四川省瀘州市瀘縣2023-2024學年高二上學期開學考試數(shù)學試題（含答案）

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數(shù)學試題

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

第I卷選擇題（60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1．已知向量，，若，則

A．B．C．D．2

2．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是

A．B．是減函數(shù)

C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)

3．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是

A．若，則B．若，則

C．若，則D．若，則

4．在中，為上一點，且，則

A．B．C．D．

5．已知，則

A．B．C．D．

6．已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為

A．B．C．D．

7．在直三棱柱中，，則直線與所成角的余弦值為

A．B．C．D．

8．中，，的對應(yīng)邊分別為，，，滿足，則角的范圍是

A．B．C．D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9．已知是虛數(shù)單位，復數(shù)，，則

A．任意，均有B．任意，均有

C．存在，使得D．存在，使得

10．函數(shù)的一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，下列結(jié)論正確的有

A．函數(shù)的解析式是

B．函數(shù)的最大值是

C．函數(shù)的最小正周期是

D．函數(shù)的一個對稱中心是

11．如圖，在長方體中，，M，N分別為棱，的中點，則下列說法正確的是

A．M，N，A，B四點共面

B．直線與平面相交

C．直線和所成的角為

D．平面和平面所成銳二面角的余弦值為

12．聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個音都是由純音合成的，純音的數(shù)學函數(shù)為，其中A影響音的響度和音長，影響音的頻率，響度與振幅有關(guān)，振幅越大，響度越大；音調(diào)與聲波的振動頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉．平時我們聽到的音樂都是由許多音構(gòu)成的復合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是．則下列說法正確的有

A．是偶函數(shù)；

B．的最小正周期可能為；

C．若聲音甲的函數(shù)近似為，則聲音甲的響度一定比純音的響度大；

D．若聲音乙的函數(shù)近似為，則聲音乙一定比純音低沉．

第II卷非選擇題

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．某中學高三年級人，高二年級人，高一年級人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級抽取人，則全?？偣渤槿∪耍?/p>

14．已知一扇形的圓心角為2，半徑為r，弧長為l，則的最小值為．

15．如圖，三棱錐中，平面平面BCD，是邊長為2的等邊三角形，，.若A，B，C，D四點在某個球面上，則該球體的表面積為.

16．在銳角中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則的最小值為．

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（10分）設(shè)A、B、C、D為平面內(nèi)的四點，且，，．

(1)若．求D點的坐標；

(2)設(shè)向量，，若向量與垂直，求實數(shù)k的值．

18．（12分）已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)增區(qū)間；

(2)當時，求的值域．

19．（12分）2023年4月21日，以“去南充，Lang起來”為主題的南充文旅（成都）推介會在成都寬窄巷子舉行．本次推介會圍繞“六百里秀美嘉陵江，兩千年人文南充城”展開，通過川北大木偶、川劇快閃等多個環(huán)節(jié)，展示了將帥故里、錦繡南充的文旅資源，同時還向成都市民和廣大游客推介了千年古城閬中游、將帥故里紅色游、山水風光覽勝游、親子行讀研學游和潮流江岸時尚游等五條精品旅游線路，為了解本次推介會的效果，隨機抽取了名觀眾進行有獎知識答題，現(xiàn)將答題者按年齡分成5組，第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若第一組有5人．

(1)求；

(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第四組和第五組中抽取6人，再從這6人隨機抽取2人作為幸運答題者，求這2人幸運答題者恰有1人來自第五組的概率．

20．（12分）在①；②的最小值為；③.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.在中，內(nèi)角，，的對邊為，，，且______.

(1)求；

(2)若是內(nèi)角平分線，交于，，，求的面積.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

21．（12分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中點.

(1)證明：平面；

(2)判斷直線CM與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)求二面角的余弦值.

22．（12分）設(shè)平面向量、的夾角為，．已知，，．

(1)求的解析式；

(2)若﹐證明：不等式在上恒成立．瀘縣2023-2024學年高二上學期開學考試

數(shù)學試題參考答案

1．B2．C3．D4．C5．D6．D7．B8．A

9．AD10．BCD11．BD12．CD

13．14．415．16．8

17．解：（1）設(shè)，因為，，，，

于是，整理得，

即有，解得，

所以點的坐標為，

（2）因為，

所以，，

因為向量與垂足，因此，解得，

所以實數(shù)k的值為.

18．解：（1）∵，

令，

∴，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）∵，∴，∴．

則，∴．

19．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖知：第一組的頻率為，

因此，.

（2）根據(jù)頻率分布直方圖知，第四組的人數(shù)為，

第五組的人數(shù)為，

根據(jù)分層抽樣可知：第四組應(yīng)抽取人，記這4人分別為，

第五組應(yīng)抽取人，記這2人分別為，

再從這6人隨機抽取2人，

則樣本空間為，

共計15個樣本點，事件“2位幸運答題者恰有1位來自第五組的”包含的樣本點為

，共計8個

由古典概型概率公式得：，

所以這2位幸運答題者恰有1位來自第五組的概率為.

20．解：（1）若選①，由可得，

，

可得，因為，所以，

且，所以.

若選②，，且其最小值為，

所以，即，，又因為，

所以.

若選③，由

可得，

所以，

即，所以，

因為，所以，又因為，所以.

（2）因為是角的平分線，且，

由，

所以，且，由余弦定理可得，

即，即，

所以，故.

21．解：（1）由底面ABCD，底面ABCD，則，

在直角梯形中，，則，

又，平面，所以平面；

（2）平面，證明如下：如右圖：

取PA中點E，連接ME，DE，由于M是PB的中點，故，且，

由，則，且，

從而四邊形是平行四邊形，故，

又平面，平面，所以平面；

（3）作，垂足為N，連接BN，如右圖：

在中，，又，所以≌，

可得，

則≌，故，故為所求二面角的平面角，

由（1）知平面，由平面，可得，

在中，，所以，

在等腰三角形中，，所以，

因為，在中，由余弦定理得，

所以二面角的余弦值為.

22．解：（1）因為，，，