柔性鉸的動剛度計算公式

柔性鉸的動剛度計算公式

1柔性誤差融資柔性鏈作為一個沒有摩擦的點，已經(jīng)廣泛使用。例如，螺絲刀、加速計算機、平衡、彈頭控制噴嘴、控制器、指示器、記錄裝置、控制面、調(diào)整器、閥、升強器、計算機、附件和傳輸裝置。在設(shè)計柔性鉸鏈時,柔性鉸鏈的剛度(柔度)計算是關(guān)鍵。早在1965年,Paros和Weisbord便給出了柔性鉸鏈的設(shè)計計算公式,并一直沿用至今。由此,避免了繁雜、費時的數(shù)值計算,給柔性鉸鏈的設(shè)計計算帶來了極大的方便。由于精確計算公式十分復(fù)雜,針對當(dāng)時所應(yīng)用的柔性鉸鏈的最小厚度遠(yuǎn)小于半徑的特點,還給出了該種情況下的簡化計算公式。自從20世紀(jì)70年代末,美國國家標(biāo)準(zhǔn)局利用柔性鉸鏈機構(gòu)放大壓電致動器的位移,帶有壓電致動器的柔性鉸鏈機構(gòu)在許多領(lǐng)域被廣泛使用,如:微操縱器、精密平臺、光學(xué)顯微鏡聚焦系統(tǒng)、打印頭、直線馬達(dá)、金剛石車床、STM、X射線干涉儀等。壓電致動器具有運動平穩(wěn)、分辨率極高、剛度大和能量轉(zhuǎn)換效率高等特點,是精密定位的理想驅(qū)動元件。雖然壓電元件可提供大的輸出力,但即使是層疊式的壓電致動器一般也僅有幾至幾十微米的位移,而在許多工程應(yīng)用中需要更大的運動范圍(0.05～0.5mm或更大)。柔性鉸鏈利用了彈性材料微小角變形及其自回復(fù)的特性而具有許多優(yōu)點,如:運動平穩(wěn)、無需潤滑、無回退空程、無摩擦和高精度等。因此在絕大多數(shù)情況下,利用柔性鉸鏈機構(gòu)是傳遞和放大壓電致動器位移最適宜的方法。同時柔性鉸鏈機構(gòu)還為壓電致動器提供適當(dāng)?shù)念A(yù)緊力,以使其工作在理想狀態(tài),并為系統(tǒng)提供壓電致動器所不能承受的拉力。在設(shè)計該類柔性鉸鏈機構(gòu)時,為了得到高的剛度和固有頻率以及緊湊的機械結(jié)構(gòu),柔性鉸鏈的最小厚度往往接近其切割半徑。因此,Paros的簡化計算公式不再適用,而精確公式又過于復(fù)雜。沿z軸方向柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度要相對其它方向小得多,因此它可以在機械結(jié)構(gòu)中起到鉸鏈的作用,而其剛度計算也成為了柔性鉸鏈設(shè)計的關(guān)鍵。這里利用力學(xué)的基本公式和微積分對柔性鉸鏈沿z軸方向的轉(zhuǎn)動剛度設(shè)計計算公式進(jìn)行了推導(dǎo)。同時還給出了常用的直圓柔性鉸鏈沿z軸方向的轉(zhuǎn)動剛度精確計算公式,其表達(dá)十分簡潔,這將有利于柔性鉸鏈及柔性鉸鏈機構(gòu)的設(shè)計分析。2微元的剛度變化如圖1所示的柔性鉸鏈,其桿部截面是矩形,鉸鏈由兩個垂直于端面的對稱圓柱面切割而成。由于它在設(shè)計、制造和分析上均較為簡單,所以被廣泛地采用。這里就該類柔性鉸鏈進(jìn)行分析,并沿用了Paros和Weisbord對柔性鉸鏈形狀、受力和變形的定義,采用了其相關(guān)的符號。圖1表明了柔性鉸鏈的幾何結(jié)構(gòu)、受力和變形。柔性鉸鏈的幾何尺寸為寬度b、最小厚度t、切割半徑R、高度h和圓心角θm。柔性鉸鏈左端所受力矩為Mz。假設(shè)柔性鉸鏈的右端為固定端,則柔性鉸鏈左端的變形為αz。柔性鉸鏈沿z軸方向的轉(zhuǎn)動剛度是設(shè)計柔性鉸鏈最重要的設(shè)計參數(shù)。計算柔性鉸鏈沿z軸方向的轉(zhuǎn)動剛度時,由于柔性鉸鏈的變形集中在柔性鉸鏈的圓弧部分,所以忽略柔性鉸鏈圓弧以外的變形。為了便于分析,在圓心角θ處截取微元如圖2所示。其中,微元的高度為:a=t+2R-2Rcosθ(1)微元的寬度為b,微元的厚度為:du=d(Rsinθ)=Rcosθdθ(2)在力矩Mz作用下,微元的受力如圖3所示。根據(jù)材料力學(xué)的基本公式,可得微元在力矩作用下沿z軸的角變形dαz:dαz=ΜzEΙzdu=12ΜzEbR2cosθ(tR+2-2cosθ)3dθ(3)其中:E為材料的彈性模量。Iz是微元截面沿z軸方向的慣性矩:Ιz=ba312(4)由此可得:αzMz=12EbR2∫θm-θmcosθ(tR+2-2cosθ)3dθ(5)在柔性鉸鏈的柔度公式推導(dǎo)過程中涉及到了一個關(guān)鍵的積分公式:∫θm-θmcosθ(tR+2-2cosθ)3dθ(6)為此,設(shè)c=t/R+2,可先求不定積分∫cosθ(c-2cosθ)3dθ。這個不定積分的被積函數(shù)是三角有理式,可通過半角變換化為有理函數(shù),再求解不定積分。最后求出定積分。設(shè):T=tgθ2(7)則:dθ=21+Τ2dT(8)sinθ=2tgθ21+tg2θ2=2Τ1+Τ2(9)cosθ=1-tg2θ21+tg2θ2=1-Τ21+Τ2(10)∫cosθ(c-2cosθ)3dθ=-2(c+2)2∫1(c-2)+(c+2)Τ2dΤ+4(c-2)(c+2)2∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]2dΤ+16c(c+2)2∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]3dΤ(11)對于:∫1[(c-2)+(c+2)T2]kdT=Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]k+2k∫(c+2)Τ2[(c-2)+(c+2)Τ2]k+1dΤ=Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]k+2k∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]kdΤ-2k(c-2)∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]k+1dΤ(12)所以:∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]k+1dΤ=2k-12k(c-2)∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]kdΤ+12k(c-2)Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]k(13)因此可得:∫cosθ(c-2cosθ)3dθ=4c(c-2)(c+2)2Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]2+6c+2(c-2)2(c-2)2(c+2)2Τ[(c-2)+(c+2)Τ2]+6c(c-2)2(c+2)2∫1[(c-2)+(c+2)Τ2]dΤ=4c(c-2)(c+2)2tgθ2[(c-2)+(c+2)tg2θ2]2+6c+2(c-2)2(c-2)2(c+2)2tgθ2[(c-2)+(c+2)tg2θ2]+6c(c-2)52(c+2)52arctg(√c+2c-2tgθ2)+C1(14)其中:C1為常數(shù)。設(shè):s=R/t,則:c=1/s+2。由上可得:∫θm-θmcosθtR+2-2cosθ3dθ=8s4(2s+1)(4s+1)2tgθm2[1+(4s+1)tg2θm2]2+4s3(6s2+3s+1)(4s+1)2tgθm2[1+(4s+1)tg2θm2]+12s4(2s+1)(4s+1)52arctg(√4s+1tgθm2)(15)3設(shè)計的公式化通常情況下使用最多的是直圓柔性鉸鏈。直圓柔性鉸鏈的切口是兩個垂直于端面的對稱的半圓柱面,即θm=90°。對于直圓柔性鉸鏈,可以得到更為簡潔的設(shè)計計算公式。將θm=90°代入公式(5)和(15),可得直圓柔性鉸鏈產(chǎn)生沿z軸的轉(zhuǎn)動柔度表達(dá)式如下:αzΜz=12EbR2[2s3(6s2+4s+1)(2s+1)(4s+1)2+12s4(2s+1)(4s+1)52arctg4s+1](16)由于當(dāng)柔性鉸鏈θm>90°時,在θ=90°以外的圓弧部分對柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度沒有影響,所以也可以使用直圓柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度計算公式。4柔性新型用藥公式為了便于比較,以下給出迄今一直沿用由Paros給出的柔性鉸鏈繞z軸的轉(zhuǎn)動剛度(柔度)計算公式:αzΜz=32EbR2[12β+β2]?{[1+βγ2+3+2β+β2γ(2β+β2)][1-(1+β-γ)2]+[6(1+β)(2β+β2)3/2][tan-1(2+ββ×(γ-β)1-(1+β-γ)2)]}(17)其中:β=t/2R,γ=h/2R。同時,文獻(xiàn)中也給出了在柔性鉸鏈的最小厚度t遠(yuǎn)小于柔性鉸鏈的高度h和切割半徑R時的簡化公式:αzΜz=9πR1/22Ebt5/2(18)Paros的柔性鉸鏈的簡化的設(shè)計計算公式雖然相對簡單,簡化了計算過程,但其適用的對象有一定的局限性。取鉸鏈的參數(shù)為:E=2.000×1011N/m2;G=8.000×1010N/m2;θm=90°;b=10mm;R=1mm。并使t在0.01R到R之間變化,求柔性鉸鏈簡化計算公式和精確計算公式所得柔度結(jié)果的比值,如圖4所示。其中:r1為αz/Mz的簡化公式和精確公式計算結(jié)果的比值。由此可見,當(dāng)t/R的比值接近1時,Paros文中αz/Mz的簡化公式存在一定的誤差。而在柔性鉸鏈的應(yīng)用中為了減小機構(gòu)的尺寸,并保持一定的剛度,就希望柔性鉸鏈的切割半徑盡可能小些,甚至小于柔性鉸鏈的最小厚度。在此給出的直圓柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度計算公式具有既精確又簡潔的特點,尤其適用于切割半徑與最小厚度相當(dāng)?shù)闹眻A柔性鉸鏈。5直圓柔性新型真柔性鉸鏈在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域有著十分廣泛的應(yīng)用。利用力學(xué)的基本公式和微積分對柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動剛度計算公式進(jìn)行了推