāng)a＞2時(shí)，g（x）是開口向上且過點(diǎn)（0，1）的拋物線，對(duì)稱軸方程為x=（＞1），則函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)：，列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)綜上，當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的增區(qū)間是，減區(qū)間是，．（Ⅲ）證明：根據(jù)（Ⅱ），當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，（x1＜x2），則x1，x2是方程g（x）=0的兩個(gè)根，從而．由韋達(dá)定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），則．當(dāng)1＜t＜2時(shí)，h'（t）＞0；當(dāng)t＞2時(shí)，h′（t）＜0，則h（t）在（1，2）上是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)，從而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）．（Ⅰ）設(shè)x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m的值并討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)m≤2時(shí)，證明：f（x）＞﹣ln2．參考答案：（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）=ex﹣m﹣，由x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)得f′（1）=0，即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．

…于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，由f″（x）=ex﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f′（1）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一零點(diǎn)．

…因此，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

…（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（0，+∞）時(shí)，ex﹣m≥ex﹣2，又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1．

…取函數(shù)h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，得函數(shù)h（x）在x=1時(shí)取唯一的極小值即最小值為h（1）=﹣ln2．…∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求出f′（x），由題意可知f'（1）=0，由此可求m，把m值代入f′（x），由f′（x）的單調(diào)性及f'（1）=0可知其符合變化規(guī)律，從而可得單調(diào)性；（Ⅱ）x∈（0，+∞）時(shí)，ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1恒成立，取函數(shù)h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），可得f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，即可得出結(jié)論．解答：（Ⅰ）解：∵f（x）=ex﹣m﹣ln（2x），∴f′（x）=ex﹣m﹣，由x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)得f′（1）=0，即e1﹣m﹣1=0，∴m=1．

…于是f（x）=ex﹣1﹣ln（2x），f′（x）=ex﹣1﹣，由f″（x）=ex﹣1+＞0知f′（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f′（1）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一零點(diǎn)．

…因此，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增，∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

…（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2，x∈（0，+∞）時(shí)，ex﹣m≥ex﹣2，又ex≥x+1，∴ex﹣m≥ex﹣2≥x﹣1．

…取函數(shù)h（x）=x﹣1﹣ln（2x）（x＞0），h′（x）=1﹣，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，得函數(shù)h（x）在x=1時(shí)取唯一的極小值即最小值為h（1）=﹣ln2．…∴f（x）=ex﹣m﹣ln（2x）≥ex﹣2﹣ln（2x）≥x﹣1﹣ln（2x）≥﹣ln2，而上式三個(gè)不等號(hào)不能同時(shí)成立，故f（x）＞﹣ln2．…（14分）點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問題的能力20.如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AD=DC=2，AD⊥DC，AC=CB，AB=4，平面ADC⊥平面ABC，M為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）求直線AD與平面DMC所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）證明BC⊥AC，利用平面ABC⊥平面ADC，即可證明：BC⊥平面ADC；（Ⅱ）取AC中點(diǎn)N，連MN，DN．由VA﹣DMC=VD﹣AMC得點(diǎn)A到平面DMC的距離，即可求直線AD與平面DMC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）證明：∵AD=DC=2且AD⊥DC，∴，又AB=4，滿足AC2+BC2=AB2，∴BC⊥AC…∵平面ABC⊥平面ADC，BC?平面ABC，平面ABC∩平面ADC=AC，∴BC⊥平面ADC…（Ⅱ）解：取AC中點(diǎn)N，連MN，DN．在Rt△ADC中，DN⊥AC且，又平面ABC⊥平面ADC，∴DN⊥平面ABC，在△ABC中，MN∥BC且=由（Ⅰ）知BC⊥平面ADC，則MN⊥平面ADC，又∵DN?平面ADC，∴MN⊥DN，即，…在△ABC中，，∴…設(shè)點(diǎn)A到平面DMC的距離為h，則由VA﹣DMC=VD﹣AMC得解得，設(shè)AD與平面DMC所成角為θ，則，∴直線AD與平面DMC所成角正弦值為．…21.已知是等差數(shù)列，其中.（Ⅰ）求數(shù)列的