2023年第64屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題答案詳解評析（IMO）

12023年IMO試題解答與評析2023年第64屆IMO于7月8-9號在日本千葉舉行.這是中國隊四年來第一次線下參賽.本次考試的時間為北京時間8:00-12:30,金牌分?jǐn)?shù)線為32本屆IMO試題漂亮，整體難度適中.其中1,2,4三題為基礎(chǔ)題，3,5為中檔題.6為難題.第一天整體難度不大，第3題較為耗時.第二天明顯難于第一天，其中第5題在解答過程的書寫上有一定難度.第6題是困難的幾何題，不僅敬請讀者不吝賜教.1.求所有滿足下述條件的合數(shù)n>1:如果n的所有正因子為di,這里1=d?<d?<…<dx=n,那么對每個1≤i≤k-2,均有d;整除di+1+di+2.2.在銳角三角形ABC中，AB<AC.設(shè)Ω為三角形ABC的外接圓.點S是Ω上包含點A的弧CB的中點.過點A作垂直于BC的直線與BS交于點D,與圓Ω交于另一點E≠A.過點D且平行于BC的直線與直線BE交于點L.記w為三角形BDL的外接圓.設(shè)w與Ω交于另一點P≠B.3.對每個整數(shù)k≥2,求所有滿足下述條件的無窮正整數(shù)序列a?,a?;…:存在一個多項式P(x)=x?+ck-1xk-1+…·+cjx+co,這里co,C1,…,Cx-1是 修訂日期：2023-08-06.25.設(shè)n是一個正整數(shù).日式三角是將1+2+…+n個圓排成正三角形的的忍者路徑.求最大的整數(shù)k(用n表示),使得在每個日式三角中都存在一條6.設(shè)ABC是一個正三角形.點A,B?,C?在三角形ABC的內(nèi)部，且滿足設(shè)直線BCI與CB?交于點A?,直線CA,與AC?交于點B?,直線AB?與BA?交于點C?證明：若三角形A?B?C?的三邊長度兩兩不等，則三角形AA?A?,BB?B?和CC?C?的外接圓都經(jīng)過兩個公共點.II.解答與評注山，這里1=d?<d?<…<dx=n.那么對每個1≤i≤k-2,均有d;整除d+1+dj+2.3證明設(shè)Ω的圓心為(,AO交2于另一點A',交BS于R,連接BP.4因此A'P//OT.又∠APA'=90°,故AP⊥OT.從而OT為AP的垂直平分評注本題是一道難度不大的幾何題，入手點比較寬，但很難想到特別簡單的方法.對所有整數(shù)n≥1成立.即滿足要求.5因此故6記Sn={an+i-an|1≤i≤k}為可重集，則Sn中每個元素均在集合故S,只有有限種取法.若Sn≠{dj,d?,…,dk},又an是非零多項式因此只有有限個m∈Z+滿足Sm≠{d,d?…,dx},從而存在N∈Z+,使得一切n>N均滿足Sn={d,d?,…,dx}.因此對一切n≥N.1≤i≤k有an+i=an+d.義設(shè)整數(shù)a滿足an=a+nd?對一切n≥N成立.下證：a,=a+nd,對一又P(x)在(0,+x)上單調(diào)遞增，故as=a+st,評注本題作為IMO)第三題過于簡單，k=2的特例就可以為證明提供許7y題5設(shè)n是一個正整數(shù).日式三角是將1+2+…+n個圓排成正三角形圓的忍者路徑，求最大的整數(shù)h(用n表示),使得在每個日式三角中都存在一8易知對任一忍者路徑，表A中的每一行至多有1個紅圓在該路徑上.因此每條忍者路徑至多有k個紅圓.故kx≤[log?n]+1.過A;的忍者路徑中，路徑的第1行至第(i-1)行紅圓個數(shù)的最大(假設(shè)包含2個元素A;,Ay.不妨設(shè)A;在前，則可通過調(diào)整該路徑在A;之則前(i-1)個集合呈條狀.每個這樣的集合均可被一條忍者路徑覆蓋.故9圖2日式三角被i個集合覆蓋現(xiàn)在記S中元素的最小下標(biāo)為id,則有n<i?<i?<…(規(guī)定和=1),故→t≥[log?n].t+1≥[log?n]+1.證明：若三角形A?B?C?的三邊長度兩兩不等，則三角形AA?A?,BB?B?同理A?、C1分別為△BA?C、△AC?B的外心.因此=540°-180°=360°.但從而，對⊙(A?B?A?B?),O(B?C?B?C?),⊙(C?A?C?A?)用根心定理知，A?A?、B?B?、C?C?三線共點.設(shè)所共點為P,則P到⊙(AAjA?),◎(BB?B?),由于P關(guān)于⊙(BB?B?)、⊙(CC?C?)等冪且在這兩圓內(nèi)部.故⊙(BB?B?),⊙(CC?C?)有兩個交點X,Y,對這兩個圓及◎(B?B?C)用根心定理，知垂線上，且為⊙(ABC?)、O(ACB?)的另一交點.而C?、B?分別為A關(guān)于