高考數(shù)學熱點專題7之7與球有關的切與接問題（解析版）

與球有關的切與接問題思路引導思路引導一．與球有關的切、接問題的解法1.旋轉體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．2.多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長方體中再去求解．①若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一條側棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解．二．外接球8大模型秒殺公式推導1.墻角模型使用范圍：3組或3條棱兩兩垂直；或可在長方體中畫出該圖且各頂點與長方體的頂點重合推導過程：長方體的體對角線就是外接球的直徑秒殺公式：圖示過程2.漢堡模型（1）使用范圍：有一條側棱垂直與底面的柱體或椎體（2）推導過程第一步：取底面的外心O1,，過外心做高的的平行且長度相等，在該線上中點為球心的位置第二步：根據(jù)勾股定理可得（3）秒殺公式：（4）圖示過程3.斗笠模型（1）使用范圍：正棱錐或頂點的投影在底面的外心上（2）推導過程第一步：取底面的外心O1,，連接頂點與外心，該線為空間幾何體的高h第二步：在h上取一點作為球心O第三步：根據(jù)勾股定理（3）秒殺公式：（4）圖示過程4.折疊模型使用范圍：兩個全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折疊推導過程微信公眾號：鉆研數(shù)學第一步：過兩個平面取其外心H1、H2，分別過兩個外心做這兩個面的垂線且垂線相交于球心O第二步：計算第三步：（3）秒殺技巧：（4）圖示過程5.切瓜模型（1）使用范圍：有兩個平面互相垂直的棱錐（2）推導過程：第一步：分別在兩個互相垂直的平面上取外心F、N，過兩個外心做兩個垂面的垂線，兩條垂線的交點即為球心O，取BC的中點為M，連接FM、MN、OF、ON第二步：（3）秒殺公式：（4）圖示過程6.麻花模型（1）使用范圍：對棱相等的三棱錐（2）推導過程：設3組對棱的長度分別為x、y、z,長方體的長寬高分別為a、b、c秒殺公式：圖示過程7.矩形模型（1）使用范圍：棱錐有兩個平面為直角三角形且斜邊為同一邊（2）推導過程：根據(jù)球的定義可知一個點到各個頂點的距離相等該點為球心可得，斜邊為球的直徑（3）秒殺公式：（4）圖示過程鱷魚模型使用范圍：適用所有的棱錐推導過程：（3）秒殺公式：（4）圖示過程內切球的半徑---等體積法推導過程秒殺公式：圖示過程特別說明：下面例題或練習都是常規(guī)方法解題，大家可以利用模型的秒殺公式母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)技法1：幾何體的外接球【例1】（1）（2022·全國乙（理）T9）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為，則（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為又則當且僅當即時等號成立，故選C（2）（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱臺高為1，上下底邊長分別為和，所有頂點在同一球面上，則球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選A．【解題技法】“接”的問題處理規(guī)律(1)旋轉體的外接球：常用的解題方法是過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長方體中再去求解．①若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體，利用2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)求R.②一條側棱垂直底面的三棱錐問題：可補形成直三棱柱．先借助幾何體的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解．【跟蹤訓練】1.（2022·吉林省實驗中學模擬預測）已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A.eq\f(7\r(14),3)πB．14πC．56πD.eq\r(14)π【答案】B【解析】以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱錐P－ABC符合要求，如圖，長方體PAB′B－CA′P′C′與三棱錐P－ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長方體體對角線PP′，設外接球的半徑為R，則(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，則所求表面積S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.2.（2021?甲卷T11）已知，，是半徑為1的球的球面上的三個點，且，，則三棱錐的體積為A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以底面為等腰直角三角形，所以所在的截面圓的圓心為斜邊的中點，所以平面，在中，，則，在中，，故三棱錐的體積為．故選．技法2：幾何體的內切球【例2】（2020?新課標Ⅲ）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為．【答案】【解析】因為圓錐內半徑最大的球應該為該圓錐的內切球，如圖，圓錐母線，底面半徑，則其高，不妨設該內切球與母線切于點，令，由，則，即，解得，，【解題技法】“切”的問題處理規(guī)律(1)找準切點，通過作過球心的截面來解決.(2)體積分割是求內切球半徑的通用方法.【跟蹤訓練】（2022·遼寧實驗中學模擬預測）如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1的內切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A.eq\f(\r(6)π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(\r(3)π,3)【答案】C【解析】平面ACD截球O的截面為△ACD1的內切圓，∵正方體棱長為1，∴AC＝CD1＝AD1＝eq\r(2).∴內切圓半徑r＝tan30°·AE＝eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),6).∴S＝πr2＝π×eq\f(1,6)＝eq\f(π,6)，故選C.技法3：截面法處理切與接中的最值問題【例3】(1)(2022·成都模擬)已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為eq\f(32π,3)的球O的球面上，則該圓柱的側面積的最大值為()A．4πB．8πC．12πD．16π【答案】B【解析】如圖所示，設球O的半徑為R，由球的體積公式得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，解得R＝2.設圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r＝2cosα，圓柱的高為4sinα，∴圓柱的側面積為4πcosα×4sinα＝8πsin2α，當且僅當α＝eq\f(π,4)，sin2α＝1時，圓柱的側面積最大，∴圓柱的側面積的最大值為8π.(2)（2022·陜西·西安中學模擬預測）已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內半徑最大的球的體積為________．【答案】eq\f(\r(2),3)π【解析】圓錐內半徑最大的球即為圓錐的內切球，設其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內切圓為圓錐的內切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點，AB＝2，E為切點，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內切球的體積為eq\f(4,3)π＝eq\f(\r(2),3)π.【解題技法】(1)與球截面有關的解題策略①定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；②作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長)．【跟蹤訓練】（2022·山東日照·一模）設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D-ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)【答案】B【解析】由等邊△ABC的面積為9eq\r(3)，可得eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，所以AB＝6，所以等邊△ABC的外接圓的半徑為r＝eq\f(\r(3),3)AB＝2eq\r(3).設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d，則d＝eq\r(R2－r2)＝eq\r(16－12)＝2.所以三棱錐D-ABC高的最大值為2＋4＝6，所以三棱錐D-ABC體積的最大值為eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).(2)(2022·長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________．【答案】eq\f(9π,2)【解析】易知AC＝10.設△ABC的內切圓的半徑為r，則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.因為2r＝4>3，所以最大球的直徑2R＝3，即R＝eq\f(3,2)，此時球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2).模擬訓練模擬訓練1．（2023春·河南安陽·高三安陽一中?？寄M）若棱長均相等的正三棱柱的體積為，且該三棱柱的各個頂點均在球O的表面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正三棱柱的幾何性質可知其外接球的球心在正三棱柱的中截面上，即可根據(jù)勾股定理進行求解.【詳解】設該正三棱柱棱長為，底面三角形的外接圓半徑為，則，則底面三角形的外接圓的半徑為.設三棱柱的外接球半徑為，則.故選：D2．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谀┰诠畔ＥD數(shù)學家阿基米德的墓碑上刻有一個令他最引以為傲的幾何圖案.該幾何圖案是內部嵌入一個內切球的圓柱，且該圓柱底面圓的直徑與高相等，則該圓柱的內切球與外接球的體積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設圓柱高為，底面半徑為，圓柱內切球半徑為，外接球半徑為，得出，，，之間的關系，由球的體積公式求出圓柱內切球與外接球的體積之比.【詳解】該圓柱的內切球和外接球的截面圖如下圖所示，設圓柱高為，底面半徑為，圓柱內切球半徑為，外接球半徑為，則，，，，，圓柱內切球與外接球的體積之比為.故選：B3．已知是邊長為3的等邊三角形，其頂點都在球O的球面上，若球O的體積為，則球心O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】設的中心為，求得，再根據(jù)球O的體積為，求得半徑，然后利用球的截面性質求解.【詳解】解：如圖所示：因為是邊長為3的等邊三角形，且的中心為，所以，又因為球O的體積為，所以，解得，即，所以，即球心O到平面ABC的距離為1，故選：C4．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，底面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解】由，得，所以的外接圓半徑，由于底面，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積.故選：B5．（2023秋·天津南開·高三校考模擬）如圖，半球內有一內接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設半球的半徑為，連接交于點，連接，利用四棱錐的體積公式求出半徑，再代入球的體積公式即可求解.【詳解】依題意，設半球的半徑為，連接交于點，連接，如圖所示：則有，易得，所以正四棱錐的體積為：，解得：，所以半球的體積為：.故選：C.6．（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考模擬預測）如圖所示，一個球內接圓臺，已知圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，球的表面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.【詳解】因為圓臺外接球的表面積，所以球的半徑，設圓臺的上?下底面圓心分別為，在上?下底面圓周上分別取點，連接，如圖，因為圓臺上?下底面的半徑分別為3和4，所以，，所以，,所以，所以圓臺體積.故選：D.7．已知菱形ABCD的各邊長為2，.將沿AC折起，折起后記點B為P，連接PD，得到三棱錐，如圖所示，當三棱錐的表面積最大時，三棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結合三角形面積公式分析可得當時，三棱錐的表面積取最大值，再根據(jù)直角三角形的性質分析三棱錐的外接球的球心和半徑，即可得結果.【詳解】由題意可得：均為邊長為2的等邊三角形，為全等的等腰三角形，則三棱錐的表面積，當且僅當，即時，三棱錐的表面積取最大值，此時為直角三角形，，取的中點，連接，由直角三角形的性質可得：，即三棱錐的外接球的球心為，半徑為，故外接球體積為.故選：D..8．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）棱錐的內切球半徑，其中，分別為該棱錐的體積和表面積，如圖為某三棱錐的三視圖，若每個視圖都是直角邊長為的等腰直角形，則該三棱錐內切球半徑為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原三棱錐，求得棱錐表面積和體積后，代入公式即可求得內切球半徑.【詳解】由三視圖可還原三棱錐如下圖所示，其中平面，，，，棱錐表面積，該棱錐的內切球半徑.故選：C.9．（2023秋·湖南婁底·高三校聯(lián)考期末）《九章算術》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早多年．在《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖是陽馬，，，，．則該陽馬的外接球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題目條件有，則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.【詳解】因，平面ABCD，平面ABCD，則，又因四邊形ABCD為矩形，則.則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.又，，．則外接球的直徑為長方體體對角線，故外接球半徑為：，則外接球的表面積為：故選：B10．（湖南省部分市2023屆高三下學期3月大聯(lián)考數(shù)學試題）在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直三棱柱的體積得到，根據(jù)直三棱柱外接球半徑的求法得到，然后構造函數(shù)，求導得到的最小值，即可得到外接球表面積的最小值.【詳解】設直三棱柱的高為，外接球的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又，令，則，易知的最小值為，此時，所以該三棱柱外接球表面積的最小值為.故選：A.11．（多選題）正三棱錐的外接球半徑為2，底面邊長為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】首先設三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，得到，再分類討論求解三棱錐體積即可?！驹斀狻吭O三棱錐的外接球的球心為，三角形的中心為，由題知：，解得.當外接球球心在線段上時，如圖所示：，，所以.當外接球球心在線段的延長線上時，如圖所示：，，所以.故選：AB12．（多選題）（2022秋·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習）某正四棱臺的上、下底面邊長分別為和，若該四棱臺所有的頂點均在表面積為的球面上，則該四棱臺的體積可能為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】求出球的半徑，畫出直觀圖，分球心在正四棱臺的內部和外部，兩種情況，求出正四棱臺的高，利用臺體體積公式求出答案.【詳解】設球的球心為，半徑為，則，解得：，上底面正方形的中心為，下底面正方形的中心為，若球心在四棱臺的內部，連接，則為四棱臺的高，，，同理：，由勾股定理得：，，所以四棱臺的高，此時四棱臺的體積；若球心在四棱臺的外部，則四棱臺的高，此時四棱臺的體積．故選：BD13．（多選題）已知正方體的棱長為，則（

）A．正方體的外接球體積為 B．正方體的內切球表面積為C．與異面的棱共有4條 D．三棱錐與三棱錐體積相等【答案】ACD【分析】對于A、B：正方體外接球的半徑,內切球的半徑，代入球體的體積和表面積公式計算；對于C：根據(jù)異面直線的定義進行判定；對于D：利用等體積轉換處理．【詳解】∵正方體外接球的半徑,內切球的半徑∴正方體的外接球體積為，內切球表面積為A正確，B不正確；與異面的棱有，共有4條，C正確；∵，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，故體積相等，D正確；故選：ACD．14．（多選題）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體.已知，則關于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過三點的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足關系式【答案】BD【分析】根據(jù)幾何體的構成可判斷A，由截面為正六邊形可求面積判斷B，根據(jù)外接球為正四棱柱的外接球即可判斷C，根據(jù)頂點，面數(shù)，棱數(shù)判斷D.【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.A：因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故A錯誤；B：如圖，過三點的截面為正六邊形，又，所以正六邊形面積為，故B正確；C：根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為，側棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積為，故C錯誤；D：幾何體頂點數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足，故D正確.故選：BD15．（多選題）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為的截角四面體，則下列說法正確的是（

）A．該截角四面體的內切球體積 B．該截角四面體的體積為C．該截角四面體的外接球表面積為 D．外接圓的面積為【答案】BD【分析】根據(jù)內切球的直徑等于正四面體高的可求解A項，利用每個截角體積等于正四面體體積的可求解B項，利用勾股定理求外接球的半徑可求解C項，利用勾股定理可確定的斜邊長，進而求解D項.【詳解】該四面體底面正三角形的高等于，所以四面體的高，由圖可知，該截角四面體的內切球的直徑等于，所以內切球的體積等于，故A錯誤；正四面體的體積，所以剪掉一個角的體積等于，所以該截角四面體的體積為,故B正確；取上下底面的中心為,外接球的球心為，連接如圖，因為截角四面體上下底面間的距離等于，設外接球的半徑等于，因為為邊長等于的正三角形，所以的高等于，所以,又因為下底面為正六邊形，所以，所以即所以解得，所以，故C錯誤；連接，則,所以，由正四面體對棱互相垂直可知，,所以在直角中，，所以外接圓的面積為，故D正確.故選:BD.16．（陜西省漢中市2021屆高三上學期第五次校際聯(lián)考文科數(shù)學試題）中國古代數(shù)學著作《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”．在如圖所示的塹堵中，，則塹堵的外接球的體積是__________．【答案】【分析】將該塹堵補充成長方體，求長方體外接球體積即可.【詳解】將該塹堵補充為一個長方體，如圖，則該塹堵的外接球即為長方體的外接球，設長方體的體對角線為，則，所以，所以外接球的體積為，故答案為:.17．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）已知圓柱的兩個底面的圓周都在表面積為的球面上，若該圓柱的高是底面半徑的2倍，則該圓柱的側面積為________．【答案】【分析】根據(jù)題意求出球體的半徑，再利用勾股定理圓柱的底面半徑與高，從而求圓柱的表面積即可.【詳解】設圓柱外接球半徑為，圓柱的底面半徑為，則其高為，由圓柱的性質得，外接球球心在上下底面圓心連線的中點處，則，因為球的表面積為，所以，則，又因為，即，所以，則，所以圓柱的側面積為：.故答案為：..18．（2023秋·江蘇南京·高三校考期末）已知正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上,上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2,圓臺的兩底面在球心的同側,則此正四棱臺的體積為_____．【答案】【分析】先根據(jù)題意畫出幾何體,通過外接球的半徑及上、下底面外接圓半徑,利用勾股定理求出正四棱臺的高,再根據(jù)外接圓半徑分別求出上下底面的面積,根據(jù)體積公式即可得出結果.【詳解】解:由題知,正四棱臺的上、下底面的頂點都在一個半徑為3的球面上,取正四棱臺上底面一點為,正方形中心為,下底面一點為,正方形中心為,正四棱臺外接球球心為,連接如圖所示:記正四棱臺高,,在直角三角形中,,所以有,解得,在直角三角形中,,所以有,解得,即,因為四棱臺上、下底面正方形的外接圓半徑分別為1和2,所以四棱臺上、下底面正方形的邊長分別為:,,所以,,故正四棱臺體積為:.故答