“江淮十校”2023屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

“江淮十?！?024屆高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

“江淮十?！?024屆高三第一次聯(lián)考

理科數(shù)學(xué)2024.8

第Ⅰ卷（共60分）

一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合{}

1,2,3,4

A=，()

{}

2

log41

Bxx

=-?，則AB=

I()

A．{}

1,2B．{}

2,3C．{}

1,2,3D．{}

1,2,3,4

2.若復(fù)數(shù)z滿意()34

izi

+=(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為()

A．3i+B．3i-C．13i

+D．13i

-

3.如圖是某年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若大正方形的面積是13，每個(gè)直角三角形的兩直角邊的和是5，在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是()

A．

12

13

B．

10

13

C．

1

13

D．

3

13

4.已知數(shù)列{}na是等差數(shù)列，3813

aa

+=，且

4

5

a=，則

7

a=()

A．11B．10C.9D．8

5.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體體積是()

A．2

2

p

+B．2

3

p

+

C.4

3

p

+D．4

2

p

+

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若將推斷框內(nèi)“100

S>”改為關(guān)于n的

不等式“

nn

≥”且要求輸出的結(jié)果不變，則正整數(shù)

n的取值是()

A．4B．5C.6D．不唯一

7.設(shè)變量,xy滿意約束條件

3

1

23

xy

xy

xy

+≥

?

?

-≥-

?

?-≤

?

，則

1

xy

z

x

++

=的取值范圍是()

A．2,4

B．52,2??????C.5,42??????D．3,32??

????

8.已知函數(shù)()()()sin20fxx?π?=+->的左、右焦點(diǎn)分別為1F，2F，P為雙曲線上一點(diǎn)，且

120PFPF?=uuuruuuur

，12FPF△的內(nèi)切圓半徑2ra=，則雙曲線的離心率為．

16.對于數(shù)列{}na，定義11222nn

naaaHn

-+++=…為{}na的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列{}na的

“優(yōu)值”為12nnH+=，記數(shù)列{}nakn-的前n項(xiàng)和為nS，若5nSS≤對任意的()

*nnN∈恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.在ABC△中，已知22sincos212

AB

C++=，外接圓半徑2R=.(1)求角C；

(2)求ABC△面積的最大值.

18.如圖所示的幾何體中，111ABCABC-為三棱柱，且1AA⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，2ADCD=，60ADC=∠°.(1)若1AAAC=，求證：1AC⊥平面11ABCD；(2)若2CD=，二面角1ACDC--的余弦值為5

，求三棱錐11CACD-的體積.

19.方案在某水庫建一座至多安裝2臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上，其中，不足100的年份有40年，不低于100的年份有10年.將年入流量在以上兩段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求將來4年中，至多1年的年入流量不低于100的概率；

(2)水電站盼望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量X的限制，并有如下關(guān)系：

某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？

20.橢圓()2222:10xyCabab

+=>>的左右焦點(diǎn)分別為1F，2F，離心率為1

2，設(shè)過點(diǎn)2F的直線l

被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)lx⊥軸時(shí)，3RS=.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)()4,0T，證明：當(dāng)直線l變化時(shí)，總有TS與TR的斜率之和為定值.

21.已知函數(shù)()()21

ln12fxxaxax=-+-，aR∈.

(1)爭論()fx的單調(diào)性；

(2)當(dāng)2a=-時(shí)，正實(shí)數(shù)12,xx滿意()()12120fxfxxx++=，證明：121

4xx+>.

22.已知直線l的參數(shù)方程為33112

xtyt

?=-????=+??(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半

軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos6πρθ?

?=-??

?.

(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若(),Pxy是直線l與圓面4cos6πρθ?

?≤-??

?的公共點(diǎn)，求3xym=+的取值范圍.

23.已知函數(shù)()211fxxx=-++.(1)解不等式()4f