2022-2023學(xué)年貴州省遵義市高二年級下冊學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年貴州省遵義市高二下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出對應(yīng)點的坐標(biāo)，然后進行判斷即可．【詳解】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，位于第四象限，故選：．【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義求出點的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．2．?dāng)?shù)列的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】代入驗證可得.【詳解】A中不適合，B中不適合，C中不適合，D中，，都適合，故選：D.3．A，B，C，D四人并排站成一排，如果A與B相鄰，那么不同的排法共有（

）A．24種 B．12種 C．48種 D．36種【答案】B【分析】利用捆綁法進行求解.【詳解】先安排A，B，共有種方法；再把他們看作一整體，與其他人一起安排，共有種方法；所以不同的排法共有種.故選：B.4．已知，是平面內(nèi)兩單位向量，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．與都是單位向量【答案】C【分析】A選項，當(dāng)兩向量方向不同時，A錯誤；BD可舉出反例；C選項，可利用向量數(shù)量積公式計算出答案.【詳解】A選項，，是平面內(nèi)兩單位向量，可以方向不同，所以A錯誤；B選項，當(dāng)，方向相反時，，故B錯誤；C選項，，故，故C正確；D選項，當(dāng)，方向相同時，，D錯誤.故選：C5．在等差數(shù)列中，若，，則的公差為（

）A．2 B．－2 C．－4 D．4【答案】A【分析】利用等差數(shù)列通項公式基本量計算即可求得的公差.【詳解】等差數(shù)列中，若，，則的公差故選：A6．已知，，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】使用基本不等式求解即可【詳解】∵，，，∴由基本不等式有：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立.∴當(dāng)且僅當(dāng)，時，的最大值為.故選：B.7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用指對數(shù)的運算，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)即可判斷大小關(guān)系.【詳解】，，，∴，故選：D【點睛】本題考查了比較指對數(shù)的大小，應(yīng)用了指對數(shù)運算及性質(zhì)，屬于簡單題.8．橢圓上存在個不同的點，橢圓的右焦點為．?dāng)?shù)列是公差大于的等差數(shù)列，則的最大值是（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】利用橢圓定義表示出，根據(jù)橫坐標(biāo)范圍，求出的范圍，再利用等差數(shù)列通項公式，解不等式即可.【詳解】由題意，設(shè)的橫坐標(biāo)為，則由橢圓定義有：∴.∴的最大值為15.故選：B二、多選題9．已知的展開式的二項式系數(shù)和為128，則下列說法正確的是（

）A． B．展開式中各項系數(shù)的和為1C．展開式中第4項的系數(shù)為35 D．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第4項【答案】AB【分析】由展開式的二項式系數(shù)和為求出即可判斷A；令即可得到展開式各項系數(shù)和從而判斷B；利用展開式的通項判斷C；根據(jù)展開式中二項式系數(shù)的單調(diào)性可判斷D．.【詳解】對于A，因為的展開式的二項式系數(shù)和為，所以，則，故A正確；對于B，令，則，所以展開式中各項系數(shù)的和為1，故B正確；對于C，因為的展開式通項為，令可得第4項的系數(shù)為，故C不正確；對于D，因為第4項的二項式系數(shù)為，第5項的二項式系數(shù)，所以，又，所以展開式中第4項和第5項的二項式系數(shù)最大，故D錯誤.故選：AB.10．甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球.表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”.則下列結(jié)論正確的是（

）A．，為對立事件 B．C． D．【答案】ABC【分析】利用對立事件的定義判斷選項A正確；再利用概率計算得選項BC正確，選項D錯誤.【詳解】解：對于A，由于甲罐中只有紅球和白球，故A正確；對于B，當(dāng)發(fā)生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時B發(fā)生的概率為，故B正確；對于D，當(dāng)發(fā)生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時B發(fā)生的概率為，故，故D錯誤；對于C，，故C正確.故選：ABC.11．已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．圓上恰有1個點到直線的距離為1，則B．圓上恰有2個點到直線的距離為1，則C．圓上恰有3個點到直線的距離為1，則D．圓上恰有4個點到直線的距離為1，則【答案】ACD【分析】根據(jù)圓上點的個數(shù)到直線的距離為1，數(shù)形結(jié)合得到圓心到直線的距離或距離范圍，得到方程或不等式，求出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，A選項，要想圓上恰有1個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離為3，即，解得，A正確；B選項，要想圓上恰有2個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離大于1，小于3，即，解得，B錯誤；C選項，圓上恰有3個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離等于1，即，解得，C正確；D選項，圓上恰有4個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離小于1，即，解得，D正確.故選：ACD12．如圖，在棱長為1的正方體中，則（

）

A． B．三棱錐體積為C．點到平面的距離為 D．與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法解空間幾何體相關(guān)問題【詳解】以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則對選項A，，，所以與不垂直.選項A不正確；對選項B，設(shè)平面的一個法向量為，.則，令，則，即法向量.，在法向量上投影的絕對值即為點到平面的距離，點到平面的距離為是正方體的面對角線，是邊長為的正三角形，則選項B正確；對選項C，由選項B的解析過程知，選項C正確；對選項D，與平面所成角的正弦值等于與法向量所成角余弦值的絕對值.則選項D正確.故選:BCD

三、填空題13．若函數(shù)且的圖象恒過定點A，則A坐標(biāo)為______．【答案】【分析】令，函數(shù)值是一個定值，與參數(shù)a無關(guān)，即可得到定點.【詳解】令，則，，所以函數(shù)圖象恒過定點為.故答案為：14．的值為___________．【答案】/【分析】因為中，后者總是前者的兩倍，故可以倍角公式化簡．【詳解】，故答案為：．15．已知拋物線的焦點為，直線過與交于A，B兩點，過點A，B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則的大小為____.【答案】/【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用設(shè)而不求的方法求得，進而得到的大小.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，令，則，又，整理得，則，又，，則，則故答案為：四、雙空題16．如圖是由兩個有一個公共邊的正六邊形構(gòu)成的平面圖形，其中正六邊形邊長為1．設(shè)，則________；是平面圖形邊上的動點，則的取值范圍是________．【答案】1【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用相等向量的坐標(biāo)相等，列式求解；設(shè)，求出，通過直線平移即可求解的取值范圍.【詳解】建立以為原點，如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，連接，因為六邊形為正六邊形，所以，，作于，所以，，所以，，，所以，，設(shè)，，，所以，所以如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，其中，作直線，平移使之經(jīng)過多邊形內(nèi)每一個點，當(dāng)直線經(jīng)過線段時，取得最大值，當(dāng)當(dāng)直線經(jīng)過線段時，取得最小值.故答案為：；五、解答題17．若數(shù)列的通項公式為.(1)求，，，；(2)求數(shù)列的前2024項和.【答案】(1)，，，(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項公式，即可求解，，，的值；（2）由數(shù)列的通項公式，得到，進而求得的值.【詳解】（1）解：因為數(shù)列的通項公式為，所以，，，.（2）解：由，可得所以.18．2022年起，某省將實行“”高考模式，為讓學(xué)生適應(yīng)新高考的賦分模式，某校在一次校考中使用賦分制給高三年級學(xué)生的生物成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定、共五個等級，然后在相應(yīng)賦分區(qū)間內(nèi)利用轉(zhuǎn)換公式進行賦分，等級排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是；B等級排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是71－85：等級排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是56－70：等級排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是41－55；等級排名占比，賦分分?jǐn)?shù)區(qū)間是30-40；現(xiàn)從全年級的生物成績中隨機抽取100名學(xué)生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求圖中的值及這100名學(xué)生的原始成績的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留兩位小數(shù)）；(2)用樣本估計總體的方法，估計該校本次生物成績原始分至少多少分才能達到賦分后的等級及以上（含等級）？（第（2）問結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)，分(2)分【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得，結(jié)合中位數(shù)的計算方法，即可求解；（2）根據(jù)等級達到及以上所占排名等級占比為，結(jié)合中位數(shù)的含義，即可求解.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，解得，由頻率直方圖可判斷中位數(shù)落在第四組，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，故抽取的這100名學(xué)生的原始成績的中位數(shù)的估計值為分.（2）解：由已知等級達到及以上所占排名等級占比為，由（1）可得，中位數(shù)，故原始分不少于分才能達到賦分后的等級及以上.19．在中，，，.(1)求的外接圓的半徑；(2)已知點在線段上，在下述條件中任選一個，求的長.①是的角平分線；②是邊上的中線.【答案】(1)(2)選擇①，；選擇②，【分析】（1）先利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求出三角形外接圓的半徑，從而可求出的外接圓的面積；（2）若選擇①，可求出；若選擇②，對兩邊平方化簡可求出.【詳解】（1）由余弦定理得，即，所以，設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，，所以，所以外接圓的半徑為；（2）若選擇①，，同時，所以，所以；若選擇②，，兩邊平方得，所以.20．一個不透明的盒中放有形狀、大小均相同的黑球和白球，其中黑球4個，白球5個.(1)從盒中取出一個球，放回后再取出一個球，求兩球顏色恰好相同的概率；(2)從盒中每次取出一個球，取出后不放回，求第三次才取到白球的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）計算有放回的摸球，摸兩次所包含的基本事件的總數(shù)，然后再求出顏色不同包含的基本事件的個數(shù)，利用概率公式可求出結(jié)果；（2）第三次才取到白球，則前兩次都是摸到黑球，分別計算所包含的基本事件，然后求概率即可.【詳解】（1）從盒中取出一個球，放回后再取出一個球，基本事件總數(shù)，兩球顏色恰好相同包含的基本事件個數(shù)，所以兩球恰好顏色相同的概率；（2）取到第三次時才取到白球，則前兩次都是取到黑球，第三次取到白球.基本事件總數(shù)，包含的基本事件個數(shù)，所以第三次才取到白球的概率為.21．如圖，在三棱錐中，，，為中點．(1)證明：平面；(2)若點在棱上，，且，求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【分析】（1）證得和，然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）解：（1）證明：因為，且為中點，所以，因為，且為中點，所以，因為，且為中點，所以，因為，，，所以，所以，，所以平面.（2）解：因為，且為中點，所以，從而，，兩兩垂直，如圖，建立以為原點，以，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，設(shè)，由，即，可求得，所以，，不妨設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以，取平面的一個法向量為，所以，所以二面角的大小為．22．一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)做往復(fù)運動時，帶動繞轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）設(shè)動直線與兩定直線和分別交于兩點．若直線總與曲線有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在最小值8．【詳解】（Ⅰ）設(shè)點，，依題意，，且，所以，且即且由