導(dǎo)數(shù)與微分的matlab求解

第7章

導(dǎo)數(shù)與微分的MATLAB求解編者Outline7.1導(dǎo)數(shù)概念7.2導(dǎo)數(shù)的MATLAB符號(hào)求解7.3函數(shù)的微分7.4微分中值定理7.5洛必達(dá)法則7.6泰勒公式7.7函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性7.8函數(shù)的極值與最值7.9曲線的漸近線7.10曲率7.11方程的近似解7.12導(dǎo)數(shù)的數(shù)值求解7.1導(dǎo)數(shù)概念1.導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量

在

處取得增量

（假設(shè)點(diǎn)

仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)取得增量

；如果

與

之比當(dāng)

時(shí)的極限存在，則稱函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)，記為，即也可記作

或

。

將上面導(dǎo)數(shù)的定義式中的

換為

即可得到導(dǎo)函數(shù)的定義式

根據(jù)函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)

的定義，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)極限，而極限存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等，因此

存在即

在點(diǎn)

處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右極限

及

都存在且相等。這兩個(gè)極限分別稱為函數(shù)

在點(diǎn)

處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記作

及

，即

現(xiàn)在可以說(shuō)，函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)

和右導(dǎo)數(shù)

都存在且相等。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)

在幾何上表示曲線

在點(diǎn)

處的切線的斜率，即

其中

是切線的傾角。

如果函數(shù)

在點(diǎn)

處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大，這時(shí)曲線

的割線以垂直于

軸的直線

為極限位置，即曲線

在點(diǎn)

處具有垂直于

軸的切線

。7.2導(dǎo)數(shù)的MATLAB符號(hào)求解1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)MATLAB符號(hào)工具箱中提供了函數(shù)diff來(lái)求取一般函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及高階導(dǎo)數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下：D=diff(fx,x,n)運(yùn)行結(jié)果如圖所示。

圖函數(shù)導(dǎo)數(shù)的圖形直觀表示2.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

方程

表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)自變量

在

內(nèi)取值時(shí)，變量

有確定的值與之對(duì)應(yīng)。例如，當(dāng)

時(shí)，

；當(dāng)

時(shí)，

，等等，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù)。

一般的，如果變量

和

滿足一個(gè)方程

，在一定條件下，當(dāng)

取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)的總有滿足這方程的唯一的

值存在，那么就說(shuō)方程

在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。

隱函數(shù)求導(dǎo)的一般采用如下步驟：方程兩邊同時(shí)對(duì)

求導(dǎo)，這里應(yīng)注意

；整理求得

的表達(dá)式，即為隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

若已知參數(shù)方程

，則

可以由如下遞推公式求出：7.3函數(shù)的微分微分的定義

設(shè)函數(shù)

在某區(qū)間內(nèi)有定義，

及

在該區(qū)間內(nèi)，如果增量可表示為

其中

是不依賴于

的常數(shù)，那么稱函數(shù)

在點(diǎn)

是可微的，而

叫做函數(shù)

在點(diǎn)

相應(yīng)于自變量增量

的微分，記作

，即

下面討論函數(shù)可微的條件。設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

可微，則由

兩邊同時(shí)除以

，得

于是，當(dāng)

時(shí)，由上式就可得到

因此，如果函數(shù)

在點(diǎn)

可微，則

在點(diǎn)

也一定可導(dǎo)（即

存在），且

反之，如果

在點(diǎn)

可導(dǎo)，即

存在，根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系，上式可寫成

其中

，由此又有

因

，且

不依賴于

，故

所以函數(shù)

在點(diǎn)

也是可微的。

通常把自變量

的增量

稱為自變量的微分，記作

，即

。于是，函數(shù)

的微分又可記作

從而有

，這就是說(shuō)，函數(shù)的微分

與自變量的微分

之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”。2.微分的幾何意義

在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)

的圖形是一條曲線。對(duì)于某一固定的

值，曲線上有一個(gè)確定點(diǎn)

，當(dāng)自變量

有微小增量

時(shí)，就得到曲線上另一點(diǎn)

，由圖可知：

過(guò)點(diǎn)

作曲線的切線

，它的傾角為

，則

即

。

微分的幾何意義7.4微分中值定理1.羅爾定理

為更好地理解羅爾定理，先介紹費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域

內(nèi)有定義，并且在

處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的

，有那么

。

介紹羅爾定理，如果函數(shù)

滿足：在閉區(qū)間

上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即

。那么在

內(nèi)至少有一點(diǎn)

，使得

。羅爾定理的直觀演示如圖所示。

圖

羅爾定理圖形直觀表示

2.拉格朗日中值定理

羅爾定理中

這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制。如果把

這個(gè)條件取消，但仍保留其余兩個(gè)條件，并相應(yīng)的改變結(jié)論，那么就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理。

如果函數(shù)

滿足：在閉區(qū)間

上連續(xù)；在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)；那么在

內(nèi)至少有一點(diǎn)

，使得

成立。

關(guān)于拉格朗日中值定理的證明此處從略，這里僅介紹該定理的幾何意義，如圖所示。由于上式可以改寫為且

為弦

的斜率，而

為曲線在點(diǎn)

處的切線的斜率。因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線

的弧

上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于

軸的切線，那么該弧上至少有一點(diǎn)

，使曲線在

點(diǎn)處的切線平行于弦

。而且易知，羅爾定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情形。

拉格朗日中值定理圖形直觀表示3.柯西中值定理

前面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線弧

上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么這段弧上至少有一點(diǎn)

，使曲線在點(diǎn)

處的切線平行于弦

。設(shè)

由參數(shù)方程表示，如圖所示。其中

為參數(shù)，那么曲線上點(diǎn)

處的切線的斜率為弦

的斜率為

假定點(diǎn)

對(duì)應(yīng)于參數(shù)

，那么曲線上點(diǎn)

處的切線平行于弦

，可表示為

柯西中值定理圖形直觀表示7.5洛必達(dá)法則1.型洛必達(dá)法則如果當(dāng)

時(shí)，兩個(gè)函數(shù)

與

都區(qū)域零或趨于無(wú)窮大，那么極限可能存在，也可能不存在。通常把這種極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)記為

或

。關(guān)于未定式極限我們通常使用洛必達(dá)法（L'Hospital）則求解，本小節(jié)先介紹

和

時(shí)的

型未定式的求解方法。這里不加證明的給出如下兩個(gè)定理：設(shè)函數(shù)

與

滿足：當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

與

都趨于無(wú)窮大；在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)，

與

都存在且

；

存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么2.型洛必達(dá)法則

下面我們著重介紹

型的洛必達(dá)法則，事實(shí)上，這種形式的洛必達(dá)法則在實(shí)際中用的

較多，而且

型也可以由

型變換得到，關(guān)于該種類型的洛必達(dá)法則同樣有以下兩個(gè)定理：

設(shè)函數(shù)

與

滿足：當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

與

都趨于零；在點(diǎn)

的某去心鄰域內(nèi)，

與

都存在且

；

存在（或?yàn)闊o(wú)窮大），那么7.6泰勒公式

泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)

在含有

的某個(gè)開(kāi)區(qū)間

內(nèi)具有直到

階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一

，有

其中這里

是

與

之間的某個(gè)值。

多項(xiàng)式

稱為函數(shù)

按

的冪展開(kāi)的

次泰勒多項(xiàng)式，上述公式稱為

按

的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的

階泰勒公式，而

稱為拉格朗日型余項(xiàng)。7.7函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判定法

設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，在

上任取兩點(diǎn)

，應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到由于

，因此，如果在

內(nèi)導(dǎo)數(shù)

保持正號(hào)，即

，那么也有

。于是

即表明函數(shù)

在

上單調(diào)增加。同理，如果在

內(nèi)導(dǎo)數(shù)

保持負(fù)號(hào)，即

，那么也有

。于是

，即

，表明函數(shù)

在

上單調(diào)減少。

歸納以上討論，即得以下定理：設(shè)函數(shù)

在

上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，如果在

內(nèi)

，那么函數(shù)

在

上單調(diào)增加；如果在

內(nèi)

，那么函數(shù)

在

上單調(diào)減少。2.曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

我們從幾何上可以看到，在有的曲線弧上，如果任取兩點(diǎn)，則聯(lián)結(jié)這兩點(diǎn)間的弦總位于這兩點(diǎn)間的弧段的上方，而有的曲線弧，則正好相反。曲線的這種性質(zhì)就是曲線的凹凸性。因此曲線的凹凸性可以用聯(lián)結(jié)曲線弧上任意兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)與曲線弧上相應(yīng)點(diǎn)（即具有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)）的位置關(guān)系來(lái)描述，下面給出曲線凹凸性的定義。

設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù)，如果對(duì)

上任意兩點(diǎn)

，恒有那么稱

在

上的圖形是（向上）凹的（或凹?。?；如果恒有那么稱

在

上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?。

如果函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定曲線的凹凸性，這就是下面的曲線凹凸性的判定定理。這里僅就

為閉區(qū)間的情形來(lái)敘述曲線凹凸性的判定定理，當(dāng)

不是閉區(qū)間時(shí)，定理類同。

設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù)，在

內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么若在

內(nèi)

，則

在

上的圖形是凹的；若在

內(nèi)

，則

在

上的圖形是凸的。

一般的，設(shè)

在區(qū)間

上連續(xù)，

是

的內(nèi)點(diǎn)，如果曲線

在經(jīng)過(guò)點(diǎn)

時(shí)，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(diǎn)

為曲線的拐點(diǎn)。7.8函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值及其求法

設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

的某鄰域

內(nèi)有定義，如果對(duì)于去心鄰域

內(nèi)的任一

，有那么就稱

是函數(shù)

的一個(gè)極大值（或極小值）。

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)。下面給出可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件：必要條件：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且在

處取得極值，那么

。第一充分條件：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)，且在

的某去心鄰域

內(nèi)可導(dǎo)，若

時(shí)，

，而在

時(shí)，

，則

在點(diǎn)

處取得極大值；若

時(shí)，

，而在

時(shí)，

，則

在點(diǎn)

處取得極小值；若

時(shí)，

的符號(hào)保持不變，則

在

處沒(méi)有極值。

第二充分條件：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處具有二階導(dǎo)數(shù)，且

，

，那么當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

在

處取得極大值；當(dāng)

時(shí)，函數(shù)

在

處取得極小值。2.最大值最小值問(wèn)題

在求函數(shù)的最大值（或最小值）時(shí)，特別值得指出的是下述情：

在一個(gè)區(qū)間（有限或無(wú)限、開(kāi)或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，并且這個(gè)駐點(diǎn)

是函數(shù)

的極值點(diǎn)，那么，當(dāng)

是極大值時(shí)，

就是

在該區(qū)間上的最大值；當(dāng)

是極小值時(shí)，

就是

在該區(qū)間上的最小值。7.9曲線的漸近線

如果存在直線

，使得當(dāng)

時(shí)，曲線

上的動(dòng)點(diǎn)

到直線

的距離

，則稱

為曲線

的漸近線。

漸近線通常有以下三種：水平漸近線：如果函數(shù)

的定義域是無(wú)限區(qū)間，且

，其中

為常數(shù)，則直線

為曲線

的水平漸近線；垂直漸近線：如果存在常數(shù)

，使得

，則稱直線

為曲線

的垂直漸近線；斜漸近線：如果

成立，則稱

是曲線

的斜漸近線，可以證明：

7.10曲率1.弧微分

函數(shù)

在區(qū)間

內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。在曲線

上取固定點(diǎn)

作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)（如圖所示），并規(guī)定依

增大的方向作為曲線的正向。對(duì)曲線上任一點(diǎn)

，規(guī)定有向弧段

的值

（簡(jiǎn)稱為弧

）如下：

的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度，當(dāng)有向弧段

的方向與曲線的正向一致時(shí)

，相反時(shí)

。顯然，弧

與

存在函數(shù)關(guān)系

，而且

為

的單調(diào)增加函數(shù)。而且我們可以求得

這就是弧微分公式。

圖

弧微分求解示意圖2.曲