直圓雙軸柔性鉸臂柔度的設計計算公式

直圓雙軸柔性鉸臂柔度的設計計算公式

柔性鏈具有體積小、無間隙、無機械摩擦、成本低、無潤油等優(yōu)點。廣泛應用于精細工程中。例如精密工作臺、納米定位技術、微加速度器、微夾持機構及顯微裝置等。柔性鉸鏈分為單軸柔性鉸鏈和雙軸柔性鉸鏈。單軸柔性鉸鏈最常見的形式是直梁型柔性鉸鏈和圓弧型柔性鉸鏈。為了得到不同的精度和運動范圍,提出了橢圓型柔性鉸鏈、倒角型柔性鉸鏈、拋物線型柔性鉸鏈和雙曲線型柔性鉸鏈等。單軸柔性鉸鏈的缺點是只能沿一個軸彈性彎曲。而把頸部做成圓桿狀的雙軸柔性鉸鏈,則能沿任意軸轉動且容易加工。1965年,文獻推導出柔性鉸鏈的設計計算公式,避免了繁雜費時的數值計算。但是Paros精確計算公式在形式上較為復雜,其簡化公式是在柔性鉸鏈厚度遠小于半徑的條件下給出的,在設計計算較厚的鉸鏈時產生較大的誤差。本文針對雙軸圓形柔性鉸鏈,利用能量法,通過引入中間變量,得到較為簡潔的柔性鉸鏈柔度系列設計計算公式,從而避免了費時繁雜的數值計算,為工程設計計算提供方便。1柔性項目的變形雙軸柔性鉸鏈的幾何尺寸及受力變形如圖1所示,桿端部截面是直徑為D的圓,鉸鏈的最小截面為直徑為d的圓,切割半徑為R,圓心角為θm。假設柔性鉸鏈的右端為相對固定端,左端受到力和力矩Fx、Fy、Mz、Fz、My的作用,左端的變形Δx、Δy、αy、αz、Δz。雙軸柔性鉸鏈繞y軸的角變形和沿z軸線形變形計算方法,與鉸鏈繞z軸的角變形和沿y軸線形變形計算方法相同,因此只推導鉸鏈繞z軸的角變形和沿y軸線形變形。由于柔性鉸鏈的變形集中在柔性鉸鏈圓弧部分,所以忽略柔性鉸鏈圓弧以外的變形。設柔性鉸鏈材料的彈性模量為E,剪切彈性模量為G,泊松比為υ。把柔性鉸鏈看作變截面梁,如圖2所示。顯然x截面的內力分量可以表示為:{F(x)=-FxF(y)=-FyΜ(z)=Μz-xFy(1)單元的應變能為:其中,As(x)為x截面的有效剪切面積。Δx=?U/?Fx,Δy=?U/?Fy,αz=?U/?Μz(3)在圓心角θ(x截面)處取微元體dθ進行研究,把從0到l上的積分轉化到從-θm到θm上的積分。微元體的厚度為:dx=d(Rsinθ)=Rcosθdθ。微元體的高度為:d1=d+2(R-Rcosθ)=d+2R(1-cosθ)。微元體截面面積為:A(x)=π4d21。微元體截面沿z方向的慣性矩為:Ι(x)=π64d41?x=Rsinθm+Rsinθ,l=2Rsinθm(4)再根據下式:∫dx(x2+a2)n=x2(n-1)a2(x2+a2)n-1+2n-32(n-1)a2∫dx(x2+a2)n-1(5)可得雙軸柔性鉸鏈的系列設計計算公式。1.1tf1ss4.2.2+4-5.2.2+3,5.2+21+3ta1+3雙軸柔性鉸鏈產生沿z軸的角變形αz是柔性鉸鏈最重要的參數。力矩Mz作用下導致柔性鉸鏈產生繞z軸的角變形αz,其柔度表達式為:αzΜz=αyΜy=64πER3f1(6)其中,f1為中間變量,其表達式為:f1=4s4(20s3+16s2+4s+1)tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]+16s5(10s2+6s+1)tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]2+64s6(2s+1)tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]3+16s5(5s2+4s+1)(1+4s)72arctan(√1+4stanθm2)(7)其中,s=R/d。在力Fy作用下,由于彎矩導致柔性鉸鏈產生繞z軸的角變形αz,其柔度表達式為:αzFy=αyFz=-64sinθmπER2f1(8)1.2剪切力導致的柔性新型真設置在力矩Mz作用下,導致柔性鉸鏈產生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達式為:ΔyΜz=ΔzΜy=-64sinθmπER2f1(9)在力Fy作用下,導致柔性鉸鏈產生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達式為:ΔyFy=ΔzFz=64(1+sin2θm)πERf1-64πERf2(10)其中f2為中間變量,其表達式為:f2=4(1+2s)(10s2+s+1)s4tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]+8(5s-2)(1+2s)2s4tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]2+16(1+2s)3s4tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]3+4(20s2+12s+3)s5(1+4s)72arctan(√1+4stanθm2)(11)在力Fy作用下,由于剪切力導致柔性鉸鏈產生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達式為:(ΔyFy)δ=(ΔzFz)δ=409πGRf3(12)其中,f3為中間變量,其表達式為:f3=4s2(1+2s)tanθm2(1+4s)[(1+4s)tan2θm2+1]+8s3(1+4s)32arctan(√1+4stanθm2)(13)1.3沿x軸的線性變形x在力Fx作用下,由于拉伸或壓縮導致柔性鉸鏈產生沿x軸的線形變形Δx,其柔度為:ΔxFx=4πERf3(14)2計算直軸柔性鏈的公式為通常情況下,使用最多的是直圓型柔性鉸鏈,即θm=π/2。對于直圓型雙軸柔性鉸鏈,可以得到更加簡潔的計算公式。2.1柔性新型真合力fy-1,2s3+3,5和5-3-5-10s3-3,5和10s3-3-5-10s3-3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3+3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3.3+3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.在力矩Mz作用下,導致柔性鉸鏈產生繞z軸的角變形αz,其柔度為:αzΜz=αyΜy=64πER3f11(15)其中,f11為中間變量,其表達式為:f11=2s4(20s3+16s2+4s+1)(1+4s)3(1+2s)+4s5(10s2+6s+1)(1+4s)3(1+2s)2+8s6(2s+1)3(1+4s)3(1+2s)3+16s5(5s2+4s+1)(1+4s)72arctan(√1+4s)(16)在力Fy作用下,由于彎矩導致柔性鉸鏈產生繞z軸的角變形αz,其柔度為:αzFy=αyFz=-64πER2f11(17)2.2柔性新型真合成分配的變形結構在力矩Mz作用下,導致柔性鉸鏈產生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達式為:ΔyΜz=ΔzΜy=-64πER2f11(18)在力Fy作用下,導致柔性鉸鏈產生沿y軸的線形變形Δy,其柔度為:ΔyFY=ΔyFY=128πERf11-64πERf22(19)其中,f22為中間變量,其表達式為:f22=4(15s2+4s+1)s43(1+4s)3+4(20s2+12s+3)s5(1+4s)72arctan(√1+4s)(20)在力Fy作用下,柔性鉸鏈產生沿y軸的線形變形Δy,其柔度為:(ΔyFy)δ=(ΔzFz)δ=409πGRf33(21)其中,f33為中間變量,其表達式為:f33=2s21+4s+8s3(1+4s)32arctan(√1+4s)(22)2.3沿x軸的線性變形x在力Fx作用下,由于拉伸或壓縮導致柔性鉸鏈產生沿x軸的線形變形Δx,其柔度為:ΔxFx=4πERf33(23)3計算公式的確定和計算結果本文給出的雙軸柔性鉸鏈的設計計算公式是精確推導的結果,表達式相對比較簡潔。任取3組雙軸柔性鉸鏈的材料和幾何參數,見表1所列。分別運用本文給出的系列設計計算公式和J.M.Paros給出的設計計算公式進行比較,計算結果見表2所列。其中Paros表示與本文計算公