抽樣方法、正態(tài)分布

#抽樣方法、正態(tài)分布重點、難點講解：1．抽樣的三種方法：簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣。后兩種方法是建立在第一種方法基礎上的。2．了解如何用樣本估計總體:用樣本估計總體的主要方法是用樣本的頻率分布來估計總體分布，主要有總體中的個體取不同數(shù)值很少和較多甚至無限兩種情況。3.正態(tài)曲線及其性質：N3.正態(tài)曲線及其性質：N（如口2），其正態(tài)分布函數(shù)??f占,xU(-8,+w)。任一正態(tài)總體N（如°任一正態(tài)總體N（如°為（匕）），其取值小于x的概率F（x）=,xU(-8,+g)。把,xU(-8,+g)。曲線在x軸的上方，與x軸不相交。曲線關于直線x=g對稱。曲線在x=g時位于最高點。當xVy時，曲線上升；當x＞卩時，曲線下降，并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。當卩一定時，曲線的形狀由口確定，口越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；口越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的轉化對于標準正態(tài)分布，用少（可）表示總體取值小于x0的概率，即①（心）=p（xvx0），其幾何意義是由正態(tài)曲線N（0,1），x軸，直線x=x0所圍成的面積。又根據(jù)N（0,1）曲線關于y軸的對稱性知，少（一坯）=1-飆坯），并且標準正態(tài)總體在任一區(qū)間（a,b）內取值概率廠恥）一％）。了解“小概率事件”和假設檢驗的思想。知識應用舉例：例1.從503名大學一年級學生中抽取50名作為樣本，如何采用系統(tǒng)抽樣方法完成這一抽樣？思路分析：因為總體的個數(shù)503，樣本的容量50，不能整除，故可采用隨機抽樣的方法從總體中剔除3個個體，使剩下的個體數(shù)500能被樣本容量50整除，再用系統(tǒng)抽樣方法。解：第一步：將503名學生隨機編號1，2，3，……，503第二步：用抽簽法或隨機數(shù)表法，剔除3個個體，剩下500名學生，然后對這500名學生重新編號。500第三步：確定分段間隔k^°=10,將總體分成50個部分，每部分包括10個個體，第一部分的個體編號為1，2，……，10；第二部分的個體編號11，12，……，20；依此類推，第50部分的個體編號491，492，……，500。第四步：在第一部分用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號，例如是7。第五步：依次在第二部分，第三部分，，第五十部分，取出號碼為17，27，，497，這樣就得到了一個容量為50的樣本。

例2．對某電子元件進行壽命追蹤調查，情況如下：壽命"】100—200200^300300-100400^500L500-600個敕20|'308040i30列出頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計電子兀件壽命在100h?400h以內的概率;(4)估計電子元件壽命在400h以上的概率；(5)估計總體的數(shù)學期望。思路分析：由于樣本的取得具有代表性，因此，可以利用樣本的期望近似地估計總體的期望。解：(2)頻率分布直方圖如下：從頻率分布表可知，壽命在100h?400h的元件出現(xiàn)的概率為0.65；壽命在400h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35,故我們估計電子元件壽命在400h以上的概率為0.35。樣本的期望為：100+200門“200+300門訃300+400門“400+500門“xO.10+xO.15+xO.40+xO.20+500+6002222500+600x0.15=15+37.5+140+90+82.5=365.所以，我們估計生產的電子元件壽命的總體期望值(總體均值)為365h。例3.正態(tài)總體為卩=0,g=1時的概率密度函數(shù)是f(x)=,xU(-g,+w),(1)證明f(x)是偶函數(shù)；(2)利用指數(shù)函數(shù)的性質說明f(x)的增減性。證明：(1)任意的證明：(1)任意的xUR,f(-x)=(2)任取x1<x2<0,則4電<4芳,，即f(X])vf(x2)。這說明f(x)在(-8,0)上是遞增函數(shù),同理可證f(x)在(0,+8)上是遞減函數(shù)。例4.隨機變量g服從N(0,1),求下列值。(1)P(g>2.55)(2)P(g<-1.44)(3)P(|g|<1.52)思路分析：標準正態(tài)分布，可以借助標準正態(tài)分布表。用到的公式主要有：①(-x)=1-少(x)；P(avxvb)=①(b)-少(a)；p(x>x0)=1-p(xvx0)。

解：(1)P(22.55)=l-p(g<2.55)=l-①(2.55)=1-0.9946=0.0054。解：(1)P(22.55)=l-p(g<2.55)=l-①(2.55)=1-0.9946=0.0054。P(|g|<1.52)=p(-1.52<g<1.52)=少(1.52)-①(-1.52)=2少(1.52)-1=2x0.9357-1=0.8714。例5.設*~"仏代,且總體密度曲線的函數(shù)表達式為：f(x)2氏,xu(4,+w)。(1)求卩，g；(2)求p(lx-1lv旋)及p(1-血VXV1+》旋)。解：(1)整理得：f(x)「阪、扭，所以，日"，故Zg思路分析：對照正態(tài)曲線函數(shù)，可以得出卩，6利用一般正態(tài)總體皿仏解：(1)整理得：f(x)「阪、扭，所以，日"，故Zg1+-11--\/2-1=少(旋)一少(龐)=叫1)一少(-1)=2①(1)-1=2x0.8413-1=0.6826。p(1p(11+-11--1=少(忑)-少(血)=少(2)-①(-1)=少(2)+少(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185。例6.某城市從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站有兩條路可走，第一條線路穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(50,100),第二條線路沿環(huán)城公路走，路程較長，但交通阻塞少，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(60,16)，(1)若只有70分鐘時間可用，應走哪條路？(2)若只有65分鐘時間可用，應走哪條路？思路分析：所謂最佳線路(應選擇的線路)就是在允許的時間內有較大概率趕到火車站的那條線路。解：設x為行車時間。(1)走第一條路及時趕到的概率為：P(0<xW70)=1°10P(0<xW70)=1°10-①(2)=0.9772。70-60走第二條線路及時趕到的概率為：P(0<xW70)=①(也)=少(2.5)=0.9938。65-50(2)走第一條線路及時趕到的概率為：P(0<x<65)^(1°)=少(1.5)=0.9332。65-60走第二條線路及時趕到的概率為：P(0<x<65戸少(4)=少(1.25)=0.8944。因此應走第一條線路。在線測試1．于（）A、1．于（）A、B、C、D、選擇題如果采用分層抽樣，從個體數(shù)為N的總體中，抽取一個容量為n的樣本，那么每個個體被抽到的概率等2．青年人81人，為了調查他們身體狀況的某項指標，需要從他們某單位有老年人28人，中年人2．青年人81人，為了調查他們身體狀況的某項指標，需要從他們中抽取一個容量為36的樣本，適合抽取樣本的方法是（）。A、簡單隨機抽樣BA、簡單隨機抽樣B、系統(tǒng)抽樣C、分層抽樣D、先從老年人中剔除1人，然后再分層抽樣3．4．A、總體容量越大，估計越精確C、樣本容量越大，估計越精確在10人中，有4個學生，13．4．A、總體容量越大，估計越精確C、樣本容量越大，估計越精確在10人中，有4個學生，1個干部，A、頻數(shù)B、概率C、B、總體容量越小,D、樣本容量越小,2個工人，3個農民，估計越精確估計越精確數(shù)彳是工人占總體的（）。頻率D、累積頻率在用樣本頻率分布估計總體分布的過程中，下列說法正確的是（）。5．A、頻率分布直方圖與總體密度曲線無關。B、頻率分布直方圖就是總體密度曲線。5．A、頻率分布直方圖與總體密度曲線無關。B、頻率分布直方圖就是總體密度曲線。C、樣本容量很大的頻率分布直方圖就是總體密度曲線。組距[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下：則樣本在區(qū)間（-8,50）上的頻率為（）。A、0.5B、0.25C、0.6D、0.76．對于樣本頻率分布的直方圖與總體密度曲線的關系，下列說法正確的是（）。6．D、線。7．關于正態(tài)總體的密度函數(shù)所對應的曲線，下列敘述中不正確的是：）。A、D、線。7．關于正態(tài)總體的密度函數(shù)所對應的曲線，下列敘述中不正確的是：）。A、曲線總是在x軸的上方。B、曲線關于直線x=p對稱。如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布的直方圖就會無限接近于總體密度曲C、D、在區(qū)間（p-2o,p+20）內取值的概率為C、D、當x2p時，f（x）隨x的增大而增大，當xWp時，f（x）隨x的減小而增大。

8．9．若隨機變量E?N(p,B8．9．若隨機變量E?N(p,B、p設隨機變量E?N(p,rA、0O2),且P(EWa)=P(E>a)，則a的值為()。C、-pO2),且EE=3D、ODE=1,則P(-1<EW1)等于()?！窩、0(-4)-q(-2)「D、0(2)-q⑷A、2q(1)-1B、Q(4)-q(2)10.已知從某批材料中任取一件時，取得的這件材料的強度E?N(200,18),則取得的這件材料的強度不低于180的概率為()。A、0.9973B、0.8665C、0.8413D、0.8159答案與解析答案：1、C2、D3、C4、C5、D6、D7、D8、B9、B10、B解析：1.提示：采用分層抽樣時,各部分抽取的個體數(shù)與這一部分個體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個體數(shù)的比,所以每個個體被抽到的概率都是相等的。2.提示：當總體由有明顯差別的幾部分組成時,為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況,常采用分層抽樣。4?提示：，所以數(shù)了是工人占總體的頻率。5.提示：組距[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542頻率0.10.150.20.25則樣本在區(qū)間(-8,50)上的頻率為0.1+0.15+0.2+0.25=0.7。提示：如果樣本容量越大,所分組數(shù)越多,也就是組距不斷縮小,那么頻率分布的直方圖就會無限接近于總體密度曲線。因此它們有關,但頻率分布的直方圖不是總體密度曲線。9?提示：一般的正態(tài)分布問題，能轉化成標準正態(tài)分布問題來處理，即將正態(tài)分布中觀察值x的概率P(a(2—B_|_1VxVb)表示成標準正態(tài)分中的P(Z]WzWz2),其中乙廠°,zj°P二①〔一2)-飆一4)二1-①⑵一1+①⑴=①(4)-①⑵?！案怕逝c統(tǒng)計”內容分析(二)6、簡單隨機抽樣有哪些特點?答：(1)它要求被抽取樣本的總體的個數(shù)有限，以便對其中各個體被抽取的概率進行分析。這種抽樣是從總體中逐個進行抽取，這就使得它具有可操作性。這是一種不放回抽樣。由于在抽樣的實踐中常常采用不放回抽樣，使簡單隨機抽樣具有較廣泛的實用性，而且由于在所抽取的樣本中沒有被重復抽取的個體，所以便于進行分析與計算。這是一種等概率的抽樣，不僅每次從總體中抽取一個個體時，各個體被抽取的概率相等，而且在整個抽樣過程中，各個體被抽取的概率相等，從而保證了這種抽樣方法的公平性。實施簡單隨機抽樣主要有兩種方法；即抽簽法和隨機數(shù)表法。與系統(tǒng)抽樣、分層抽樣相比，簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法，另兩種抽樣方法都建立在簡單隨機抽樣的基礎之上。這三種抽樣方法的共同點是：它們都屬于等概率的抽樣，都體現(xiàn)了抽樣的公平性。7、擲一枚均勻硬幣兩次，如何從二項分布的直方圖上算出正面朝上至多發(fā)生一次的概率?答：先畫出直方圖(n=2,p=0.5)如圖1所示。由圖可見，正面朝上至多發(fā)生一次的概率，就是橫坐標從-0.5到1.5這兩個長方形的面積之和，其中第一個長方形的面積對應于正面朝上至多發(fā)生一次的概率P=0.25x1+0.5x1=0.75o8、如何利用直方圖來引進正態(tài)曲線與正態(tài)分布?答：對于n較大，p=0.5的二項分布直方圖，如果用一條平滑的曲線把每個長方形的中點聯(lián)結起來，就能得到一條鐘形曲線，稱為正態(tài)曲線(圖2),其函數(shù)解析式為其中f(x)=,xUR,其中M=哪，口=J即堺,s沁2.718280回顧二項分布的直方圖及上面7中所舉的例子，直方圖中各長方形的面積可以表示有關的概率值。對于正態(tài)曲線，如果規(guī)定，試驗的觀察值X落在區(qū)間(a,b)內的概率P(aVxVb)就是由這條曲線、x軸、直線x=a及x=b所圍成的圖形的面積(圖3),那么稱這種概率分布為正態(tài)分布。圖3x~一個平均數(shù)為卩、標準差為口的正態(tài)分布可以用公式z=□將它變換成平均數(shù)為0、標準差為1的正態(tài)中⑵=e2分布。平均數(shù)為0、標準差為1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布(圖4),其公式為，其中一般的正態(tài)分布問題，能轉化成標準正態(tài)分布問題來處理，即將正態(tài)分布中觀察值x的概率P(aVxVb)表a~b示成標準正態(tài)分中的P(zi<z<z2)，其中Z1=，z2=口0由于必然事件的概率是1,所以在標準正態(tài)曲線下方、Z軸上方的總面積等于1,為了計算與標準正態(tài)分布有關的事件的概率，可以列出如圖5中陰影部分面積的表，以備查用。用正態(tài)曲線去近似二項分布的直方圖，當n比較大，p等于或接近于0.5時，效果比較好（圖2）。一般地說,n越大，p越接近于0.5,近似程度就越高；反過來，n很小，p接近于0或1時，近似程度就不好，我們一般要求np>5及nq>5，否則計算概率的誤差太大。簡單隨機捋柑的方就有:捋叢法和鏈機數(shù)我沈。塞統(tǒng)抽樣的步驟:（1）將總棒中的個體隨機編號;卩）將編號分段;G）在第1段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號;的按照事先研竄的規(guī)卿抽取樣本。分層抽樣的步驟:⑴分層;卩）按比惻確定每層抽取牛怵的個數(shù);⑶各層抽樣（方法可以不同h牌）匯合成樣本。例2.在一次游戲中，獲勝者可得到3件不同的獎品，這些獎品要從已編號的300種不同獎品中隨機抽取確定，用系統(tǒng)抽樣法確定某獲勝者所得到的3件獎品的編號。解析：設300件不同獎品編號為1,2,……，300,由于300:3=100:1,現(xiàn)將總體分成3個部分，其中每部分包括100個個體，若第1部分的個體編號為1,2,……，100,然后在第1部分隨機抽取一個號碼。比如它為10號，那么可以從第10號起每隔100個抽取1個號碼，這樣得到了一個容量為3的樣本：10,110,210。例1.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有12個行政村，現(xiàn)考察其人口中癌癥的發(fā)病率，對其進行樣本分析，要從3000人中抽出300人進行樣本分析，應采取什么樣的抽樣方法較為合理？并簡述抽樣過程。解析：一般情況下，每個村癌癥發(fā)病率是有差異的，各村人口數(shù)量又有差別，于是采取分層抽樣方法進行抽樣較為合理。具體實施過程:將3000人按12個村分成12份，每份250人，然后從每村的250人中采用系統(tǒng)抽樣法抽取25人，每人被抽到的概率為占，然后再把各村抽出的25人合起來，就抽出一個容量為300的樣本。例3.—批產品中，有一級品100個，二級品60個，三級品40個，分別用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法，從這批產品中抽取一個容量為20的樣本。解析：系統(tǒng)抽樣法：將200個產品隨機地分為20組，每組10個產品，在每組中對每個元素進行編號“1,2……，10”，然后在各組中隨機抽出一個相同的號，比如都抽“3”，這樣就抽出一個容量為20的樣本。分層抽樣法：因為一、二、三級品的個數(shù)之比為5：3：2,所以從一級品中抽取^x20=10（個），從二級品中抽取存20=6（個），從三級品中抽取^x20=4（個），具體抽法可用隨機數(shù)表進行抽取。例例1?從甲，乙兩種棉苗中，各抽10株，測得它們的株高分別如下：（單位:cm）甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40（1）哪種棉花的苗長得高？（2）哪種棉花的苗長得整齊？用樣本估計總體是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法。對于不易知道的總體分布，常用樣本的頻率分布對它進行估計。對總體的平均數(shù)、方差、標準差，常用樣本的平均數(shù)、方差、標準差進行估計，樣本容量越大，這種估計就越精確。用樣本估計總體的思想就是用部分考查全體，用離散考查連續(xù)，用有限考查無限的思想，使原來不可以解決的問題，能基本解決。總體分布反映了總體在各個范圍內取值的概率。由于總體分布通常不易知道，我們往往是用樣本的頻率分布去估計總體分布。一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確，對于所取不同數(shù)值較少的總體，常用條形圖來表示相應的樣本的頻率分