第二章2 4指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

§2.4指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)A組

自主命題·江蘇卷題組(2015江蘇,7,5分)不等式2x2

x

<4的解集為

.答案

{x|-1<x<2}2

2解析

不等式2x

x

<4可轉(zhuǎn)化為2x

x

<22,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集為{x|-1<x<2}.五年高考B組

統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組考點一 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.(2019課標(biāo)全國Ⅰ文改編,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則

.答案

a<c<b解析

本題主要考查指數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)等知識點;考查運算求解能力,以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算.∵a=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,c=0.20.3∈(0,0.20),即c∈(0,1),∴a<c<b.方法點撥

指數(shù)冪、對數(shù)之間比較大小,常借助指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象,利用單調(diào)性比較大小,同時,可以利用0、1等中間量進(jìn)行比較.2.(2019課標(biāo)全國Ⅱ理,14,5分)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,

f(x)=-eax.若f(ln

2)=8,則a=

.答案

-3解析

本題考查函數(shù)的表示和奇函數(shù)的定義;考查推理論證能力和運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運算.由x>0可得-x<0,由f(x)是奇函數(shù)可知f(-x)=-f(x),∴x>0時,f(x)=-f(-x)=-[-ea(-x)]=e-ax,則f(ln

2)=e-aln

2=8,∴-aln

2=ln

8=3ln

2,∴a=-3.一題多解=-3.

2

由f(x)是奇函數(shù)可知f(-x)=-f(x),∴f(ln

2)=-f

ln

=-(-

e

2

)=8,∴aln =ln

8=3ln

2,∴aa

ln

11

123.(2019課標(biāo)全國Ⅱ理改編,6,5分)若a>b,則

.①ln(a-b)>0;②3a<3b;③a3-b3>0;④|a|>|b|.答案

③解析

本題考查不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;通過特值法和綜合法考查了推理論證能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理.∵a>b,∴a-b>0,取a-b=1,則ln(a-b)=0.故①錯誤.由y=3x在R上單調(diào)遞增可知3a>3b,故②錯誤.由y=x3在R上是增函數(shù)可知a3>b3,故③正確.取a=0,b=-1,則|a|<|b|,故④錯誤.易錯警示

容易由a>b直接得|a|>|b|而致錯.4.(2018上海,11,5分)已知常數(shù)a>0,函數(shù)f(x)=pq,則a=

.答案

6解析

本題主要考查指數(shù)式的運算.2x2x

ax

6

的圖象經(jīng)過點P

p,

5

1

、Q

q,

.若2p+q=36

5

65152

p

612q由已知條件知f(p)= ,

f(q)=-

,所以

2q

aq

5

2

p

ap

5

,

①

,

②①+②,得2

p

(2q

aq)

2q

(2

p

ap)=1,整理得2p+q=a2pq,又2p+q=36pq,(2

p

ap)(2q

aq)∴36pq=a2pq,又pq≠0,∴a2=36,∴a=6或a=-6,又a>0,∴a=6.5.(2016課標(biāo)全國Ⅲ理改編,6,5分)已知a=

4

,b=

2

,c=2

1

,則以下關(guān)系正確的是

.23

45

53①b<a<c;②a<b<c;③b<c<a;④c<a<b.答案

①又因為函數(shù)y=4x在R上單調(diào)遞增,所以45

<43

,即b<a,所以b<a<c.方法總結(jié)

指數(shù)比較大小的問題往往利用函數(shù)的性質(zhì)及圖象來解決.評析

本題主要考查指數(shù)的大小比較,屬中檔題.4

2

1

2

2

2

2解析

因為a=

23

=

43

,c=2

53

=

53

,函數(shù)y=

x

3

在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以43

<

53

,即a<c.2

26.(2015山東,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,且a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=

.答案-

32解析

①當(dāng)a>1時,

f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,則無解.②當(dāng)0<a<1時,f(x)在[-1,0]上單∴a+b=-

.0

a

1

b

1,a

b

0,

a

1

b

0,調(diào)遞減,則

a0

b

1,2

a

1

,解得

b

2,32考點二 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)2.1.(2019上海,6,4分)已知函數(shù)f(x)的周期為1,且當(dāng)0<x≤1時,f(x)=log

x,則f

3

=

2

答案

-1解析

本題主要考查函數(shù)的周期及函數(shù)求值問題,以對數(shù)函數(shù)為依托,考查學(xué)生的運算求解能力.222由已知f(x)的周期為1,當(dāng)0<x≤1時,f(x)=log

x,得f

3

=f

1

=log

=-1.

2

122.(2019天津文改編,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系為

.答案

c<b<a解析

本題考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì);通過對對數(shù)式的估算或適當(dāng)“縮放”考查學(xué)生的直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).顯然c=0.30.2∈(0,1).因為log33<log38<log39,所以1<b<2.

因為log27>log24=2,所以a>2.故c<b<a.5

50.50.50.20.5=1,c=0.5

=0.2因為a=log

2<log

5

=

,b=log

0.2>log23.(2019天津理改編,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為

.答案

a<c<b解析

本題主要通過指數(shù)、對數(shù)大小比較來考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理能力、運算求解能力以及綜合運用數(shù)學(xué)知識靈活解決問題的能力.12

1

5

1

1>

,0.5

<1,所以a<c<b.2方法技巧

比較指數(shù)、對數(shù)的大小,往往借助中間量0,1,注意結(jié)合冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).4.(2019北京理改編,6,5分)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星k

k12狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為

.5

E等與亮度滿足m2-m1=

2

lg

E

,其中星等為m

的星的亮度為E

(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天答案1010.1解析

本題考查對數(shù)與對數(shù)函數(shù);考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算.1

2依題意,m

=-26.7,m

=-1.45,所以

lg

=-1.45-(-26.7)=25.25,所以lg=25.25×

=10.1,所以

=1010.1.125

E2

E12EE5122

EE審題指導(dǎo)

星等和亮度都可以描述天體的明暗程度,本題需要求的是兩個天體的亮度的比值.題中給出了兩個天體的星等及星等與亮度比值的關(guān)系,代入數(shù)據(jù)即可求解.2.(用25.(2018天津理改編,5,5分)已知a=log

e,b=ln

2,c=lo

g

1

,則a,b,c的大小關(guān)系為1

3“>”連接)答案

c>a>b解析

本題主要考查對數(shù)的大小比較.由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln

2<1,∴c>a>b.方法總結(jié)

比較對數(shù)的大小的常用方法:①若底數(shù)為同一常數(shù),則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷;若底數(shù)為同一字母,則需對底數(shù)進(jìn)行分類討論;②若底數(shù)不同,真數(shù)相同,則可以先用換底公式化為同底后,再進(jìn)行比較;③若底數(shù)與真數(shù)都不同,則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較.6.(2018課標(biāo)全國Ⅰ文,13,5分)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,則a=

.答案

-7解析

本題主要考查函數(shù)的解析式及對數(shù)的運算.∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,∴f(3)=log2(9+a)=1,∴a+9=2,∴a=-7.7.(2018課標(biāo)全國Ⅲ理改編,12,5分)設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3,則下列正確的是

.②ab<a+b<0④ab<0<a+b①a+b<ab<0③a+b<0<ab答案

②解析

本題考查不等式及對數(shù)運算.易知0<a<1,b<-1,∴ab<0,a+b<0,+

=log0.30.2+log0.32=log0.30.4<1,即<1,∴a+b>ab,∴ab<a+b<0.∵

1

1a

baba

b方法總結(jié)

比較代數(shù)式大小的常用方法: 作差法:其基本步驟為作差、變形、判斷符號、得出結(jié)論.用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù).變形常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等方法. 作商法:即通過判斷商與1的大小關(guān)系,得出結(jié)論.要特別注意當(dāng)商與1的大小確定后,必須對商式分子、分母的正負(fù)進(jìn)行判斷,這是用作商法比較大小時最容易漏掉的關(guān)鍵步驟.單調(diào)性法:利用有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.特值驗證法:對于一些給出取值范圍的題目,可采用特值驗證法比較大小.8.(2017天津理改編,6,5分)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為

.(用“<”連接)答案

b<a<c解析

本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用,對數(shù)值大小的比較.奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)>f(0)=0,當(dāng)x1>x2>0時,f(x1)>f(x2)>0,∴x1

f(x1)>x2

f(x2),∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且g(x)=xf(x)是偶函數(shù),∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.解題關(guān)鍵本題的解題關(guān)鍵是得出g(x)的奇偶性和單調(diào)性.將自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間得出大小是比較函數(shù)值大小的常用方法.9.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若a

bblog

b+log

a= ,a

=b

,a

則a=

,b=

.52答案

4;2a

a

blogab=

,解析

令log

b=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由log

b+loga=

5

得1,t+

=5

,解得t=1

或t=2(舍去),即2

t

2

212a∴b=

a

,又ab=ba,∴

a

a

=(

a

)a,即a

a

=

a

2

,亦即

a

=

,解得a=4,∴b=2.2a10.(2016課標(biāo)全國Ⅰ改編,8,5分)若a>b>0,0<c<1,則logca與logcb的大小關(guān)系為

.答案

logca<logcb解析

∵0<c<1,∴y=logcx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又a>b>0,∴l(xiāng)ogca<logcb.x

2,(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),則實數(shù)a的取11.(2015福建,14,4分)若函數(shù)f(x)=

值范圍是

.答案

(1,2]解析

當(dāng)x≤2時,

f(x)=-x+6,

f(x)在(-∞,2]上為減函數(shù),∴f(x)∈[4,+∞).當(dāng)x>2時,若a∈(0,1),則f(x)=3+logax在(2,+∞)上為減函數(shù),f(x)∈(-∞,3+loga2),顯然不滿足題意,∴a>1,此時f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù),f(x)∈(3+loga2,+∞),由題意可知(3+loga2,+∞)?[4,+∞),則3+loga2≥4,即loga2≥1,∴1<a≤2.

x

6,

3

loga

x,

x

2考點一 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.(2013課標(biāo)全國Ⅱ,12,5分)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是

.答案

(-1,+∞)C組

教師專用題組解析

由2x(x-a)<1得a>x-

1

,2x令f(x)=x-1

,即a>f(x)有解,2x則a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上遞增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1.xa,4

<log

x,則a的取值范圍是.12.(2012課標(biāo)全國,11,5分)當(dāng)0<x≤2

時

2

,1

答案

2

解析解得

<a<1.11

0

a

1,

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及圖象得

loga

42

,

222考點二 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.(2014重慶,12,5分)函數(shù)f(x)=log2x

·log

2

(2x)的最小值為

.答案-

14222

2

22

2

2

22(2x)= log

x·log

(4x

)= log

x·(log

4+2log

x)=log

x+(log

x)

=min2解析

顯然x>0,∴f(x)=log

x

·log12122

log

x

2

44

21

2

-

1

≥-

1

.當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時,有f(x)

=-

1

.4<a<1,0<b<

,c>1,∴

1∴c>a>b.2.(2013課標(biāo)全國Ⅱ改編,8,5分)設(shè)a=log32,b=log52,c=log23,則a,b,c的大小關(guān)系為

(用“>”連接).答案

c>a>b解析

∵

3

<2<3,1<2<

5

,3>2,∴l(xiāng)og3

3

<log32<log33,log51<log52<log5

5

,log23>log22,212三年模擬A組

2017—2019年高考模擬·考點基礎(chǔ)題組考點一 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.(2019七市第二次調(diào)研,6)函數(shù)y=

4x

16

的定義域為

.答案

[2,+∞)解析

由4x-16≥0,得4x≥16=42,所以x≥2.評析

本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)定義域,注意結(jié)果必須是集合的形式.是容易題.設(shè)a>b≥0,若f(a)=f(b),則b·f(a)的取值范圍是

.12

x

1,

0

x

1,2.(2018泰州中學(xué)期中,9)已知函數(shù)f(x)=

2x

,

x

1,

答案

3

,2

4

的圖象如圖,因為函數(shù)f(x)在[0,1)和[1,+∞)上都是單調(diào)遞增函數(shù),所以若滿足a>b≥0,f(a)=f(b),則必有b∈[0,1),a∈[1,+∞).12

x

1,

0

x

1,解析

作出函數(shù)f(x)=

2x

,

x

1

2

由圖可知,使f(a)=f(b)成立的b的取值范圍為b∈

1

,1

,故f(a)∈

3

,2

.

2

所以b·f(a)∈

3

,2

.

4

3.(2018南通泰州中學(xué)高三期初考試,9)已知函數(shù)滿足對任意12x

≠x

,都有

ax

(x

0),f(x)=

(a

3)x

4a(x

0)

f

(x1

)

f

(x2

)

<0成立,則a的取值范圍是

.x1

x2答案

0,

1

4

1

2解析

由對任意x

≠x

都有所以0<f

(x1

)

f

(x2

)1

2x

x0

0

a

1,

a

3

0,<0成立,知f(x)是減函數(shù),于是

a

(a

3)

0

4a,

a≤

1

.4考點二 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.(2019海安中學(xué)檢測,7)方程log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2的解為

.答案

2解析

∵log2(9x-1-5)=log2(3x-1-2)+2,∴l(xiāng)og2(9x-1-5)=log2[4(3x-1-2)],∴9x-1-5=4(3x-1-2),且3x-1-2>0,∴32(x-1)-4·3x-1+3=0,∴3x-1=3或3x-1=1(舍去),∴x=2.易錯警示

解對數(shù)方程、不等式要注意等價變形,防止遺漏對數(shù)真數(shù)、底數(shù)的范圍而產(chǎn)生增根.2.(2018鹽城中學(xué)第一次階段測試,7)已知a=21.2,b=

1

0.8

2

12,c=lo

g

2,則a,b,c的大小關(guān)系為

=20.8,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知21.2>20.8>20=1,∴a>b>1.

.(用“<”連接)答案

c<b<a

1

0.8解析

b=

2

122又c=lo

g

2<lo

g

1

=1,∴c<b<a.1

2(a>0且a≠1)的值域為[6,+∞),則實數(shù)a的取值范3.(2018常熟期中,10)若函數(shù)f(x)=

x

8,x

2,圍是

.答案

(1,2]解析

當(dāng)x≤2時,-x+8≥6恒成立,

log

x

5,

x

2

aa解得1<a≤要滿足函數(shù)f(x)的值域為[6,+∞),需有l(wèi)og

x+5≥6在(2,+∞)上恒成立,則

a

1,2.故實數(shù)a的取值范圍為1<a≤2.

log

2

5

6,

a評析

本題考查分段函數(shù)的值域,分段函數(shù)的值域就是每段函數(shù)值域的并集,本題從已知入手得到x≤2時值域為[6,+∞),這樣x>2時的值域就是[6,+∞)的子集,其中端點的取舍要注意.4.(2018如東第一次階段檢測,15)已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)+loga(3-x)(a>0且a≠1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定義域;(2)若不等式f(x)≤c恒成立,求實數(shù)c的取值范圍.解析

(1)因為f(1)=2,所以2loga2=2,故a=2,所以f(x)=log2(1+x)+log2(3-x),所以f(x)的定義域為(-1,3).(2)由(1)知,f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2(1+x)(3-x)=log2(-x2+2x+3)=log2[-(x-1)2+4],故當(dāng)x=1時,f(x)有最大值2,所以c的取值范圍是[2,+∞).要使函數(shù)f(x)有意義,需滿足

1

x

0,解得-1<x<3,

3

x

0,

(時間：40分鐘

分值：55分)一、填空題(每小題5分,共40分)1.(2019如皋檢測,9)已知f(x)=|log3x|,若a,b滿足f(a-1)=f(2b-1),且a≠2b,則a+b的最小值為

.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組答案3

+22解析

因為f(a-1)=f(2b-1),所以|log3(a-1)|=|log3(2b-1)|,由于a≠2b,所以log3(a-1)=-log3(2b-1),即a-1=.由題意得

a

1

0,+b+1=當(dāng)且僅當(dāng)12b

1

2b

1

0,

從而有a+b=12b

11+b-

1

+

3

≥

3

+2b

1

2

2

22

,12b

1=b-

1

,即b=

1

2

時取等號.2

222.(2019海安第一學(xué)期期中,12)已知函數(shù)f(x)=log

1

kx

(k∈R)為奇函數(shù),則不等式f(x)<1的解集為

.答案

(-∞,-1)∪(3,+∞)x

1解析

∵f(x)=log

1

kx

,∴f(-x)=log

1

kx

,2

x

1

2

x

1∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x),∴l(xiāng)og

1

kx

=-log

1

kx

,即1

kx

=

x

1

,2

x

1

2

x

1

x

1

1

kx∴1-k2x2=1-x2,∴k2=1,則k=±1.檢驗:當(dāng)k=1時,f(x)=log2

1

x

,不符合題意,舍去,∴k=-1,∴f(x)=log2

x

1

.x

1由f(x)<1得log2

x

1

<1=log22,∴0<x

1

<2,x

1

x

1①由x

1

>0得x>1或x<-1.x

1②由x

1

<2得x

1

-2=

3

x

<0,解得x>3或x<1,x

1

x

1

x

1故不等式f(x)<1的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).x

13.(2019揚州中學(xué)檢測,9)已知函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,且當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)=|2log

x|.若a=f(-3),b=f

1

,c=f(2),則a,b,c由大到小的順序是

.

4

答案

b>a>c解析

∵函數(shù)y=f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,∴y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,即y=f(x)是偶函數(shù),22∵當(dāng)x>0時,f(x)=|log

x|=∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(2)<f(3)<f(4),∴b>a>c.

∴f(-3)=f(3),且f

1

=log

1

=|log

4|=f(4),

4

2

422log

x,

x

1,

log

x,

0

x

1,

上的單調(diào)性比較大小.思路分析

根據(jù)f(x)的對稱性和對數(shù)的運算性質(zhì)可知f(-3)=f(3),

f

1

=f(4),再根據(jù)f(x)在(1,+∞)

4

4.(2018金陵中學(xué)測試,10)已知7p=2,7q=5,則lg

2用p,q表示為

.答案p

p

qp

q7

7解析

∵7

=2,7

=5,∴p=log

2,q=log

5,則lg

2==

=

.7log

27

7

7log7

2

plog

10 log

2

log

5

p

q思路分析

本題考查對數(shù)的換底公式和指數(shù)式、對數(shù)式的互化,根據(jù)條件,將7p=2,7q=5化為以7為底的對數(shù),再將lg

2化為以7為底的對數(shù),即可得解.5.(2018南京五校聯(lián)考,13)已知函數(shù)1f(x)=x

+e-2

(x<0)與g(x)=x+ln(x+a),若函數(shù)f(x)圖象上存在2

x

2點P與函數(shù)g(x)圖象上的點Q關(guān)于y軸對稱,則a的取值范圍是

.答案

(-∞,

e

)解析

設(shè)點P(x0,y0)(x0<0),則點P關(guān)于y軸的對稱點P'(-x0,y0)在函數(shù)g(x)的圖象上,20

00-ln(-x+a)-

=0(x0<0),0

020

0

020

02

a),x

y

x

e

1

,

所以

y

(

x

)

ln(

x

020

0消去y,可得

x

+

-

=(-x

)

+ln(-x

+a),0ex

120即ex120所以e

-

=ln(-x

+a)(x<0),x12令m(x)=ex-1

(x<0),n(x)=ln(a-x)(x<0),問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)的圖象在x<0時有交點.在2平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)的圖象,如圖所示.

2

n(x)=ln(a-x)=ln[-(x-a)],當(dāng)n(x)=ln(a-x)的圖象過點

0,

1

時,a=

e

.由圖可知,當(dāng)a<

e時,函數(shù)m(x)與函數(shù)n(x)的圖象在x<0時有交點.故a的取值范圍為(-∞,

e

).若關(guān)于x的方程f(x)=kx+2有且只有4個

x

2

,

x

0,6.(2018鎮(zhèn)江期末,14)已知k為常數(shù),函數(shù)f(x)=

x

1

|

ln

x

|,

x

0,不同的解,則實數(shù)k的取值范圍為

.3e答案

1

∪(-e,-1)

解析

當(dāng)x=0時,

x

2

=kx+2成立,x

1故當(dāng)x≠0時,方程有三個根,當(dāng)x<0時,x

2

=kx+2?k=

1

,x

1

x

1當(dāng)x>0時,|ln

x|=kx+2?k=|

ln

x

|2

ln

x

2

,0

x

1,

x- =

x

x

ln

x

2x

,

x

1,

x

1

,

x

0,

x

1

ln

x

2故k=

,0

x

1,x令k=g(x),當(dāng)0<x<1時,g'(x)=

1

(

ln

x

2)

=ln

x

1

,x2

x2

ln

x

2

,

x

1.

e令g'(x)=0,則x=1

,g

1

=-e.

e

當(dāng)x≥1時,g'(x)=1

(ln

x

2)

=

ln

x

3

,x2

x23

3令g'(x)=0,則x=e

,g(e

)=

.31e3e畫出圖象可得k∈(-e,-1)∪

1

.

27.(2018鹽城中學(xué)階段檢測,13)若存在x∈R,使得a3x-4≥2x

x

(a>0且a≠1)成立,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

a≥2或0<a≤

9

2

且a≠12解析

對不等式a3x-4≥

2x

x

兩邊取以2為底的對數(shù),x2

x則log2a3x-4≥log2

2

,∴(3x-4)log2a≥x2-x,2x=

(t+4),≥12,所以log

a≥1,所以a≥2.,所以a≤

.

4

2

3

4

4

4當(dāng)3x-4=0,即x=

時,0≥

-

=

不成立,故舍去.3

3

92當(dāng)3x-4>0,即x>4

時,log

a≥x

x

,令t=3x-4,則t>0,則3 3x

41323x

4x

x

=

93t1

(t

4)2

1

(t

4)=

19

t

5

4

4t

t

當(dāng)且僅當(dāng)t

,即t

2時等號成立2當(dāng)3x-4<0,即x<4

時,令t=3x-4,則t<0,則x3 3x

4

x

=

93t1

(t

4)2

1

(t

4)t

=

1

t

4

5

=

1

t

4

5

≤9

9

t

1

4t

9

當(dāng)且僅當(dāng)

t

,即t

2時,取等號92綜上,a≥