第三節(jié)矩陣的秩

第三節(jié)矩陣的秩第1頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣秩的概念矩陣的秩K階子式第2頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第3頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2.2設(shè)矩陣A中有一個(gè)r階子式，而所有包含D的階子式（如果存在的話(huà)）都等于0，那么矩陣A的秩為r，即

推論2.3.4若A中有一個(gè)r階子式不為0，則

推論2.3.5若A中所有的r階子式全為0，則

第4頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1解第5頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2解計(jì)算A的3階子式，第6頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明：矩陣經(jīng)初等變換而秩不變.用初等變換把矩陣中的許多元素變?yōu)?，從而直接看出矩陣的秩.譬如，限定只用初等行變換，即可把矩陣變?yōu)橐环N稱(chēng)為行階梯形矩陣，其中非零行的行數(shù)即是矩陣的秩.計(jì)算矩陣秩的方法第7頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3求下列矩陣的秩解：

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~第8頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上式最后一個(gè)矩陣稱(chēng)為行階梯形矩陣，它具有下述特性：每個(gè)階梯只有一行.從這個(gè)行階梯形矩陣不僅可看出矩陣的秩.繼續(xù)施行初等行變換，還可化為最簡(jiǎn)單的形式：由此看出第9頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最后一個(gè)行階梯形矩陣具有下述特性：每一個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素均為1，且含這些元素的列的其它元素都為0.這個(gè)矩陣稱(chēng)為矩陣A的行最簡(jiǎn)形

矩陣A經(jīng)初等行變換可化為行階梯形及行最簡(jiǎn)形，若再經(jīng)初等列變換，還可化為如下的最簡(jiǎn)形式：

第10頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣I稱(chēng)為A的標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是：I的左上角是一個(gè)r階單位陣其它元素都是0.可見(jiàn)若，則A與B有相同的標(biāo)準(zhǔn)形.第11頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特別地，當(dāng)A為n階方陣且時(shí),可知故A的標(biāo)準(zhǔn)形為單位陣E，即.因此稱(chēng)行列式值不為零的方陣為滿(mǎn)秩方陣;稱(chēng)行列式值為零的方陣為降秩方陣.下面再介紹幾個(gè)常用的矩陣秩的性質(zhì):1.2.3.4.若則第12頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例4解第13頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第14頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第15頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知第16頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.第18頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5解分析：第19頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第20頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第21頁(yè)，課件共22頁(yè)，創(chuàng)作于