第5講群和子群

1離散數(shù)學（二）群和子群群的定義11群的性質(zhì)和結構2主要內(nèi)容:群的性質(zhì)和結構重點:

群同態(tài)難點:重點和難點:子群及其判定定理3群同態(tài)4一、半群、獨異點和群群的定義：設<G,*>是代數(shù),若*滿足:(1)G關于*封閉；

(2)G上運算*可結合；

(3)G關于*存在么元e；

(4)G中每個元素關于*存在逆元,即對每一a∈G,

存在一個元素a-1,使a-1*a=a*a-1=e。

則稱代數(shù)系統(tǒng)<G,*>為群。<G,*>為半群<G,*>為獨異點<G,*>為群(2)G上運算*可結合：對所有的a,b,c∈G有，(a*b)*c=a*(b*c)一、半群、獨異點和群對群<G,*>，

(1)若運算*是可交換，則稱該群為可交換群,或稱阿貝爾群。(2)若G是無限集，則稱<G,*>為無限群

(infinitegroup)

若G是有限集，則稱<G,*>為有限群

(finitegroup)

有限群G的基數(shù)|G|稱為群的階數(shù)。例1(1)<I,+,0>是阿貝爾群，無限群

(2)代數(shù)<Nk,+k,0>是阿貝爾群,這里x-1=k-x。但代數(shù)<Nk,×k,1>不是群,因為0元素沒有逆元。二、群的性質(zhì)與結構定理1<G,*>是群,則對于任何a、b∈G,(a)存在唯一的元素x∈G,使得a*x=b。

(b)存在唯一的元素y∈G,使得y*a=b。證明：

(a)設么元e∈G,

存在性：取x=a-1*b,則

a*x＝a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b

唯一性：存在x1,x2∈G,使得a*x1=b，a*x2=b，那么

x1=e*x1=(a-1*a)*x1=a-1*(a*x1)=a-1*(a*x2)

=(a-1*a)*x2=e*x2=x2

(b)同理可證。方程解的唯一性定理二、群的性質(zhì)與結構定理2

如果<G,*>是一個群,則對于任何a、b、c∈G,(a)a*b=a*cb=c。(b)b*a=c*ab=c。證明：

因為群的每一元素都有逆元,a-1*(a*b)=a-1*(a*c)注意到：左邊=(a*a-1)*b=e*b=b

右邊=a-1*(a*c)=(a*a-1)*c=e*c=c本定理顯然成立。定理3

么元是群中唯一等冪元素。證明：如果x是等冪元素,則x*x=x。x*x=x=x*e,由定理2消去律知x=e，所以么元是群中唯一等冪元素。消去律二、群的性質(zhì)與結構定理4

設<G，

>為群，那么當G

{e}時,G無零元。證明：因當群的階為1(即G={e})時，它的唯一元素是視作么元e。設|G|>1且群有零元。那么群中任何元素x

G，都有x

=

x=

≠e，所以，零元

就不存在逆元，與<G，

>是群的假設矛盾(具體:群中的每一個元素存在逆元)。群中無零元二、群的性質(zhì)與結構定理5

群<G,*>的運算表中的每一行或每一列都是G中所有元素的一個置換。證明：i)證明運算表的行(或列)中無二相同的元素(反證法)。如果對應于元素a1∈G的那一行中有兩個元素相同,即a1i=a1j,由于a1i=a1*ai

a1j=a1*aj但根據(jù)定理2有ai=aj,事實上而ai≠aj,矛盾。

ii)

證G中每一元素都在運算表的每一行(每一列)中一定出現(xiàn)。考察對應于a的行,假設任意b∈Ｇ,必存在x∈Ｇ,使得a*x=b,因此b必出現(xiàn)在對應于a的行。可見:運算表中每一行都是G中所有元素的一個置換,并且每一行都是不同的置換。二、群的性質(zhì)與結構定理6

如果<G,*>是一個群,則對于任何a、b∈G,(a*b)-1=b-1*a-1證明：由于(a*b)*(a*b)-1=(a*b)-1*(a*b)=e和

(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e同理可得(b-1*a-1)*(a*b)=e

即(a*b)*(b-1*a-1)=(b-1*a-1)*(a*b)=e而逆元是唯一的,所以(a*b)-1=b-1*a-1。推論：二、群的性質(zhì)與結構由定理4可得出以下結論：一階群僅有一個，二階群僅有一個,三階群僅一個,五階群僅有一個，四階群僅有兩個，六階群僅有兩個。*eee*eaeaeaae*eabeabeababebea二、群的性質(zhì)與結構四階群僅有兩個：*eabceabceabcabcebceaceab*eabceabceabcaecbbceacbae二、群的性質(zhì)與結構五階群僅有一個<{e,a,b,c,d}

,*>：*eabcdeabcdeabcdabcdebcdeacdeabdeabc二、群的性質(zhì)與結構六階群有兩個<{e,a,b,c,d,f}

,*>：二、群的性質(zhì)與結構為了繼續(xù)介紹群的性質(zhì),我們首先定義群<G,*>的任意元素a的冪。如果n∈N,則由以上定義可知,對任意m、k∈I,am,ak都是有意義的,另外群中結合律成立,不難證明以下指數(shù)定律成立:二、群的性質(zhì)與結構群元素階的定義：

設<G,*>是一個群,且a∈G,如果存在正整數(shù)n使an=e,則稱元素的階是有限的,使an=e成立的最小的正整數(shù)n稱為元素a的階(元素a的周期)。a的階=min{n|n∈I?an=e}。如果不存在這樣的正整數(shù)n,則稱元素a具有無限階。例如：

(1)群<G，

>的么元e的階是1。

(2)

三階群僅一個:

<{e,a,b},*>

a1=a

a2=ba3=a1

a2=a

b

=ea6=(a3)2=(e)2=ea9=e3*eabeaBeababebea二、群的性質(zhì)與結構定理7

如果群<G,*>的元素a具有一個有限階n,則ak=e當且僅當k是n的倍數(shù)。證明：

充分性：

設k、m、n是整數(shù)。如果k=mn,則ak=amn=(an)m=em=e

必要性：

假定ak=e,且k=mn+t,0≤t＜n,于是at=ak-mn=ak*a-mn=e*(an)-m=e*e-m=e

由定義可知,n是使an=e的最小正整數(shù),而0≤t＜n,所以t=0,得k=mn。證畢。二、群的性質(zhì)與結構定理8

群中的任一元素和它的逆元具有同樣的階。定理9

群中的任一元素和它的逆元具有同樣的階。在有限群<G,*>中,每一個元素具有一有限階,且階數(shù)至多是|G|。證明：

設a是<G,*>中任一元素。在序列a,a2,a3,…,a|G|+1中至少有兩元素是相等的,不妨設ar=as,這里1≤s＜r≤|G|+1。因為e=a0=ar-r=ar*a-r=ar*a-s=ar-s

所以,a的階數(shù)至多是r-s≤|G|。證畢。三、子群及其判定定理子群的定義：設<G,*>是一個群,S是G的非空子集,并滿足以下條件:

(1)對任意a、b∈S有a*b∈S;

(2)對任意a∈S有a-1∈S;(3)e∈S,e是<G,*>的么元,則稱<S,*>是<G,*>的子群。子群一定是群，如<I,+>是<R,+>的子群。三、子群及其判定定理定理10

設<G,*>是個群,S?G,如果

(1)若a、b∈S,則a*b∈S；(2)若a∈S,則a-1∈S。那么<S,*>是<G,*>的子群。證明：對任意元素a∈S,由(2)得a-1∈S,再由(1)得a*a-1=e∈S。所以,<S,*>是<G,*>的子群。三、子群及其判定定理定理11

設<G,*>是一個有限群,如果對任意元素a、b∈S,有a*b∈S,那么<S,*>是<G,*>的子群。證明：設a是S的任一元素,則a∈G,根據(jù)定理9,a具有階數(shù)r,由于S對運算*的封閉性,所以a,a2,…,ar全在S中,特別的，

ar-1=ar*a-1=e*a-1=a-1也在S中,這就證明了若a∈S,則a-1∈S。根據(jù)定理10,得出<S,*>是<G,*>的子群。三、子群及其判定定理定理12設<G,*>是一個群,S是G的非空子集,如果對于S中的任意元素a,b有a*b-1∈S,則<S,*>是<G,*>的子群。證明：

(1)因為S非空，所以存在a∈S,有a*a-1=e∈S;(2)對任意a∈S,因為e∈S，所以a-1=e*a-1∈S;(3)對任意a,b∈S,因為b-1∈S,所以a*b=a*(b-1)-1∈S。四、群同態(tài)群同態(tài)的定義設<G,*>和<H,⊙>是兩個群,映射h:G→H稱為從<G,*>到<H,⊙>的、群同態(tài),如果對任意a、b∈G,有h(a*b)=h(a)⊙h(b)和代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)的定義6.3-2比較,可以看出群同態(tài)的定義中省去了兩條:h(eG)=eH,和h(a-1)=[h(a)]-1。這里eG和eH分別是<G,*>和<H,⊙>的么元。我們證明由于群的結構,條件(1)已蘊含了條件(2)和(3),省去是合理的。(1)h(eG)=h(eG*eG)=h(eG)⊙h(eG)，可見h(eG)是<H,⊙>中等冪元素,但群中只有么元是等冪的,所以h(eG)=eH。(2)h(a)⊙h(a-1)=h(a*a-1)=h(eG)=eH,h(a-1)⊙h(a)=h(a-1*a)=h(eG)=eH所以,h(a-1)=[h(a)]-1。四、群同態(tài)定理13

設h是從群<G,*>到群<H,⊙>的一個群同態(tài)映射，則<G,*>在h下的同態(tài)象<h(G),⊙>是<H,⊙>的子群。證明：(1)證明運算⊙在h(G)上是封閉的。任取x,y∈h(G),必存在a,b∈G,使得h(a)=x,h(b)=y,則有x⊙y=h(a)⊙h(b)=h(a*b)=h(c)∈h(G)和a*b=c∈G，(用到h是從群<G,*>到<H,⊙>的一個同態(tài))。所以⊙在h(G)上是封閉的。(2)證明<H,⊙>的么元eH∈h(G)。eH=h(eG)∈h(G)(因eG是<G,*>么元)(3)證明h(G)每個元素h(a)都有逆元。任取x∈h(G),必存在a∈G,使得h(a)=x。則x-1=[h(a)]-1=h(a-1)∈h(G)(因為G是群，故a-1∈G)(4)證明H的子集h(G)≠?，h(G)?G,eH=h(eG)∈h(G)≠?。綜上所述，可知<h(G),⊙>是<H,⊙>的子群。四、群同態(tài)設h是從群<G,*>到代數(shù)系統(tǒng)<H,⊙>的一個同態(tài)映射，則<G,*>在h下的同態(tài)象<h(G),⊙>是群,但是<H,⊙>可不一定是群。定理14設<G,*>是一個群,<H,⊙>是一代數(shù)系統(tǒng),如果存在滿射函數(shù)h:G→H,對任意a、b∈G,有h(a*b)=h(a)⊙h(b)，則<H,⊙>必是一個群。證明：(1)證明H關于運算⊙是封閉的。任取x,y∈h(G),必存在a,b∈G,使得h(a)=x,h(b)=y，則有x⊙y=h(a)⊙h(b)=h(a*b)=h(c)∈h(G)(因為c=a*b∈G)。(2)證明H上的運算⊙是可結合的。因為h:G→H是滿射，任取x,y,z∈h(G),必存在a,b,c∈G,使得h(a)=x,h(b)=y,h(c)=z,則只要證明x⊙(y⊙z)=(x⊙y)⊙z。

x⊙(y⊙z)=h(a)⊙(h(b)⊙h(c))=h(a)⊙(h(b*c))=h(a*(b*c))=h((a*b)*c)

=h(a*b)⊙h(c)=(h(a)⊙h(b))⊙h(c)=(x⊙y)⊙z四、群同態(tài)定理14證明(續(xù)):(3)證明<H,⊙>有幺元。

設h(eG)=eH，因為h:G→H是滿射，任取x∈H,則必存在a，使得h(a)=x,則有x⊙eH=h(a)⊙h(eG)=h(a*eG)=h(a)=x，同理可得eH⊙x=x，所以eH是<H,⊙>的幺元。(4)證明H中每個元素都有逆元。任取x∈H,必存在a∈G,使得h(a)=x。因為G是群，故a-1∈G,則h(a-1)∈h(G)。所以，x⊙h(a-1)=h(a)⊙h(a-1)=h(a*a-1)=h(eG)

h(a-1)⊙x=h(a-1)⊙h(a)=h(a-1*a)=h(eG)所以x∈H的逆元存在，且x-1=[h(a)]-1=h(a-1)。綜上所述，可知<H,⊙>是群。四、群同態(tài)

例2在〈N5,×5〉中,記。作映射h(［0］)=［1］

h(［1］)=［2］h(［2