垂直于弦的直徑(一)

第六課時(shí)：垂徑定理1教學(xué)目標(biāo)使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性，掌握垂徑定理，并能應(yīng)用它解決有關(guān)的計(jì)算和證明激發(fā)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)問題的欲望，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納的能力；教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)垂徑定理及其應(yīng)用是重點(diǎn)；垂徑定理的證明是難點(diǎn).教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、從特殊到一般提出問題1.教師提問：什么叫弦?什么叫弧?首先根據(jù)學(xué)生的回答，用電腦或投影演示圖7-19，說(shuō)出圖中的弦和弧(優(yōu)弧、劣弧).進(jìn)一步觀察，圖中每一條弦把圓分成兩部分，是這條弦所對(duì)的兩條弧，并且電腦進(jìn)一步演示弦經(jīng)過(guò)圓心時(shí)，弦變成直徑，弧變成半圓的過(guò)程.(圖7-20)2.實(shí)驗(yàn)：引導(dǎo)學(xué)生親自動(dòng)手折疊課前準(zhǔn)備的圓心紙片，教師電腦演示一圓形沿著任一直線對(duì)折，兩側(cè)半圓的重合情況.(圖7-21)全體師生共同分析，得出圓的一條基本性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.3.從特殊到一般提出猜想.投影儀顯示兩條直徑相交到互相垂直的特殊情況，如圖7-22.學(xué)生觀察圖形特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形中的直徑都是互相平分的，即AO＝BO，CO＝DO，所不同的是圖（1)是斜交，圖(2)是垂直.由一名學(xué)生回答當(dāng)兩條直徑互相垂直時(shí)(圖2)，直徑CD的兩側(cè)相鄰的兩條弧是否相等.學(xué)生觀察回答：.接著再觀察，若把直徑AB向下平移，變成非直徑的弦如圖7-23時(shí)，直徑CD兩側(cè)相鄰的兩條弧是否還相等?學(xué)生通過(guò)觀察，猜想出上述結(jié)論依然成立，即.繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察，在圖7-23中，還有相等的關(guān)系嗎?請(qǐng)一名中等生答出AE＝BE.最后，教師再用電腦或投影演示圖7-22中沿著直徑CD折疊，這條特殊的直徑兩側(cè)的圖形重合的情況，進(jìn)一步觀察驗(yàn)證上述猜想，并給這條特殊的直徑命名——垂直于弦的直徑.(教師板書課題)二、證明猜想，形成垂徑定理1.猜想是否正確，要加以證明.啟發(fā)學(xué)生根據(jù)圖7-23，寫出已知，求證，分析證明思路，然后閱讀課本的證明過(guò)程.當(dāng)大部分學(xué)生看懂證明思路后，由學(xué)習(xí)較好的學(xué)生在黑板上寫出證明過(guò)程.結(jié)合證明過(guò)程提問：(1)課本上的證明利用了圓的什么性質(zhì)?(2)證明AE＝BE還有其它方法嗎?(3)證明，根據(jù)是什么?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師指出：(1)此命題的證明主要利用了圓的軸對(duì)稱性；證明AE＝BE還可利用等腰△OAB三線合一的性質(zhì)來(lái)證(圖7-24)；.是根據(jù)等弧的定義.教師將學(xué)生自己歸納的定理內(nèi)容寫在黑板的顯著位置上.指出這個(gè)定理叫做垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2.分析定理的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出定理的幾何語(yǔ)言表達(dá)形式(結(jié)合圖7-24)：3.運(yùn)用反例和變式圖形，揭示定理的本質(zhì)屬性.看下列圖形，能否使用垂徑定理?為什么?(圖7-25)學(xué)生回答后，教師強(qiáng)調(diào)：定理中的兩個(gè)條件缺一不可.三、應(yīng)用舉例，變式練習(xí)例1如圖7-26，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑.分析：由題設(shè)可作出OE⊥AB，垂足為E，要求⊙O的半徑，自然想到要連結(jié)OA(或OB).解：由學(xué)生口述解題方法和解題過(guò)程，教師板書.解后提出問題.(1)如圖7-26，若OA＝10厘米，OE＝6厘米，求弦AB的長(zhǎng).(2)如圖7-26，若圓心到弦的距離用d表示，半徑用R表示，弦長(zhǎng)用a表示，這三者之間有怎樣的關(guān)系式?第(1)個(gè)問題結(jié)合例1思考，學(xué)生較易得出結(jié)論.第(2)個(gè)問題有了前面兩問做鋪墊，啟發(fā)學(xué)生把垂徑定理和勾股定理合并考慮，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，于是得出：據(jù)此，在a,R,d三個(gè)量中，知道任何兩個(gè)量就可求出第三個(gè)量.變式1如圖7-27若以O(shè)為圓心再畫一個(gè)圓交弦AB于C，D，則AC與BD間可能存在什么關(guān)系?(投影顯示)引導(dǎo)學(xué)生作出判斷后再思考證法.估計(jì)學(xué)生會(huì)考慮到以下兩種證法，此時(shí)教師可有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論(圖7-28)最后通過(guò)比較擇優(yōu)，突出“過(guò)圓心作弦的垂線段”這條輔助線的重要性和應(yīng)用垂徑定理的優(yōu)越性.四、師生共同小結(jié)問：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容?學(xué)習(xí)了哪些基本觀點(diǎn)和方法?應(yīng)用垂徑定理要注意哪些問題?學(xué)生回答的基礎(chǔ)上教師歸納：1.投影打出垂徑定理的基本圖形.(圖7-34)然后指出，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了(1)圓的軸對(duì)稱性；(2)垂徑定理2.有關(guān)弦的問題，常常需要過(guò)圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線.圓心到弦的距離、半徑、弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，便將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.3.垂徑定理的證明，是