剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理課件

第七章剛體力學(xué)（Chapter7Mechanicsofarigidbody）前言剛體運(yùn)動的描述剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動慣量剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)剛體的平衡自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)第七章剛體力學(xué)前言1§1前言一、本章的基本內(nèi)容及研究思路前面幾章討論了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動規(guī)律，本章將討論具有一定形狀和大小的物體的運(yùn)動。具有形狀和大小的實(shí)際物體的運(yùn)動一般是較復(fù)雜的，它可以平移、轉(zhuǎn)動，還可能發(fā)生形變。為了使問題簡化，一般假定物體無論受多大外力或轉(zhuǎn)動得多快都不變形，并稱這樣的物體為剛體。剛體是力學(xué)中關(guān)于研究對象的另一個理想模型。本章的基本內(nèi)容是：剛體運(yùn)動學(xué)→剛體動力學(xué)（剛體定軸轉(zhuǎn)動，剛體的平面平行運(yùn)動）→剛體靜力學(xué)（對剛體受力的平動和轉(zhuǎn)動這兩種效果予以分析，從而得出不使剛體的狀態(tài)產(chǎn)生變化的條件）→剛體三維運(yùn)動。研究剛體力學(xué)時(shí)，設(shè)想將它分割成許多部分，每一部分都小到可看作質(zhì)點(diǎn)，叫作剛體的“質(zhì)元”，對于剛體，它的任意兩質(zhì)元之間的距離保持不變，因此，剛體就像是一個凍結(jié)的質(zhì)點(diǎn)系，由于每個質(zhì)元服從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī)律，由此出發(fā)，就能推演出剛體的運(yùn)動規(guī)律?！?前言2這是剛體力學(xué)研究的基本方法。二、本章的基本要求理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量（角坐標(biāo)、角位移、角速度和角加速度）并掌握角量與線量的關(guān)系；理解轉(zhuǎn)動慣量的概念并會計(jì)算一些剛體的轉(zhuǎn)動慣量；掌握剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)規(guī)律；了解剛體平面平行運(yùn)動的特點(diǎn)。三、本章的思考題及練習(xí)題思考題：在教學(xué)過程中布置；練習(xí)題：7.1.57.2.37.3.67.4.27.5.27.5.47.5.77.6.1這是剛體力學(xué)研究的基本方法。3§2剛體運(yùn)動的描述

剛體運(yùn)動學(xué)的任務(wù)在于研究如何描述剛體運(yùn)動但不涉及運(yùn)動變化的原因，只有給出剛體上所有質(zhì)元的運(yùn)動狀況，才算完整描述了剛體的運(yùn)動。一、剛體的平動如果在運(yùn)動中，剛體上任意兩質(zhì)元連線的空間方向始終保持不變，這種運(yùn)動就稱為剛體的平動。例如電梯的升降、活塞的往返等都是平動。O§2剛體運(yùn)動的描述O4由于i，j是任意兩個質(zhì)元，所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的速度和加速度，各質(zhì)元的運(yùn)動軌跡的形狀也相同。這里很自然想到一個代表性的質(zhì)元——質(zhì)心。二、剛體的轉(zhuǎn)動

如果剛體上各質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動就稱為剛體轉(zhuǎn)動，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)軸固定于參考系的情況稱為定軸轉(zhuǎn)動。例如機(jī)器上齒輪的運(yùn)動，門窗等都是定軸轉(zhuǎn)動。若轉(zhuǎn)軸上有一點(diǎn)靜止于參考系，而轉(zhuǎn)軸的方向在變動，這種轉(zhuǎn)動稱為定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。例如玩具陀螺的轉(zhuǎn)動就屬于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。分析表明：剛體的任何復(fù)雜運(yùn)動總可以分解為平動和轉(zhuǎn)動（定軸轉(zhuǎn)動或定點(diǎn)轉(zhuǎn)動）的疊加，例如車輪的滾動、螺帽的運(yùn)動。研究剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，通常取任一垂直于定軸的平面作為轉(zhuǎn)動平面，如圖所示，通過分析，轉(zhuǎn)動平面內(nèi)各個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況搞清楚了，整個剛體的運(yùn)動情況就知道了。取任一質(zhì)點(diǎn)P，P在這一轉(zhuǎn)動平面內(nèi)繞O點(diǎn)作圓周運(yùn)動，用矢徑r與Ox軸間由于i，j是任意兩個質(zhì)元，所以剛體上所有質(zhì)元均有相同的5的夾角θ就能完全確定在空間的位置，稱為角坐標(biāo)，規(guī)定逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動的為正，順時(shí)針方向?yàn)樨?fù)?！獎傮w繞定軸轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程。轉(zhuǎn)動平面參考方向轉(zhuǎn)軸xzPrθO不同位置質(zhì)元在時(shí)間內(nèi)的角位移都相同，可見，描述的是整個剛體轉(zhuǎn)過的角度，故稱為剛體轉(zhuǎn)動的角位移。式中稱為剛體轉(zhuǎn)動角速度。面對z軸觀察，，剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動；，剛體順時(shí)針轉(zhuǎn)動。的夾角θ就能完全確定在空間的位置，稱為角坐標(biāo)，規(guī)定逆時(shí)針方6式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。與的符號相同時(shí)，剛體作加速運(yùn)動；反之，轉(zhuǎn)速減小，作減速運(yùn)動。注：對軸外所有各質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)走過的弧長不同，即各質(zhì)點(diǎn)的位移、速度、加速度（線量）各不相同，但各個質(zhì)點(diǎn)角位移，角速度、角加速度（角量）都相同。由轉(zhuǎn)動平面圖很容易得到線量與角量的關(guān)系?？梢姡橇砍浞值孛枋隽藙傮w繞定軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)。三、角速度矢量對于剛體定軸轉(zhuǎn)動，只有“正”“反”兩種轉(zhuǎn)動方向，通過的正負(fù)即可指明。但是當(dāng)剛體并非作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，其轉(zhuǎn)軸的方位是可能變動的。這里為了既描述轉(zhuǎn)動的快慢又能說明轉(zhuǎn)軸的方位，可以統(tǒng)一地用角速度矢量來描述。的大小是，式中稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度。與7的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅適用于剛體轉(zhuǎn)動，也適用于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動。在定軸轉(zhuǎn)動下，可利用將剛體上任一質(zhì)點(diǎn)P的速度表示為。原點(diǎn)不在圓心的情況作為角速度對時(shí)間的變化率，角加速度也是矢量：原點(diǎn)在圓心的情況的方向則由右手螺旋法則確定。角速度矢量的概念不僅8角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，可令z軸與轉(zhuǎn)軸重合，則，故。前文定軸轉(zhuǎn)動中講到的和正是這里的與，它們分別是角速度矢量和角加速度矢量在轉(zhuǎn)軸（即z軸）上的投影。今后為明確起見，凡涉及角速度投影，均附以角標(biāo)。四、剛體的平面運(yùn)動

剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動，且這些平面均與一固定平面平行，稱作剛體作平面運(yùn)動，其特點(diǎn)是，剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上的各點(diǎn)，運(yùn)動狀況都相同。根據(jù)此特點(diǎn)，可利用與角速度和角加速度在直角坐標(biāo)系的正交分解式為其中剛體作定軸轉(zhuǎn)動9固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一經(jīng)確定，剛體的位置便確定了。今后說到“剛體”的時(shí)候，其實(shí)指的就是這種剖面。在平面平行運(yùn)動中，剛體內(nèi)各點(diǎn)的位移、速度和加速度是各不相同的，因此根本談不上什么剛體的位移、速度和加速度。應(yīng)當(dāng)將“剛體的運(yùn)動”與“剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動”區(qū)分開來。建立坐標(biāo)系O-xyz，使平面圖形在Oxy面內(nèi)，如圖所示，z軸與紙面垂直，在平面上任選一點(diǎn)B，稱作基點(diǎn)，其位置矢量為還不足以確定剛體位置，因平面圖形還可繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動。建立以基點(diǎn)B為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與O-xyz系各相應(yīng)軸保持平行的坐標(biāo)系。若能指出平面圖形繞B點(diǎn)或剛體繞軸轉(zhuǎn)動的角坐標(biāo)，即圖中任意點(diǎn)A的位置矢量與軸的夾角，剛體位置便可固定平面平行的平面在剛體內(nèi)截出一平面圖形。此平面圖形的位置一10唯一確定?？傊?，為描述平面運(yùn)動，必須給出即需要三個標(biāo)量函數(shù)才能描述剛體的平面運(yùn)動，與反映任意選定的基點(diǎn)的運(yùn)動，刻劃剛體繞通過基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動，在運(yùn)動學(xué)中，基點(diǎn)的選擇是任意的?，F(xiàn)在來研究剛體位置的改變。在時(shí)刻t，剛體的位置為ABC；過了一些時(shí)間，到了時(shí)刻，剛體的位置變?yōu)?。剛體位置的改變可以這樣來描述：剛體先隨基點(diǎn)A平動，位移為，再繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)一定的角度。唯一確定。總之，為描述平面運(yùn)動，必須給出即需要三個標(biāo)量函數(shù)才11既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們完全可以選取另一點(diǎn)，例如C，作為基點(diǎn)。剛體隨C點(diǎn)平動，再繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動。剛體隨C點(diǎn)平動的位移不同于它隨A點(diǎn)平動的位移，剛體繞C轉(zhuǎn)動的角度則同于剛體繞A轉(zhuǎn)動的角度。就圖而言，不論取A點(diǎn)或取C點(diǎn)為基點(diǎn)，剛體都是逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°。這是毫不奇怪的，不論隨A點(diǎn)平動或隨C點(diǎn)平動，剛體都保持著原來的方位，將它從這種方位轉(zhuǎn)到新的方位所需要轉(zhuǎn)過的角度自然是一定的。令，剛體在一瞬刻的運(yùn)動情況可以這樣來描述：剛體隨著基點(diǎn)A以速度平動（即基點(diǎn)A的速度），并以角速ω繞基點(diǎn)A轉(zhuǎn)動，平動的速度即基點(diǎn)的速度，與基點(diǎn)的選取有關(guān)，轉(zhuǎn)動的角速度ω則與基點(diǎn)的選取無關(guān)。基于以上論述，可將剛體平面運(yùn)動視為隨基點(diǎn)的平動與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動的合成，事實(shí)上，平動與轉(zhuǎn)動是同時(shí)進(jìn)行的。下面討論作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度，以A點(diǎn)為例：既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們完全可以選取另一點(diǎn)，例如C，作為12此即作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。在每一瞬時(shí)，剛體中總有這么一點(diǎn)，其即時(shí)速度為零。既然基點(diǎn)的選取是任意的，我們當(dāng)然可以選速度為零的這一點(diǎn)C為基點(diǎn)，此時(shí)剛體的運(yùn)動情況的描述頗為簡便，其它各點(diǎn)只是簡單繞這基點(diǎn)轉(zhuǎn)動。C點(diǎn)稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動中心，通過C點(diǎn)而垂直于所研究剖面的直線稱為瞬時(shí)轉(zhuǎn)動軸線。怎樣尋找瞬心？1、只要知道剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的瞬時(shí)速度的方向，即可找到瞬心；2、有些情況，一眼就可看出。例如行駛中的車輪，若不滑動，則輪的著地點(diǎn)的即時(shí)速度為零（如果不為零，則著地點(diǎn)必相對于地面滑動）。在每一瞬時(shí)，輪都是繞著其著地點(diǎn)轉(zhuǎn)動。輪心的速度為這就是滾動著的物體不“打滑”的運(yùn)動學(xué)判據(jù)。此即作平面運(yùn)動的剛體上任一點(diǎn)的速度公式。13轉(zhuǎn)動中心也可能在剛體的外面，可這樣理解：這個在剛體外面的瞬心好象剛性地聯(lián)結(jié)于剛體，而剛體則瞬時(shí)地繞它轉(zhuǎn)動。思考題：

若剛體車輪在地面上不作純滾動，試判斷輪與地面的滑動摩擦力方向。設(shè)輪的半徑、角速度和質(zhì)心的速度分別為R轉(zhuǎn)動中心也可能在剛體的外面，可這樣理解：這個在剛體外面的瞬心14

§3剛體的動量和質(zhì)心運(yùn)動定理

動量是物理學(xué)中重要的守恒量，現(xiàn)將它運(yùn)用于剛體。質(zhì)點(diǎn)系的動量可表示為。剛體為不變質(zhì)點(diǎn)系，此二式仍適用。但因剛體內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)距離不變，故質(zhì)心相對于剛體的位置亦不變，對剛體說，用表示動量更方便。現(xiàn)在先研究剛體質(zhì)心，再討論有關(guān)動量的規(guī)律。一、剛體的質(zhì)心

對于質(zhì)點(diǎn)系，我們已經(jīng)知道其質(zhì)心坐標(biāo)為剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理課件15對于剛體當(dāng)然適用，一般而言，剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及剛體體積V，分幾種情況：1、剛體具有對稱中心，對稱中心就是質(zhì)心；2、若剛體無對稱中心，但可以劃分為幾部分，而每一部分都有對稱中心，各部分的中心就是各部分的質(zhì)心，這些質(zhì)心形成為分立的質(zhì)點(diǎn)組，則剛體的質(zhì)心就歸結(jié)為這一質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心；3、前二個條件都不具備，這時(shí)就必須求積分，計(jì)算剛體的質(zhì)心。對于剛體當(dāng)然適用，一般而言，剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的。積分遍及16[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑為R/2的小圓板，大小圓板相切，求余下部分的質(zhì)心。[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，考慮對稱性，余下部分質(zhì)心一定在x軸上，即按第2種情況考慮：整體=陰影+小圓，得Oxy[例題]半圓形均勻薄板（半徑為R），試求其質(zhì)心所在。xyyRO[解]建立如圖所示的坐標(biāo)系，由對稱性可知xc=0,yc=?將半圓劃分為許多平行于x軸的窄條，每一窄條中各點(diǎn)具有相同的y，陰影部分面積[例題]在半徑為R的均質(zhì)等厚度的大圓板的一側(cè)挖掉半徑17剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理課件18質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合；剛體質(zhì)心的位置也就完全可以不與剛體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位置重合，換句話說：剛體的質(zhì)心完全可以在剛體之外?。ㄈ缬覉D所示）C1C2C由以上例子可看出，求質(zhì)心時(shí)需建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，令坐標(biāo)軸沿對稱軸且令原點(diǎn)位于其中某一部分質(zhì)心處往往帶來方便。二、剛體的動量與質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)點(diǎn)系所受外力矢量和為零，則動量守恒。剛體受到的外力矢量和為零，動量當(dāng)然也守恒，即p=mvc=恒矢量。將質(zhì)心運(yùn)動定理用于剛體，亦有表示外力矢量和，ac為質(zhì)心加速度。質(zhì)點(diǎn)組質(zhì)心的位置完全可以不與組內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的位19§4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動動能

與轉(zhuǎn)動慣量

一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量

O考察繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體在某瞬時(shí)對軸上某定點(diǎn)O的角動量。§4剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量?轉(zhuǎn)動動能

與轉(zhuǎn)動慣量O20總角動量為所有質(zhì)元角動量的矢量和。第一項(xiàng)求和為：，方向與相同；第二項(xiàng)求和為：方向與垂直。由此可見，一般與并不同方向。的大小與成正比，方向與的夾角保持不變，且隨著剛體一起以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)。但當(dāng)固定軸為剛體的對稱軸時(shí)，對每一個，在與軸對稱處必有一個相應(yīng)的，使若取，則，因而第二項(xiàng)為零，于是有，這時(shí)與同方向。當(dāng)與同方向時(shí)的轉(zhuǎn)軸稱為剛體的慣量主軸。總角動量為所有質(zhì)元角動量的矢量和。21二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能與轉(zhuǎn)動慣量整個剛體的動能是所有各質(zhì)點(diǎn)的動能之和，即括號內(nèi)的量常用I來表示，叫做剛體對給定z軸的轉(zhuǎn)動慣量。通過上面討論還知道：二、剛體定軸轉(zhuǎn)動動能與轉(zhuǎn)動慣量括號內(nèi)的量常用I來表示，叫22與平動公式相比較，可知轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時(shí)的質(zhì)量，是物體在轉(zhuǎn)動中慣性大小的量度。轉(zhuǎn)動慣量定義式：剛體的轉(zhuǎn)動慣量決定于剛體各部分質(zhì)量距轉(zhuǎn)軸遠(yuǎn)近的分布情況。因此質(zhì)量大的剛體不一定有較大的轉(zhuǎn)動慣量，另外，就一定的剛體來說，對不同轉(zhuǎn)軸，各質(zhì)元距軸的距離不同，轉(zhuǎn)動慣量也可能不同，因此，一談到轉(zhuǎn)動慣量，必先明確是哪一個剛體對哪一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。下面舉幾個簡單而又非常重要的例子。[例題]均勻細(xì)棒繞垂直于通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。[解]任取一質(zhì)元xxdxl/2l/2O與平動公式相比較，可知轉(zhuǎn)動慣量相當(dāng)于平動時(shí)的質(zhì)量，是物體在轉(zhuǎn)23[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。[解]由于所有質(zhì)元都離軸等遠(yuǎn)R[例題]均勻圓盤繞垂直盤面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。參考教材P204頁，求得此結(jié)論也適用于圓柱體。注意：轉(zhuǎn)動慣量是可加的。即剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于其各個部分對同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量的和。這一點(diǎn)可從定義式直接看出來。[例題]均勻薄圓環(huán)繞垂直于環(huán)面通過中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量24例如，求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動慣量－小

圓柱轉(zhuǎn)動慣量=

教材205頁表中結(jié)果要能推出并記住！以上例子中轉(zhuǎn)軸都是通過剛體質(zhì)心的對稱軸，若轉(zhuǎn)軸平移，轉(zhuǎn)動慣量如何變化？下面兩個定理對于轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算往往很有幫助，特別是定理一。

[定理一]平行軸定理：設(shè)剛體繞通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為Ic，將軸朝任何方向平行移動一個距離d，則繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量ID為ID=Ic+md2[證]CDIcIDd例如，求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量=大圓柱轉(zhuǎn)動慣量－小25[定理二]垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之垂直，則對于任何原點(diǎn)O繞三個坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為[定理二]垂直軸定理：設(shè)剛性薄板平面為xy面，z軸與之26

應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的角動量定理，當(dāng)固定軸不是剛體的慣量主軸時(shí)，可分解為沿z軸的分矢量和與之垂直的分矢量兩部分，也可分解為和兩部分，則有

即使在角動量的大小恒定，即為恒量的情況下，

的方向也將隨時(shí)間變化，這時(shí)有，方向沿的

端點(diǎn)所畫圓周的切線，即沿，見下圖應(yīng)用它很容易求出圓環(huán)或圓盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量。27剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)軸z的方向是固定的，故該方向的角動量定理可以寫成標(biāo)量形式：可見轉(zhuǎn)動定理其實(shí)就是角動量定理沿固定軸方向的分量式。即（與牛頓第二定律地位相當(dāng)）它表明：剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，剛體對該轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積在數(shù)量上等于外力對此轉(zhuǎn)動軸線的合力矩——剛體定軸的轉(zhuǎn)動定理。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)軸z的方向是固定的，故該282、一般而言，當(dāng)轉(zhuǎn)軸不是對稱軸時(shí)，角動量肯定不守恒。但當(dāng)外力矩在轉(zhuǎn)軸（Z軸）上的分量為零時(shí)，剛體角動量在該軸上的分量保持不變?！穸ㄝS轉(zhuǎn)動剛體的角動量守恒1、繞對稱軸轉(zhuǎn)動的剛體的角動量為當(dāng)剛體不受外力矩作用時(shí)，角動量不變。此結(jié)論也適用于I可變的物體，只要在I變化過程中不破壞對稱性，又保持所有質(zhì)點(diǎn)的相同。思考題：利用角動量守恒定律簡要分析花樣滑冰、跳水運(yùn)動過程2、一般而言，當(dāng)轉(zhuǎn)軸不是對稱軸時(shí)，角動量肯定不守恒。但當(dāng)外力29[例題]如圖所示的裝置叫做阿特伍德（Atwood）機(jī)，用一細(xì)繩跨過定滑輪，而在繩的兩端各懸質(zhì)量為m1和m2的物體，其中m1>m2，求它們的加速度及繩兩端的張力T1和T2，設(shè)繩不可伸長，質(zhì)量可忽略，它與滑輪之間無相對滑動；滑輪的半徑為R，質(zhì)量為m，且分布均勻。[解]選取固定于地面的坐標(biāo)系，令x軸堅(jiān)直向上，取逆時(shí)針方向?yàn)檎霓D(zhuǎn)動方向。列運(yùn)動方程式：m1m2T1T2a1a2xmgN[例題]如圖所示的裝置叫做阿特伍德（Atwood）機(jī)30由于繩子不可伸長且不打滑，因不計(jì)繩的質(zhì)量上述方程聯(lián)立求解可得：本題有利于理解“理想滑輪”的條件。由于繩子不可伸長且不打滑，上述方程聯(lián)立求解可得：本題有利于31[例題]如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端，穿出后速度損失3/4，求子彈穿出后，棒的角速度，已知棒長為l，質(zhì)量為M.[解]以f代表棒對子彈的阻力，對于子彈有子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為[例題]如圖所示，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入32思考題：

1、此題可否用子彈和棒的總角動量守恒來作？2、子彈和棒的總動量在水方向上是否守恒？3、若將桿換成軟繩系一質(zhì)量為M的重物，在水平方向上動量是否守恒？4、機(jī)械能是否守恒？思考題：33§5剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

在某些問題中，應(yīng)用動能定理及其在特殊情況下的表達(dá)式，即機(jī)械能守恒定律或功能原理，常使問題解決得簡便迅速。為了闡述的方便，與教材順序不一樣。一、剛體的重力勢能當(dāng)把剛體和地球視作一系統(tǒng)時(shí)，則可考慮該系統(tǒng)的重力勢能或簡稱剛體的重力勢能=各質(zhì)元重力勢能之和?！鼪Q定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距離勢能零點(diǎn)的高度，亦即，相當(dāng)于總質(zhì)量m集中在質(zhì)心C的高度yc上?！?剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理——它決定于剛體質(zhì)量和其質(zhì)心距34二、剛體的動能剛體繞固定軸轉(zhuǎn)動的動能等于剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量與角

速度平方乘積之半。三、力矩的功設(shè)是作用在質(zhì)元上的外力，則在時(shí)間間隔內(nèi)，外力對定軸轉(zhuǎn)動剛體所作的元功為

由于功是用力矩和角位移表示，所以叫力矩的功，本質(zhì)上仍然是力作功，是在剛體轉(zhuǎn)動情況下力作功的表現(xiàn)形式。二、剛體的動能由于功是用力矩和角位移表示，所35四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理將質(zhì)點(diǎn)系動能定理應(yīng)用于剛體定軸轉(zhuǎn)動，由于剛體內(nèi)力作功的代數(shù)和為零，即得剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)動動能的增量等于剛體所受外力矩做功的代數(shù)和，這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。[例題]長為l的均勻細(xì)桿，繞過其一端O并與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動。設(shè)桿從水平位置由靜止釋放，求當(dāng)桿與水平線成角時(shí)，桿的質(zhì)心的速度，設(shè)轉(zhuǎn)軸光滑。[解]解法一：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理以桿為研究對象，它受到重力mg和轉(zhuǎn)軸的作用力N。由四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)動動能的增量等36于轉(zhuǎn)軸光滑，N不作功，所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落至題設(shè)的位置時(shí)，重力作功為

mg

mgON在此期間，桿的動能的增量由動能定理質(zhì)心的速度為于轉(zhuǎn)軸光滑，N不作功，所以只有mg作功。當(dāng)桿從水平位置落37解法二：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律以桿和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)。由于軸光滑，則作用于桿的外力N不作功，而地球和桿的相互作用力為保守內(nèi)力，所以桿的機(jī)械能守恒。選擇水平位置為桿的勢能零點(diǎn)，開始時(shí)至桿與水平線夾角為時(shí)所以解法二：應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動的機(jī)械能守恒定律至桿與水平線夾角為38解法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理解法三：應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理39[例題]如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，已知棒長為l，質(zhì)量為m，開始時(shí)將棒置于水平狀態(tài)，然后由靜止擺下，求棒擺到豎直的瞬間：（1）棒的角速度；（2）棒的轉(zhuǎn)動動能；（3）質(zhì)心的加速度（不計(jì)摩擦阻力）。cOcOFyFx[例題]如圖所示，一勻質(zhì)細(xì)棒可繞水平軸O轉(zhuǎn)動，已40[解]

（1）棒的角速度對轉(zhuǎn)軸O，細(xì)棒除受重力矩外不受其他外力矩（O軸上的反力通過軸），故細(xì)棒的機(jī)械能守恒。設(shè)細(xì)棒在水平位置時(shí)的重力勢能為勢能零點(diǎn)，則總機(jī)械能細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)的角速度設(shè)為，則機(jī)械能[解]（1）棒的角速度細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)的角速度設(shè)為41（2）棒的轉(zhuǎn)動動能必須注意，在這里不能把棒的動能寫成（3）質(zhì)心的加速度由線量和角量的關(guān)系可算出又因棒在豎直位置時(shí)的角加速度（因此時(shí)合力矩為零）故（2）棒的轉(zhuǎn)動動能必須注意，在這里不能把棒的動能寫成（3）質(zhì)42還可以由質(zhì)心運(yùn)動定律求出棒在豎直位置時(shí)，O軸對棒的反力Fx和Fy：還可以由質(zhì)心運(yùn)動定律求出棒在豎直位置時(shí)，O軸對棒的反力F43§6剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)

一、剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程在運(yùn)動學(xué)中，可將剛體平面運(yùn)動視作隨任意選定的基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動。討論動力學(xué)問題時(shí)，這基點(diǎn)選在質(zhì)心上，以便應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理和對質(zhì)心的角動量定理。在慣性系中建立直角坐標(biāo)系O-xyz，Oxy坐標(biāo)平面與討論剛體平面運(yùn)動時(shí)提到的固定平面平行。又選擇剛體質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立質(zhì)心坐標(biāo)系，二坐標(biāo)系對應(yīng)的坐標(biāo)軸始終兩兩平行。一般說來，質(zhì)心作變速運(yùn)動，故質(zhì)心系為平動的非慣性系。圖中，兩坐標(biāo)標(biāo)系的z和軸均與紙面垂直且指向讀者。首先，在O系中對剛體應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，（1）§6剛體平面運(yùn)動的動力學(xué)（1）44

m為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi)，得投影式再從C系研究剛體繞軸的角動量對時(shí)間的變化率。將它投影于軸，得將它應(yīng)用于剛體，剛體對軸角動量對時(shí)間的變化率即和分別表示剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量和角加速度。于是有即作用于剛體各力對質(zhì)心軸的合力矩等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與剛體角加速度的乘積，這與慣性系中剛體定軸轉(zhuǎn)動定理有完全（2）（3）（4）OCm為剛體的質(zhì)量。設(shè)作用于剛體的力均在Oxy坐標(biāo)面內(nèi)，45相同的形式，叫作剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理。（1）式給出了剛體隨質(zhì)心平動的動力學(xué)，（3）式描述剛體繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)。兩者合在一起稱剛體平面運(yùn)動的基本動力學(xué)方程。二、作用于剛體上的力（自學(xué)）產(chǎn)生兩種效果：使質(zhì)心作加速運(yùn)動，使剛體產(chǎn)生角加速度。由此可判斷作用于剛體的力是滑移矢量。力偶和力偶矩。三、剛體平面運(yùn)動的動能按克尼希定理，質(zhì)點(diǎn)組的總動能Ek等于相對于質(zhì)心系的動

能，加上整體隨質(zhì)心平動的動能。相同的形式，叫作剛體對質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理。46[例題]如圖所示，將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩端水平地掛起來，其中一根繩子突然斷了，另一根繩內(nèi)的張力是多少？[解]設(shè)桿長為2l，質(zhì)心運(yùn)動定理和角動量定理給出繩斷的一剎那的運(yùn)動方程：式中轉(zhuǎn)動慣量。因在此

時(shí)刻懸繩未斷的一端的速度為0，從而在質(zhì)心的加速度和角加速度之間有[例題]如圖所示，將一根質(zhì)量為m的長桿用細(xì)繩從兩47如下關(guān)系：得繩中張力[例題]一質(zhì)量為m，長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，鉛直地放置在光滑的水平地面上。當(dāng)桿自靜止倒下時(shí)，求地面對桿端的支撐力。[解]由機(jī)械能守恒知，當(dāng)桿與鉛直線成角時(shí)，由于沒有摩擦力，質(zhì)心C鉛直下落?？疾旒?xì)桿著地點(diǎn)A的運(yùn)動。它的運(yùn)動可看成一方面隨質(zhì)心以速度vc下CNmg如下關(guān)系：得繩中張力[例題]一質(zhì)量為m，長為l48降，另一方面又以線速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。后者在鉛直方向上

的分量為，方向向上。實(shí)際上A點(diǎn)的運(yùn)動限制在水平

面上，鉛直速度為0，即上述兩個鉛直速度應(yīng)相互抵消。故有降，另一方面又以線速度繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。后者在鉛49A端受地面的支撐力為A端受地面的支撐力為50[例題]如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)圓柱在水平外力F的作用下沿水平面作純滾動，摩擦系數(shù)為。求圓柱的轉(zhuǎn)動角加速度、質(zhì)心的加速度和所受的桌面靜摩擦力。[解]設(shè)靜摩擦力的方向如圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動方程再由圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動定理又因純滾動以及[例題]如圖所示，質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)圓柱在水平51解得可見，若并且只有滿足時(shí)才能保持純滾動。解得可見，若并且只有滿足時(shí)才能保持純滾動。52§7剛體的平衡（自學(xué)）§8自轉(zhuǎn)與旋進(jìn)

前面我們討論的是剛體的定軸轉(zhuǎn)動和平面平行運(yùn)動。而剛體繞定點(diǎn)的運(yùn)動一般是非常復(fù)雜的，在這里我們只就典型例子作些簡單的分析。由于現(xiàn)在并不是繞固定軸的轉(zhuǎn)動，我們應(yīng)當(dāng)用轉(zhuǎn)動方程作為研究的起點(diǎn)，即一、常平架回轉(zhuǎn)儀（不受外力矩的回轉(zhuǎn)運(yùn)動）均質(zhì)剛體繞幾何對稱軸的轉(zhuǎn)動，稱自轉(zhuǎn)或自旋，其角動量質(zhì)點(diǎn)系對于參考點(diǎn)O的角動量隨時(shí)間的變化率等于各質(zhì)點(diǎn)所受外力對該點(diǎn)力矩的矢量和?！?剛體的平衡（自學(xué)）一、常平架回轉(zhuǎn)儀（不受外力矩的回53為。若絲毫不受外力矩作用，則角動量守恒不僅表現(xiàn)為轉(zhuǎn)動快慢不變，也表現(xiàn)為角速度方向不變。因角速度沿轉(zhuǎn)軸，故角動量守恒也表現(xiàn)于轉(zhuǎn)軸不變方向。常平架回轉(zhuǎn)儀利用了這一道理。若先使飛輪高速旋轉(zhuǎn)，由角動量守恒可知，飛輪將保持自轉(zhuǎn)軸的方向不變。即這時(shí)無論我們怎樣去改變框架的方向，都不能使飛輪的轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化，利用這一特性，可應(yīng)用在輪船，飛機(jī)或?qū)椛?，以回轉(zhuǎn)儀自轉(zhuǎn)軸線方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)，加上控制設(shè)備可以隨時(shí)糾正運(yùn)行方向可能發(fā)生的偏離。二、回轉(zhuǎn)儀的旋進(jìn)（受到外力矩作用所產(chǎn)生的效應(yīng)）

由一個厚而重、形狀對稱的剛體繞對稱軸高速自轉(zhuǎn)的裝置稱為回轉(zhuǎn)儀。玩具陀螺是一種簡單的回轉(zhuǎn)儀，下面解釋為什么高速旋轉(zhuǎn)的陀螺能夠立而不倒(或產(chǎn)生進(jìn)動的原因)？為。若絲毫不受外力矩作用，則角動量守恒不僅表現(xiàn)54如圖所示的玩具陀螺，如果陀螺不繞自身對稱軸旋轉(zhuǎn)，則它將在其自重力對支點(diǎn)O的力矩作用下翻倒，但是當(dāng)陀螺以很高的轉(zhuǎn)速繞自身對稱軸旋轉(zhuǎn)（自轉(zhuǎn)或自旋）時(shí)，盡管陀螺仍然受重力矩的作用，陀螺卻不會翻倒，而是在自轉(zhuǎn)的同時(shí)，其自轉(zhuǎn)軸又繞通過定點(diǎn)O的豎直軸沿著虛線所示的錐面緩慢轉(zhuǎn)動。這種剛體繞自身對稱