數(shù)學(xué)微專題27之25-向量極化恒等式

向量極化恒等式極化恒等式：a·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2)))2.變式：a·b＝eq\f(a＋b2,4)－eq\f(a－b2,4)，a·b＝eq\f(|a＋b|2,4)－eq\f(|a－b|2,4).如圖，在△ABC中，設(shè)M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2.例(1)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為_(kāi)_______．答案eq\f(7,8)解析設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．答案[0,2]解析由正方體的棱長(zhǎng)為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2eq\r(3).當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，MN為球的直徑．設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1.由于P為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．利用向量的極化恒等式可以快速對(duì)數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問(wèn)題．1．已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC答案D解析如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，因?yàn)镻0B＝eq\f(1,4)AB，所以P0為EB的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2.又eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E為AB的中點(diǎn)，所以AC＝BC.2.如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動(dòng)，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值是________．答案2解析如圖，取BC的中點(diǎn)M，AD的中點(diǎn)N，連接MN，ON，則eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4).因?yàn)镺M≤ON＋NM＝eq\f(1,2)AD＋AB＝eq\f(3,2)，當(dāng)且僅當(dāng)O，N，M三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．所以eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值為2.微專題全套27講見(jiàn)：數(shù)學(xué)微專題27之1-高考熱點(diǎn)之證明數(shù)列不等式數(shù)學(xué)微專題27之2-高考數(shù)學(xué)微專題立體幾何中關(guān)于折疊的所有問(wèn)題數(shù)學(xué)微專題27之3-關(guān)于三角函數(shù)最大值問(wèn)題數(shù)學(xué)微專題27之4-函數(shù)放縮公式集錦數(shù)學(xué)微專題27之5-函數(shù)視角下數(shù)列的單調(diào)性與最值數(shù)學(xué)微專題27之6-衡水中學(xué)內(nèi)部數(shù)學(xué)錯(cuò)題集數(shù)學(xué)微專題27之7-極化恒等式在向量問(wèn)題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之8-解析策略-解析幾何中的數(shù)與形數(shù)學(xué)微專題27之9-精準(zhǔn)培優(yōu)專練圓錐曲線離心率數(shù)學(xué)微專題27之10-解析幾何中斜率之積為定值的問(wèn)題探究數(shù)學(xué)微專題27之11-立體幾何求角的三角函數(shù)值（非空間向量）數(shù)學(xué)微專題27之12-平面解析幾何：易錯(cuò)點(diǎn)與二級(jí)結(jié)論數(shù)學(xué)微專題27之13-求數(shù)列通項(xiàng)公式的11種方法數(shù)學(xué)微專題27之14-三次函數(shù)的圖像與性質(zhì)數(shù)學(xué)微專題27之15-數(shù)列求和的8種常用方法(最全)數(shù)學(xué)微專題27之16-數(shù)學(xué)手冊(cè)數(shù)學(xué)微專題27之17-雙變量的“任意性”與“存在性”五種題型的解題方法數(shù)學(xué)微專題27之18-同構(gòu)思想在指對(duì)型函數(shù)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)微專題27之19-外接球的幾種求法數(shù)學(xué)微專題27之20-阿波羅尼斯圓專題經(jīng)典講解數(shù)學(xué)微專題27之