2023-2024學年北師大版必修第一冊 第一章　3-2　第1課時　基本不等式 課件（27張）

激趣誘思某金店有一臺天平,由于左右兩臂長略有不等,所以直接稱重不準確.有一個顧客要買一串金項鏈,店主分別把項鏈放于左右兩盤各稱一次,得到兩個不同的質(zhì)量a和b,然后就把兩次稱得的質(zhì)量的算術平均值

作為項鏈的質(zhì)量來計算價格.顧客對這個質(zhì)量的真實性提出了質(zhì)疑,他認為項鏈的質(zhì)量應該用

來計算.如果按金店的計算方式,顧客是吃虧了還是占便宜了呢?請在學習完本節(jié)內(nèi)容后給出你的判斷.知識點撥一、基本不等式

2.基本不等式可以表述為:兩個非負實數(shù)的算術平均值大于或等于它們的幾何平均值.3.基本不等式的幾何解釋:同一個半圓中,半徑大于或等于半弦.微拓展1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時,等號成立).這個不等式叫重要不等式.它成立的條件是a,b∈R.2.它的幾個常見變形式有:微練習

因為ab>0,a,b同號,所以a=b,即等號成立的條件是a=b.二、利用基本不等式求最值當x,y均為正數(shù)時,下面的命題均成立:名師點析

1.上述的結(jié)論也叫作最值定理.語言描述為:(1)兩個正數(shù)的和為常數(shù)時,它們的積有最大值;(2)兩個正數(shù)的積為常數(shù)時,它們的和有最小值.可簡記為“和定積最大,積定和最小”.2.應用上述結(jié)論時要注意以下三點:(1)各項或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.微練習已知x>0,y>0.(1)若xy=4,則x+y的最小值是

;

(2)若x+y=4,則xy的最大值是

.

解析(1)∵x>0,y>0,xy=4,∴xy≤4,當且僅當x=y=2時,等號成立,∴xy的最大值為4.答案(1)4

(2)4課堂篇探究學習探究一對基本不等式的理解例1下列說法正確的是(

)答案B要點筆記

應用基本不等式時要注意以下三點(1)各項或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.變式訓練

1下列結(jié)論不成立的是(

)A.若a,b∈R,則a10+b10≥2a5b5D.若a∈R,則有a2+9≥6a答案C探究二利用基本不等式證明不等式分析(1)不等式的左邊是和式,右邊是帶根號的積式之和,用基本不等式,將和變積,并證得不等式.(2)不等式右邊的數(shù)字為8,使我們聯(lián)想到對左邊因式分別使用基本不等式,可得三個“2”連乘;可由此變形入手.反思感悟

利用基本不等式證明不等式的注意事項(1)利用基本不等式證明不等式,關鍵是所證不等式中必須有和式或積式,通過將和式轉(zhuǎn)化為積式或?qū)⒎e式轉(zhuǎn)化為和式,從而達到放縮的目的.(2)注意多次運用基本不等式時等號能否取到.(3)解題時要注意技巧,當不能直接利用基本不等式時,可將原不等式進行組合、構(gòu)造,以滿足能使用基本不等式的形式.(4)在證明不等式的過程中,注意充分利用“1”的代換,即把常數(shù)1替換為已知的式子,然后經(jīng)過整理后再利用基本不等式進行證明.變式訓練

2(1)已知a,b,c,d都是正數(shù),求證:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.當且僅當ab=cd,且ac=bd時,等號成立.故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd.(2)由于a+b=2,探究三利用基本不等式求最值A.6 B.5 C.4 D.3(2)已知a>0,b>0,且ab=1,則a+4b的最小值為

.

答案(1)A

(2)4延伸探究例題第(2)問,改為“已知a>0,b>0,且a+4b=4”,求ab的最大值.素養(yǎng)形成一題多解——利用基本不等式求最值

解(方法一)已知條件從形式上認為是兩項之和,問題的類型是求最小值,所以根據(jù)基本不等式的結(jié)構(gòu)特點,需要尋找乘積是定值的條件.(方法二)用基本不等式求最值的題目很多是以雙變元條件下的最值的形式呈現(xiàn)的,采用消元將問題轉(zhuǎn)化為單變元問題.在此基礎上,或直接求最值,或換元法后求最值,都可以將難度有效降低.要點筆記

根據(jù)已知的條件形