江西省贛州市教育發(fā)展聯(lián)盟高三上學(xué)期第9次聯(lián)考（12月）數(shù)學(xué)（理）試卷

贛州市教育發(fā)展聯(lián)盟第9次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試卷（寧師中學(xué)、會(huì)昌三中、瑞金二中、瑞金三中、南康三中、興國(guó)中學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再結(jié)合集合的交集運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，，，所以故選：B2.若，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)的次方，找出相關(guān)規(guī)律，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，，，，所以，在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是位于第一象限.故選：A3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用正切函數(shù)值即可進(jìn)行判斷.【詳解】，，故選：A．4.已知向量，，若與共線且同向，則實(shí)數(shù)的值為（）A.2 B.4 C. D.或4【答案】C【解析】【分析】通過(guò)向量共線且同向，即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意，，，∵與共線且同向∴，解得或，當(dāng)時(shí)，與共線且反向，舍去，故選：C．5.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．對(duì)這類(lèi)高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱(chēng)為“垛積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）A.99 B.131 C.139 D.141【答案】D【解析】分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為，根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：由圖可得，則.故選：D6.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由題知，再根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，進(jìn)而解不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，解得，所以的取值范圍是，即的最大值為.故選：A7.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式解集等價(jià)于的解集，即可求解．【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，故為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，根據(jù)奇偶性可得在上單調(diào)遞增，故不等式的解集等價(jià)于的解集，即，故選：．8.已知函數(shù)的圖像在處的切線過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出切線方程，將代入即可求出參數(shù).【詳解】由，，，則函數(shù)在處的切線方程為，將代入切線方程可得.故選：B9.甲、乙兩名學(xué)生決定利用解三角形的相關(guān)知識(shí)估算一下友誼大廈的高度，甲同學(xué)在點(diǎn)A處測(cè)得友誼大廈頂端C的仰角是63.435°，隨后，他沿著某一方向直行m后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得友誼大廈頂端C的仰角為45°，乙同學(xué)站在友誼大廈底端的點(diǎn)D，測(cè)量發(fā)現(xiàn)甲同學(xué)在移動(dòng)的過(guò)程中，∠ADB恰好為60°，若甲、乙兩名同學(xué)始終在同一水平面上，則友誼大廈的高度大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.270m B.280m C.290m D.300m【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到，，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)友誼大廈的高度為，在直角中，，即；在直角中，，即，在中，根據(jù)余弦定理：，解得，故選：B10.已知，則的最大值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意令，然后代入所求的表達(dá)式，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解,【詳解】因?yàn)?，，令．所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，即的最大值為，故選：D．11.設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大值 D.數(shù)列無(wú)最大值【答案】B【解析】【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，進(jìn)而可判斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯(cuò)誤；對(duì)任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中最大值,故CD錯(cuò)誤故選：B.12.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性比較大小即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，，故?gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故選：A.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“，”的否定為_(kāi)_________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題，改量詞否定結(jié)論即可.【詳解】因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題，改量詞否定結(jié)論，故“，”的否定為“，”，故答案為：，14.設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則________．【答案】【解析】【分析】求出取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的通項(xiàng)公式，即可求出的值.【詳解】由題意，，在數(shù)列中，，當(dāng)或，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，；當(dāng)，時(shí)，，．∴，∴，故答案為：2023.15.六芒星，又稱(chēng)六角星，它由兩個(gè)全等的等邊三角形構(gòu)成，這兩個(gè)等邊三角形的中心重合，且三邊分別對(duì)應(yīng)平行，如圖，設(shè)，則__________.【答案】4【解析】【分析】利用向量的線性表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，，?故答案為：16.已知函數(shù)，其中，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，討論，與時(shí)，的圖像與的的圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，即可得到答案.【詳解】如圖，，則的圖像如上，明顯地，與不可能有交點(diǎn)，故時(shí)不符題意；如圖，，則的圖像如上，明顯地，與有三個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，必有，解得，而時(shí)，明顯不符題意；故答案為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近期投放市場(chǎng).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)（單位：元）與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表.上市時(shí)間/天2632市場(chǎng)價(jià)/元1486073（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從①，②，③中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系（無(wú)需說(shuō)明理由），并求出該函數(shù)的解析式；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià).【答案】（1），（2）當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚48元.【解析】【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)的關(guān)系可選③來(lái)描述每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系，而根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得關(guān)于參數(shù)的方程組，求出其解后可得函數(shù)解析式.（2）利用基本不等式可求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià).【小問(wèn)1詳解】每枚紀(jì)念章的最低市場(chǎng)價(jià)不是關(guān)于上市時(shí)間的單調(diào)函數(shù)，故選.分別把，代入，得解得，，∴，.此時(shí)該函數(shù)的圖象恰經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，且.故當(dāng)該紀(jì)念章上市12天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚48元.18.已知是定義在上的奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)奇偶性和單調(diào)性即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，所以．此時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，，故．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，任取，則，因?yàn)椋瑒t，所以所以是上的增函數(shù)．由恒成立，得恒成立，則，所以恒成立，因?yàn)?，所以．?shí)數(shù)的取值范圍為：．19.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn).【答案】（1）（2）零點(diǎn)為0與.【解析】【分析】（1）由圖象可得，，即，再代入點(diǎn)即得解；（2）先通過(guò)圖象變換得到，再令可得答案.【小問(wèn)1詳解】由圖象可得，，則，即，∴，由圖象得，即，∴，，則，，又，∴，故；【小問(wèn)2詳解】將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函，∴，令，則或，解得，，或，，又，∴或，即函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)為0與.20.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為,．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理角化邊即可求解;(2)根據(jù)弦化切將原等式變?yōu)?，角化邊即可得到，再結(jié)合可得，，利用余弦定理即可求解【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?結(jié)合余弦定理，得，即，所以．【小問(wèn)2詳解】由，即，即即，又，所以，，所以.21.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求證：（?。唬áⅲ敬鸢浮浚?），（2）（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列方程，解得，即可得到，利用時(shí)，，得到數(shù)列為等比數(shù)列，然后求即可；（2）利用放縮的方法得到，然后用錯(cuò)位相減的方法求和，得到，即可證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得，∴；由①可得，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，②①②相減得，，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，又，∴．（ⅱ）由（?。┑慕Y(jié)論可知，設(shè)，則，兩式相減得，，∴，故．22.已知函數(shù)，．（1）研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若對(duì)于，恒有，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后對(duì)的范