遼寧省遼東十一所重點(diǎn)高中聯(lián)合教研體高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)答案

遼東十一所重點(diǎn)高中聯(lián)合教研體2024屆高三第一次摸底考試數(shù)學(xué)本試卷共22題.全卷滿分120分.考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無(wú)效.3．填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.底面半徑為3，表面積為的圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，進(jìn)而結(jié)合表面積得，進(jìn)而得圓錐的高，再計(jì)算體積即可.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的底面半徑為3，表面積為所以，解得，所以圓錐的高為，所以，圓錐的體積為.故選：A2.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要條件、充分條件的概念判斷即可.【詳解】解：由題意，由可得，反之，，即，故，所以“”是“”的充要條件.故選：B3.已知，則（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得出等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，所以，，所以，所以，，解得，當(dāng)時(shí)，則，可得；當(dāng)時(shí)，則，可得.綜上所述，.故選：B.4.非空集合，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得，解不等式即可得答案.【詳解】解：由題知，因?yàn)?，所以，所以，故令函?shù)，所以，如圖，結(jié)合二次函數(shù)的圖像性質(zhì)與零點(diǎn)的存在性定理得：，即，解得，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A5.已知是橢圓的長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上異于長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與直線的交點(diǎn)所形成的軌跡為（）A.雙曲線 B.拋物線C.橢圓 D.兩條互相垂直的直線【答案】A【解析】【分析】由題意設(shè)出點(diǎn)，坐標(biāo)，然后求出直線與直線的方程，根據(jù)直線方程的特點(diǎn)，兩方程相乘，從而得到點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而得解.【詳解】由于是橢圓的長(zhǎng)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，所以，設(shè)，則，所以直線的方程為①，直線的方程為②，①②得，又因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以，即，即直線與直線的交點(diǎn)在雙曲線上.故選：A.6.方程的非負(fù)整數(shù)解的組的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個(gè)完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.【詳解】依題意，可知為非負(fù)整數(shù)，因?yàn)椋?，從而將?wèn)題轉(zhuǎn)化為：將排成一列的14個(gè)完全相同的小球分成部分，一共有13個(gè)間隔，利用4個(gè)隔板插入即可，故共有種.故選：A7.已知空間向量?jī)蓛蓨A角均為，且.若向量滿足，則的最小值是（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，取一個(gè)三棱錐，用其棱表示對(duì)應(yīng)的向量，結(jié)合題中所給的條件，將相應(yīng)的邊長(zhǎng)求出，之后應(yīng)用空間向量運(yùn)算法則，表示出對(duì)應(yīng)的結(jié)果，從而判斷出取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，求值即可.【詳解】取一三棱錐，，且，，所以，，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，又由同理可知在以為直徑的球上，球半徑為，設(shè)球心為，球心距，所以兩球相交，即點(diǎn)與點(diǎn)可以重合，又，所以.故選：C.8.已知，試比較的大小關(guān)系（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三個(gè)指數(shù)的底數(shù)的形式，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其大小，再根據(jù)三個(gè)數(shù)的形式構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)取對(duì)數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，最后利用單調(diào)性判斷即可.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以有，因?yàn)?，所以，設(shè)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，故，即，所以，故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)所給指數(shù)的底數(shù)和指數(shù)的形式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，選錯(cuò)得0分.9.大連市教育局為了解二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三所學(xué)校學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量，采用樣本比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)容量為120的樣本.其中，從二十四中學(xué)抽取容量為35的樣本，平均數(shù)為4，方差為9；從第八中學(xué)抽取容量為40的樣本，平均數(shù)為7，方差為15；從育明中學(xué)抽取容量為45的樣本，平均數(shù)為8，方差為21，據(jù)此估計(jì)，三所學(xué)校的學(xué)生文學(xué)經(jīng)典名著的年閱讀量的（）A.均值為 B.均值為C.方差為 D.方差為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)樣本的均值公式和方差公式列式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)二十四中學(xué)、第八中學(xué)、育明中學(xué)三組數(shù)據(jù)中每個(gè)人的數(shù)據(jù)分別為,,，均值，方差，故選：BD10.已知數(shù)列滿足.給出以下兩個(gè)命題：命題對(duì)任意，都有；命題，使得對(duì)成立.（）A.真 B.假 C.真 D.假【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于命題，利用數(shù)學(xué)歸納法和作差法可判斷，對(duì)于命題，利用反證法進(jìn)行分析判斷.【詳解】對(duì)于命題，先利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，，不等式成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即，則，所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立，綜上，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以命題為真命題，對(duì)于命題，假設(shè)存在，使得對(duì)，由已知可得，得，所以，所以，所以，所以，由基本不等式推廣可得，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，這與相矛盾，所以命題為假命題，故選：AD11.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，再由可判斷A；舉反例可判斷B；當(dāng)是第三象限角時(shí)由可判斷C；當(dāng)時(shí)利用為單調(diào)遞增函數(shù)，對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)稱矛盾可判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，則，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)顯然不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)是第三象限角時(shí)，則，所以，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，若，則，這與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于A選項(xiàng)，關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解題，考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.12.直角中是斜邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)（）A.B.C.直線與的夾角余弦值為D.四面體的外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直二面角的性質(zhì)，得到垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)、平面向量加法的幾何意義、空間兩點(diǎn)距離公式、夾角公式，球的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，交于延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)交于于點(diǎn)，作，使得，由二面角直二面角，可知，設(shè)，則有，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，，在圖1中，，所以為的平分線，于是有，所以，，由上可知：兩兩互相垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確；，因?yàn)?，所以直線與的夾角余弦值為，因此選項(xiàng)C不正確；設(shè)四面體的外接球的球心為，顯然有，所以有，，，由，解得，四面體的外接球的半徑為，四面體的外接球的表面積為，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)二面角的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用球的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝________.【答案】2【解析】【分析】由條件利用兩角和的正切公式求得要求式子的值．【詳解】(1＋tan15°)(1＋tan30°)＝tan30°==2故答案為2【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14.已知，則的取值范圍是______（精確）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】，，所以，故答案為：15.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】，然后兩次利用通項(xiàng)公式求解即可；【詳解】因?yàn)?，設(shè)其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，得的通項(xiàng)公式為，令，所以的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，故答案為：16.已知在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且，延長(zhǎng)至，使得為與橢圓的交點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到橢圓上、直線的斜率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)檠娱L(zhǎng)至，使得，所以，設(shè)，因?yàn)闉榕c橢圓的交點(diǎn)，所以設(shè)，因此有，即，因?yàn)樵跈E圓上，所以，化簡(jiǎn)，得，因?yàn)樵跈E圓上運(yùn)動(dòng)，所以，因?yàn)?，所以，于是有，即，故答案為?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用三點(diǎn)共線的性質(zhì)得到的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上的性質(zhì)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，關(guān)于x的方程有三個(gè)不等的實(shí)根，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，令，則，得出函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，三種情況討論，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，由，可得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，可得，令，則，令，其圖象恒過(guò)和兩點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，由（1）知有唯一根，不合題意；②當(dāng)時(shí)，可得的圖象開(kāi)口向上，，方程存在兩根，且，此時(shí)有（舍），故，則方程只有一個(gè)根，不合題意；③當(dāng)時(shí)，可得的圖象開(kāi)口向下，，方程存在兩根，且，若要滿足題意，則，，此時(shí)方程有一個(gè)根，有兩個(gè)不相等的根，則有，解得，綜上所述，a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)的圖象求解方程的根的個(gè)數(shù)或研究不等式問(wèn)題的策略：1、利用函數(shù)的圖象研究方程的根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本性質(zhì)有關(guān)時(shí)，可以通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)研究方程的根，方程的根就是函數(shù)與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程的根據(jù)就是函數(shù)和圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；2、利用函數(shù)研究不等式：當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.3、本題中合理利用三角函數(shù)的基本關(guān)系，進(jìn)行換元構(gòu)造二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)和正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.18.三棱柱中，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明平面，即得，從而得到.（2）根據(jù)求兩平面法向量即可求得二面角余弦值.【小問(wèn)1詳解】如圖所示：作中點(diǎn)，連接，，是等邊三角形，又，滿足，即有，而，所以，，平面，平面，而平面，所以，又因?yàn)橹悬c(diǎn)，所以.【小問(wèn)2詳解】若，則，易知，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，以過(guò)點(diǎn)豎直向上的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，在中，，所以，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，所以，同理可得：平面的法向量，則.因?yàn)樗蠖娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.19.在數(shù)列中，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）將數(shù)列的遞推公式變形，再結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）由（1）得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用變形，放縮法，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和，即可證明.【小問(wèn)1詳解】由，得，由，得，則，所以，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列【小問(wèn)2詳解】由（1）得，則，所以，所以．所以20.大連市是國(guó)內(nèi)知名足球城市，足球氛圍濃厚.在2022年第22屆卡塔爾足球世界杯階段，大連二十四中的同學(xué)們對(duì)世界杯某一分組內(nèi)的四支球隊(duì)進(jìn)行出線情況分析.已知世界杯小組賽規(guī)則如下：小組內(nèi)四支球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)（每只球隊(duì)均與另外三只球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽）；每場(chǎng)比賽勝者積3分，負(fù)者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設(shè)組內(nèi)四支球隊(duì)?wèi)?zhàn)勝或者負(fù)于對(duì)手的概率均為，出現(xiàn)平局的概率為．（1）求某一只球隊(duì)在參加兩場(chǎng)比賽后積分的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）小組賽結(jié)束后，求四支球隊(duì)積分相同的概率．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）球隊(duì)參加兩場(chǎng)比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，分別求出隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望；（2）求出6場(chǎng)比賽都出現(xiàn)平局的概率以及每支球隊(duì)3場(chǎng)比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)的概率，再求和即可.【小問(wèn)1詳解】球隊(duì)參加兩場(chǎng)比賽后積分的取值為0，1，2，3，4，6，則，，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：012346隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：.【小問(wèn)2詳解】由于小組賽共打6場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽兩個(gè)球隊(duì)共積2分或者3分；6場(chǎng)比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分共7種情況，要使四支球隊(duì)積分相同，則總積分被4整除，所以每只球隊(duì)總積分為3分或者4分.若每支球隊(duì)得3分：則6場(chǎng)比賽都出現(xiàn)平局，其概率為：；若每支球隊(duì)得4分：則每支球隊(duì)3場(chǎng)比賽結(jié)果均為1勝1平1負(fù)，其概率為：﹒所以四支球隊(duì)積分相同的概率為.21.已知雙曲線C：的離心率為，A，B分別是C的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)在C上，點(diǎn)，直線AD，BD與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線PQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)及在雙曲上列式求解即可；（2）分別設(shè)出直線與的方程，進(jìn)而求得坐標(biāo)，根據(jù)斜率是否存在分情況寫(xiě)出直線的方程，再證明過(guò)定點(diǎn)即可．【小問(wèn)1詳解】解：由題意得，，，∵點(diǎn)在C上，，，解得，，∴雙曲線方程為．【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，，直線AD的方程為，設(shè)，，將直線AD的方程與C的方程聯(lián)立