分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理2

第十單元排列組合與概率分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理一、選擇題1．4封不同的信投入三個不同的信箱中，所有投法的種數(shù)是()A．34 B．43 C．Aeq\o\al(3,4) D．Ceq\o\al(3,4)解析：第n封信有3種投法(n＝1,2,3,4)，根據(jù)分步計數(shù)原理4封不同的信投入三個不同的信箱共有3×3×3×3＝34種投法．答案：A2．4人去借三本不同的書(全部借完)，所有借法的種數(shù)是()A．34 B．43 C．Aeq\o\al(3,4) D．Ceq\o\al(3,4)解析：第n本書有4種借法(n＝1,2,3)，根據(jù)分步計數(shù)原理4人去借三本不同的書(全部借完)共有4×4×4＝43種借法．答案：B3．5名運動員爭奪三個項目的冠軍(不能并列)，所有可能的結(jié)果共有()A．35種 B．53種 C．Aeq\o\al(3,4)種 D．Ceq\o\al(3,4)種解析：第n個項目的冠軍可由5名運動員中的一人取得，共5種方法(n＝1,2,3)，根據(jù)分步計數(shù)原理，所有可能的結(jié)果共有5×5×5＝53(種)．答案：B4．5名應(yīng)屆畢業(yè)生報考三所高校，每人報且僅報一所院校，則不同的報名方法的種數(shù)是()A．35 B．53 C．Aeq\o\al(3,5) D．Ceq\o\al(3,5)解析：第n名應(yīng)屆畢業(yè)生報考的方法有3種(n＝1,2,3,4,5)，根據(jù)分步計數(shù)原理不同的報名方法共有3×3×3×3×3＝35(種)．答案：A二、填空題5．(2022·金華一中高三月考)將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)的形式隨機排列，設(shè)Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1＜N2＜N3的所有排列的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答)解析：由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二行的排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240.答案：2406．有8本書，其中有2本相同的數(shù)學書，3本相同的語文書，其余3本為不同的書籍，一人去借，且至少借一本的借法有________種．解析：數(shù)學書的本數(shù)可以是0,1,2三種；語文書的本數(shù)可以是0,1,2,3四種，其余3本書每本都有兩種取法，由分步計數(shù)原理共有3×4×2×2×2－1＝95種借法．答案：957．8名世界網(wǎng)球頂級選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐第3、4名，大師賽共有________場比賽．解析：小組賽共有2Ceq\o\al(2,4)場比賽；半決賽和決賽共有2＋2＝4場比賽；根據(jù)分類計數(shù)原理共有2Ceq\o\al(2,4)＋4＝16場比賽．答案：16三、解答題8．海島上信號站的值班員總用紅、黃、白三色各三面旗向附近海域出示旗語，在旗標上縱排掛，可以是一面、兩面、三面，那么這樣的旗語有多少種？解答：懸掛一面旗共有3種旗語；懸掛兩面旗共有3×3＝9種旗語；懸掛三面旗共有3×3×3＝27種旗語．由分類計數(shù)原理，共有3＋9＋27＝39種旗語．9．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是從A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？(2)若B中的元素0必無原象，這樣的f有多少個？(3)若f滿足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，這樣的f又有多少個？解答：(1)顯然對應(yīng)是一一對應(yīng)的，即為a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×1＝24(個)．(2)0必無原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法．所以不同的f共有34＝81(個)．(3)分為如下四類：第一類，A中每一元素都與1對應(yīng)，有1種方法；第二類，A中有兩個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)2，另一個元素與0對應(yīng)，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝12種方法；第三類，A中有兩個元素對應(yīng)2，另兩個元素對應(yīng)0，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝6種方法；第四類，A中有一個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)3，另兩個元素與0對應(yīng)，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＝12種方法．所以不同的f共有1＋12＋6＋12＝31(個)．10．如下圖所示，三組平行線分別有m、n、k條，在此圖形中(1)共有多少個三角形？(2)共有多少個平行四邊形？解答：(1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應(yīng)的，由分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個三角形．(2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應(yīng)的，由分類和分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成Ceq\o\al(2,m)Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(2,k)＋Ceq\o\al(2,k)Ceq\o\al(2,m)個平行四邊形．1．某體育彩票規(guī)定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元，某人想從01至10中選3個連續(xù)的號，從11至20中選2個連續(xù)的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特殊要求的號買全，至少要花()A．3360元 B．6720元 C．4320元 D．8640元解析：從01至10中選3個連續(xù)的號共有8種選法；從11至20中選2個連接的號共有9種選法；從21至30中選1個號有10種選法；從31至36中選一個號有6種選法，由分步計數(shù)原理共有8×9×10×6＝4320(注)，至少需花4320×2＝8640(元)．答案：D2．由n×n個邊長為1的小正方形拼成的正方形棋盤中，求由若干個小方格能拼成的所有正方形的數(shù)目．解答：如下