第6講矩陣的初等變換與初等矩陣

第六講矩陣的初等變換與初等矩陣§3.1

矩陣的初等變換§3.2

初等矩陣第一節(jié)矩陣的初等變換

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬椒浅Ｖ匾淖饔?。引例：用消元法解下面的線性方程組

在上述過程中，對線性方程組的消元操作實際上就是對整個線性方程組進行了三種操作:(1)對某一方程兩邊同時乘以不為零的常數(shù)；(2)交換方程組中兩個方程的位置；(3)給某一方程乘以常數(shù)k加到另一個方程上去。上述的三種操作又都是可逆的，因而變換前的方程組與變換后的方程組是同解方程組。同時還看到，上述變換過程中實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，這就相當(dāng)于是對該方程組所對應(yīng)的增廣矩陣進行了：(1)給某一行所有元素都乘以一個非零常數(shù)；(2)交換兩行元素的位置；(3)給某一行所有元素乘常數(shù)k加到另一行的對應(yīng)元素上去。把定義中和“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用記號是把“r”換成“c”）。矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。定義：下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：1)交換兩行(記為ri?rj);2)以數(shù)k

0乘某一行所有元素（記作rj×k）;3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去（記作ri+krj）顯然，三種初等變換都是可逆的，且其變換是同一類型的初等變換。變換ri?rj的逆變換就是本身；變換rj×k的逆變換為rj×(1/k)；變換ri+krj的逆變換為ri+(－krj)

。如果A經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊，稱矩陣A與B是等價的，記為A～B。矩陣的等價關(guān)系有如下性質(zhì)：反身性：A～A

對稱性：A～B，則B～A傳遞性：A～B，B～C，則A～C

在數(shù)學(xué)上，我們把滿足上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱之為等價。由前面的引例可以看出，同時也不難證明對矩陣進行行的初等變換，可以把矩陣化為行階梯矩陣，進而可以化為行最簡矩陣。對行最簡矩陣再施以列的初等變換，行最簡矩陣可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱它為矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的特點是：其左上角是一單位矩陣，其余元素全是零。可以證明，任何一個m×n階矩陣A，都可以經(jīng)過初等變化化為標(biāo)準(zhǔn)形F。此標(biāo)準(zhǔn)形由m、n、r三個數(shù)完全確定，其中r就是行階梯矩陣中非零行的行數(shù)，所有與A等價的矩陣組成了一個集合，這個集合稱為一個等價類，標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中形狀最簡單的矩陣。例1.用初等行變換化矩陣為行階梯形矩陣.例2.用初等行變換把矩陣化成行最簡形矩陣。第二節(jié)初等矩陣定義：由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。三種初等變換所對應(yīng)的三個初等矩陣為設(shè)矩陣Am×n，Em(i,j)，En(i,j)，Em(i(k))，En(i(k))，Em(ij(k))，En(ij(k))，則可以驗證：定理1.設(shè)A是一個m×n階矩陣，對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于對A左乘以相應(yīng)的m