數(shù)學(xué)物理方法-8

數(shù)學(xué)物理方法理學(xué)院馮國峰數(shù)學(xué)物理方法1、基本方程的推導(dǎo)及基本概念2、分離變量法3、行波法與積分變換法4、貝塞爾函數(shù)5、勒讓德多項(xiàng)式6、格林函數(shù)法緒論常微分方程只能描述質(zhì)點(diǎn)唯一隨時(shí)間的變化而發(fā)生改變的規(guī)律。含有某未知多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏微分方程。表示物理量在空間或時(shí)間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程。

緒論數(shù)學(xué)物理方程的基本任務(wù)：數(shù)學(xué)物理方程是以物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問題為研究對(duì)象的，其基本任務(wù)有以下兩個(gè)方面：（1）建立描繪某類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并提供這些問題的求解方法；（2）通過理論分析，研究客觀問題變化發(fā)展的一般規(guī)律。緒論數(shù)學(xué)物理方程的定解問題：泛定方程：表達(dá)某類物理現(xiàn)象共同規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式——偏微分方程。定解條件：伴隨一個(gè)完整的物理過程發(fā)生的具體條件，一般包括初始條件與邊界條件。泛定方程+定解條件=數(shù)學(xué)物理方程的定解問題緒論數(shù)學(xué)物理方程的顯著特點(diǎn)：（1）它廣泛地運(yùn)用數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的成果。自然現(xiàn)象是復(fù)雜的、多樣的，數(shù)學(xué)物理方程中所研究的問題也是復(fù)雜的、多樣的，所以要應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)工具來解決性質(zhì)不同的問題。（2）數(shù)學(xué)物理方程源于工程實(shí)際問題，自然現(xiàn)象本身所蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律，對(duì)人們尋求解決問題的思路有著重要的啟迪。數(shù)學(xué)物理方程中的許多重要求解方法，都可以在自然現(xiàn)象中找到它們的來源。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念數(shù)學(xué)物理方程中的三個(gè)典型方程：弦振動(dòng)方程雙曲型方程熱傳導(dǎo)方程拋物型方程拉普拉斯方程橢圓型方程第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念（1）弦的微小橫振動(dòng)方程

[問題]設(shè)有一根理想化的細(xì)弦，其橫截面的直徑與弦的長度相比非常小，設(shè)其線密度為，長度為，平衡時(shí)沿直線拉緊，除受不隨時(shí)間而變的張力作用及弦本身的重力外，不受外力的影響。研究弦作微小橫向振動(dòng)的規(guī)律。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念模型的分析：弦是一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)，是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)組（是連續(xù)的而非離散的質(zhì)點(diǎn)組，進(jìn)一步說它是一個(gè)一維的連續(xù)系統(tǒng)），所以它的運(yùn)動(dòng)應(yīng)符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，對(duì)它的簡化假設(shè)如下：設(shè)弦在未受擾動(dòng)時(shí)平衡位置是x軸，兩端分別固定在及處，而其上各點(diǎn)均以該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念模型的簡化：（1）弦是橫向振動(dòng)的，在時(shí)刻t，弦的形狀是曲線。（2）弦的振動(dòng)是微小振動(dòng)。即，從而可以忽略不計(jì)。（3）弦是“柔軟”的，整個(gè)弦總是可以任意變形，并無內(nèi)力抵抗。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念受力分析：水平方向（x軸）：豎直方向（u軸）：第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念應(yīng)用模型假設(shè)得到的結(jié)論：應(yīng)用牛頓（Newton）第二定律，得到：第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念最后的結(jié)論：進(jìn)一步假設(shè)：令自由橫振動(dòng)方程：

第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念若在振動(dòng)過程中，還有弦上還受到一個(gè)與振動(dòng)方向平行的外力，其方向垂直于x軸，設(shè)在t時(shí)刻，弦的外力密度為，強(qiáng)迫橫振動(dòng)方程：第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念一維：二維：三維：自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念（二）在固體中的熱傳導(dǎo)方程如果空間某物體G內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)，這種現(xiàn)象就叫做熱傳導(dǎo)。由于熱量的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和點(diǎn)的位置的不同而變化，因此解決熱傳導(dǎo)問題的實(shí)質(zhì)是求物體內(nèi)部溫度的分布。我們用表示物體G內(nèi)一點(diǎn)在t時(shí)刻的溫度，來研究在熱傳導(dǎo)過程中，溫度函數(shù)所滿足的偏微分方程。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念取包含點(diǎn)的一個(gè)小區(qū)域，討論這個(gè)小區(qū)域內(nèi)的熱平衡，然后在設(shè)法過渡到點(diǎn)。設(shè)這個(gè)小區(qū)域的表面為閉曲面，體積為V。設(shè)物體G的密度為比熱容為，則溫度變化為第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念所需熱量為傅里葉（Fourier）實(shí)驗(yàn)定律：稱為物體在點(diǎn)的導(dǎo)熱系數(shù)。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念通過小區(qū)域表面流入小區(qū)域的熱量為利用高斯（Gauss）公式化為三重積分，第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念如果所考慮的物體內(nèi)部沒有熱源，由熱量守恒可得：非均勻的各向同性體的熱傳導(dǎo)方程：第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念若物體是均勻的，即為常數(shù)，則或這里稱為拉普拉斯算子。此方程稱為熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）。第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念

如果在物體內(nèi)部還有熱源，則需要一個(gè)物體內(nèi)部的熱源函數(shù)來標(biāo)志其強(qiáng)度。用函數(shù)表示熱源的密度（單位時(shí)間單位體積中所產(chǎn)生的熱量），第1章典型方程的推導(dǎo)及基本概念（三）拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程三維拉普拉斯方程或調(diào)和方程：三維泊松（Poisson）方程：第1章典型方程的推導(dǎo)及