2016-2017學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)大串講（新人教A版必修2）專題01 立體幾何初步Word版含解析

一立體幾何初步【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】第一章空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖專題一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．多面體的結(jié)構(gòu)特征2．旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線【典例1】給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．【答案】②③④【思維升華】(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析．【遷移訓(xùn)練1】(1)以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；③圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；④一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)給出下列四個(gè)命題：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的圖形是直棱柱；②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體；④底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱．其中不正確的命題為________．【答案】(1)B(2)①②③專題二簡(jiǎn)單幾何體的三視圖1、三視圖的名稱幾何體的三視圖包括：正視圖、側(cè)視圖、俯視圖．2、三視圖的畫法①在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成虛線．②三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察到的幾何體的正投影圖．【典例2】【2016·合肥質(zhì)檢】某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．12＋4eq\r(2) B．18＋8eq\r(2)C．28 D．20＋8eq\r(2)【答案】D【遷移訓(xùn)練2】【2016·全國(guó)3卷】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81【答案】B【解析】由題意知，幾何體為平行六面體，邊長(zhǎng)分別為3,3，eq\r(45)，幾何體的表面積S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq\r(45)×2＝54＋18eq\r(5).專題三空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸；平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．【典例3】如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四邊形【遷移訓(xùn)練3】如圖是水平放置的某個(gè)三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)且A′D′∥y′軸，A′B′，A′D′，A′C′三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中的線段AB，AD，AC，那么()A．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ACB．最長(zhǎng)的是AC，最短的是ABC．最長(zhǎng)的是AB，最短的是ADD．最長(zhǎng)的是AD，最短的是AC【答案】C第二章空間幾何體的表面積與體積專題一求空間幾何體的表面積1．多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l【典例1】(2015·安微)一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)【答案】B【遷移訓(xùn)練1】(2016·大連模擬)如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________．【答案】26專題二求空間幾何體的體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【典例2】(2016·三門峽陜州中學(xué)對(duì)抗賽)如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，且PO＝OB＝1.則三棱錐P－ABC體積的最大值為________．【答案】eq\f(1,3)【解析】VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC，當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，三棱錐P－ABC體積達(dá)到最大值．當(dāng)CO⊥AB時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為eq\f(1,2)×2×1＝1，此時(shí)VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3).【遷移訓(xùn)練2】正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(\r(3),2)專題三與球有關(guān)的切、接問題【典例3】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)【答案】C【解析】如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\f(5,2)2＋62)＝eq\f(13,2).【遷移訓(xùn)練3】正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上．若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,4)B．16πC．9πD.eq\f(27π,4)【答案】A第三章空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系專題一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．【典例1】如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E、C、D1、F四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)．【思維升華】公理1是判斷一條直線是否在某個(gè)平面的依據(jù)；公理3及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)；公理2是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)．【遷移訓(xùn)練1】如圖，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G、H分別為FA、FD的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點(diǎn)是否共面？為什么？專題二判斷空間兩直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行直線,相交直線)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)))【典例2】(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是________．①l與l1，l2都不相交；②l與l1，l2都相交；③l至多與l1，l2中的一條相交；④l至少與l1，l2中的一條相交．(2)圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________．(填上所有正確答案的序號(hào))【答案】(1)④(2)④【解析】(1)若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連結(jié)MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G、M、N共面，但H?面GMN，因此GH與MN異面．所以圖②④中GH與MN異面．【思維升華】空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決．【遷移訓(xùn)練2】如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．【答案】②③④專題三求兩條異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).【典例3】(1)如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為___________________________________．【答案】60°(2)空間四邊形ABCD中，AB＝CD且AB與CD所成的角為30°，E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大?。窘馕觥咳鐖D，取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則E∥Geq\f(1,2)AB，F(xiàn)G綊eq\f(1,2)CD，由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的補(bǔ)角)為EF與AB所成的角，∠EGF(或它的補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．∵AB與CD所成的角為30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG為等腰三角形，當(dāng)∠EGF＝30°時(shí)，∠GEF＝75°；當(dāng)∠EGF＝150°時(shí)，∠GEF＝15°.故EF與AB所成的角為15°或75°.【思維升華】(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．【遷移訓(xùn)練3】已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為________．【解析】畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示．設(shè)其棱長(zhǎng)為2，取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，因?yàn)镺E＝OF，所以CO⊥EF.又EO＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(1,4)BD＝eq\f(1,2)，所以cos∠FEC＝eq\f(EO,CE)＝eq\f(\f(1,2),\r(3))＝eq\f(\r(3),6).第四章直線、平面平行的判定與性質(zhì)專題一直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?a?α，b?α，a∥ba∥αa∥α，a?β，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b【典例1】（1）如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.(2)連結(jié)FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.（2）(2014·安徽)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為8的正方形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均為2eq\r(17).點(diǎn)G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點(diǎn)，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積．【解析】(1)證明因?yàn)锽C∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.又因?yàn)槠矫鍳EFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因?yàn)槠矫鍼BD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點(diǎn)．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中點(diǎn)，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由已知可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.【思維升華】判斷或證明線面平行的常用方法：(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?β，a∥α?a∥β)．【遷移訓(xùn)練1】(1)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E為PD的中點(diǎn)，AB＝1，求證：CE∥平面PAB；(2)如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．又∵E為PD的中點(diǎn)，∴EC∥PN，∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，∴CE∥平面PAB.專題二平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a?β結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α【典例2】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.【思維升華】證明面面平行的方法：(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．【遷移訓(xùn)練2】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【證明】(1)如圖，連結(jié)SB，∵E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)連結(jié)SD，∵F、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，又EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.專題三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用【典例3】如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對(duì)棱AB和CD，試問截面在什么位置時(shí)其截面面積最大？設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補(bǔ)角)．又設(shè)FG＝x，GH＝y(tǒng)，則由平面幾何知識(shí)可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，兩式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，∴S?EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)．∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，∴當(dāng)且僅當(dāng)x＝a－x時(shí)，eq\f(bsinα,a)x(a－x)＝eq\f(absinα,4)，此時(shí)x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2).即當(dāng)截面EFGH的頂點(diǎn)E、F、G、H為棱AD、AC、BC、BD的中點(diǎn)時(shí)截面面積最大．【思維升華】利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來(lái)確定交線的位置，對(duì)于最值問題，常用函數(shù)思想來(lái)解決．【遷移訓(xùn)練3】如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BE⊥PC于E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a，試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD.【解析】如圖所示，在平面PCD內(nèi)，過E作EG∥CD交PD于G，連結(jié)AG，在AB上取點(diǎn)F，使AF＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四邊形FEGA為平行四邊形，∴FE∥AG.又AG?平面PAD，F(xiàn)E?平面PAD，∴EF∥平面PAD.∴F即為所求的點(diǎn)．∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝eq\r(3)a.又CE＝eq\r(a2－\f(\r(6),3)a2)＝eq\f(\r(3),3)a，∴eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(GE,CD)＝eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，即GE＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(2,3)a，∴AF＝eq\f(2,3)a.即AF＝eq\f(2,3)AB.故點(diǎn)F是AB上靠近B點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．第五章直線、平面垂直的判定與性質(zhì)專題一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)圖形條件結(jié)論判定a⊥b，b?α(b為α內(nèi)的任意一條直線)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性質(zhì)a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b【典例1】(2014·遼寧)如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面BCG；(2)求三棱錐D－BCG的體積．【解析】(1)證明：由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G為AD的中點(diǎn)，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.又因E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點(diǎn)，所以EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.(2)解在平面ABC內(nèi)，作AO⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于O，如圖【思維升華】(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想．(3)線面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明線線垂直．【遷移訓(xùn)練1】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD＝eq\f(1,3)DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC＝eq\r(3)AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求證：PA⊥CD.【證明】因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由eq\r(3)AC＝BC得，∠ABC＝30°，設(shè)AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2eq\r(3)，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因?yàn)镻D⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.專題二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l?β,l⊥a))?l⊥α【典例2】如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD.【求證】(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD＝D，∴BP⊥平面PDC.又BP?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDC.【思維升華】面面垂直的性質(zhì)應(yīng)用技巧(1)兩平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面．這是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．(2)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，此性質(zhì)在不是很復(fù)雜的題目中，要對(duì)此進(jìn)行證明．【遷移訓(xùn)練2】(2015·重慶)如圖，三棱錐PABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC＝eq\f(π,2)，點(diǎn)D，E在線段AC上，且AD＝DE＝EC＝2，PD＝PC＝4，點(diǎn)F在線段AB上，且EF∥BC.(1)證明：AB⊥平面PFE；(2)若四棱錐PDFBC的體積為7，求線段BC的長(zhǎng)．(2)解設(shè)BC＝x，則在Rt△ABC中，AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(36－x2)，從而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)xeq\r(36－x2).由EF∥BC知，eq\f(AF,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(2,3)，得△AFE∽△ABC，故eq\f(S△AFE,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，即S△AFE＝eq\f(4,9)S△ABC.由AD＝eq\f(1,2)AE，S△AFD＝eq\f(1,2)S△AFE＝eq\f(1,2)·eq\f(4,9)S△ABC＝eq\f(2,9)S△ABC＝eq\f(1,9)xeq\r(36－x2).從而四邊形DFBC的面積為SDFBC＝S△ABC－S△AFD＝eq\f(1,2)xeq\r(36－x2)－eq\f(1,9)xeq\r(36－x2)＝eq\f(7,18)xeq\r(36－x2).由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE為四棱錐PDFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝eq\r(PC2－EC2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).體積VPDFBC＝eq\f(1,3)·SDFBC·PE＝eq\f(1,3)·eq\f(7,18)xeq\r(36－x2)·2eq\r(3)＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x＞0，可得x＝3或x＝3eq\r(3).所以，BC＝3或BC＝3eq\r(3).專題三線面角、二面角的求法【典例3】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)求PB和平面PAD所成的角的大??；(2)