高中數(shù)學(xué)第7章隨機(jī)變量及其分布7.4.1二項(xiàng)分布7.4.2超幾何分布課件新人教版選修3

7.4.1二項(xiàng)分布7.4.2超幾何分布課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.通過(guò)具體實(shí)例了解伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征.2.通過(guò)具體實(shí)例,了解超幾何分布及其均值.3.能用二項(xiàng)分布和超幾何分布解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4.通過(guò)學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知1.n重伯努利試驗(yàn)(1)伯努利試驗(yàn)我們把只包含

兩個(gè)

可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).

(2)n重伯努利試驗(yàn)我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為

n重伯努利試驗(yàn)

.

n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征①同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次.(注:“重復(fù)”意味著各次試驗(yàn)成功的概率相同)②各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.微思考1n重伯努利試驗(yàn)定義中“重復(fù)”的含義是什么?在相同條件下,有放回地抽樣試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn)嗎?提示:“重復(fù)”意味著各次試驗(yàn)成功的概率相同.在相同條件下,有放回地抽樣試驗(yàn)是n重伯努利試驗(yàn),其滿足n重伯努利試驗(yàn)的特征.2.二項(xiàng)分布(1)一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

pk(1-p)n-k

,k=0,1,2,…,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

X~B(n,p)

.(2)如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).微思考2二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有什么關(guān)系?提示:(1)兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)次數(shù)只有一次,試驗(yàn)結(jié)果只有兩種:事件A發(fā)生(X=1)或不發(fā)生(X=0).二項(xiàng)分布是指在n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)X的分布列,試驗(yàn)次數(shù)為n次(每次試驗(yàn)的結(jié)果也只有兩種:事件A發(fā)生或不發(fā)生).試驗(yàn)結(jié)果有(n+1)種:事件A恰好發(fā)生0次,1次,2次,…,n次.(2)二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式,兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布,即n=1的二項(xiàng)分布.3.超幾何分布一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.4.服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布,則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中,不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令注:對(duì)于不放回抽樣,當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí),每抽取一次后,對(duì)N的影響很小,此時(shí),超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.微思考3不放回抽取和有放回抽取有何不同?提示:抽取次數(shù)不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n個(gè),有放回抽取要抽取n次,每次抽取一個(gè);概率模型不同,不放回抽取服從超幾何分布,有放回抽取服從二項(xiàng)分布.課堂·重難突破一

n重伯努利試驗(yàn)的概率問(wèn)題典例剖析1.現(xiàn)有4人去參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子(六點(diǎn))決定自己去參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4人中恰有2人去參加甲游戲的概率;(2)求這4人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率.(2)設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A3∪A4.由于A3與A4互斥,規(guī)律總結(jié)n重伯努利試驗(yàn)概率求法的步驟(1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是不是n重伯努利試驗(yàn).(2)分拆:判斷所求事件是否需要分拆.(3)計(jì)算:就每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率公式求解,最后利用互斥事件的概率加法公式計(jì)算.學(xué)以致用1.已知某人每次投籃投中的概率為,計(jì)劃投中3次則結(jié)束投籃,則此人恰好在第五次結(jié)束投籃的概率是

.

二

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用典例剖析2.核酸檢測(cè)是診斷是否確診為某病毒感染的重要依據(jù),首先取病人的唾液或咽拭子的樣本,再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì),若有病毒,樣本檢測(cè)會(huì)呈現(xiàn)陽(yáng)性,否則為陰性.多個(gè)樣本檢測(cè)時(shí),既可以逐個(gè)化驗(yàn),也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn).混合樣本中只要有病毒,則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會(huì)呈陽(yáng)性.若混合樣本呈陽(yáng)性,則將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn);若混合樣本呈陰性,則該組各個(gè)樣本均為陰性.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為

.現(xiàn)用兩種方案對(duì)4例疑似病例進(jìn)行核酸檢測(cè).(1)方案一:4例逐個(gè)化驗(yàn),設(shè)檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性的人數(shù)為X,求X的分布列;(2)方案二:4例平均分成兩組化驗(yàn),設(shè)需要檢測(cè)的次數(shù)為Y,求Y的分布列.規(guī)律總結(jié)二項(xiàng)分布實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的解題思路(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量.(2)分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布.(3)找到參數(shù)n(試驗(yàn)的次數(shù))和p(事件發(fā)生的概率).(4)寫出二項(xiàng)分布的分布列.互動(dòng)探究(變問(wèn)法)問(wèn):例題兩種方案哪一種效率更高?學(xué)以致用

2.某商場(chǎng)為刺激消費(fèi),擬按以下方案進(jìn)行促銷:顧客每消費(fèi)500元便得到抽獎(jiǎng)券一張,每張抽獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率為,若中獎(jiǎng),商場(chǎng)返還顧客現(xiàn)金100元.某顧客現(xiàn)購(gòu)買一部?jī)r(jià)格為2300元的手機(jī),得到抽獎(jiǎng)券四張.每次抽獎(jiǎng)互不影響.(1)設(shè)該顧客抽獎(jiǎng)后中獎(jiǎng)的抽獎(jiǎng)券張數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列;(2)設(shè)該顧客購(gòu)買手機(jī)的實(shí)際支出為Y(單位:元),用X表示Y,并求隨機(jī)變量Y的均值.解:(1)因?yàn)槊繌埅?jiǎng)券是否中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的,又由題意可知Y=2

300-100X,所以E(Y)=E(2

300-100X)=2

300-100E(X)=2

300-100×2=2

100.即所求隨機(jī)變量Y的均值為2

100.三

二項(xiàng)分布的均值與方差典例剖析答案:D(2)某學(xué)校實(shí)行自主招生,參加自主招生的學(xué)生從8個(gè)試題中隨機(jī)挑選出4個(gè)進(jìn)行作答,至少答對(duì)3個(gè)才能通過(guò)初試.已知某同學(xué)能答對(duì)每個(gè)試題的概率為,若答對(duì)一題得5分,答錯(cuò)或不答得0分.記答對(duì)題的個(gè)數(shù)為X,答題的得分為Y,求Y的分布列及均值和方差.規(guī)律總結(jié)解決此類問(wèn)題第一步是判斷隨機(jī)變量X服從什么分布,第二步代入相應(yīng)的公式求解.若X服從兩點(diǎn)分布,則D(X)=p(1-p);若X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),則D(X)=np(1-p).學(xué)以致用答案:(1)C

(2)D四

超幾何分布的應(yīng)用典例剖析4.在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中,假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張,可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品,有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張,每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品,其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品.(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張,求中獎(jiǎng)張數(shù)X的分布列;(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張,①求中獎(jiǎng)張數(shù)X的分布列;②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值為Y元,求Y的分布列.解:(1)抽獎(jiǎng)一次,只有中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種情況,故X的取值只有0和1兩種情況.(2)①由題意可知,10張獎(jiǎng)券中4張有獎(jiǎng),6張沒(méi)有獎(jiǎng),任意抽取2張,已知中獎(jiǎng)張數(shù)為X,則X服從超幾何分布,且N=10,M=4,n=2,X的分布列為②Y的所有可能取值為0,10,20,50,60,且

規(guī)律總結(jié)求超幾何分布的分布列的步驟第一步:驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布,并確定參數(shù)N,M,n的值;第二步:根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率;第三步:用表格的形式列出分布列.學(xué)以致用4.端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中隨機(jī)取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與均值.解:(1)設(shè)A表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”.(2)由題意知,X的所有可能值為0,1,2,且X服從超幾何分布,其中N=10,M=2,n=3,則隨堂訓(xùn)練1.接種疫苗是預(yù)防和控制傳染病最經(jīng)濟(jì)、有效的公共衛(wèi)生干預(yù)措施.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),人在接種某種病毒疫苗后,80%不會(huì)感染這種病毒,若有4人接種了這種疫苗,則最多1人被感染的概率為(

)答案:A解析:由題意可得1-0.8=0.2,設(shè)感染這種病毒的人數(shù)為X,則隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(4,0.2),2.一盒中有12個(gè)乒乓球,其中9個(gè)新的,3個(gè)舊的,從盒中任取3個(gè)球使用,用完后裝回盒中(新球使用后為舊球),此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量,則P(X=4)的值為(

)答案:C解析:X=4表示取出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)舊球1個(gè)新球,答案:B4.種植某種樹(shù)苗,成活率為0.9,若種植這種樹(shù)苗5棵,則恰好成活4棵的概率約為(

)A.0.33 B.0.066 C.0.5

D.0.45答案:A解析:設(shè)A=“樹(shù)苗成活”,則P(A)=0.9.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(5,0.9).恰好成活4棵等價(jià)于X=4,于是P(X=4)=0.94×0.1≈0.33.答案:ABD解析:設(shè)此射手射擊4次命中次數(shù)為X,每次命中的概率為p,則X~B(4,p).答案:C7.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,則p等于(

)答案:A8.某10人組成興趣小組,其中有5名女生,從這10人中任選4人參加某種活動(dòng),用X表示4人中的女生人數(shù),則P(X=3)=

.9.某單位有6名工作人員,他們相互獨(dú)立借助互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)展工作,已知在某一時(shí)段每人上網(wǎng)的概率都