數(shù)學(xué)人教A版必修4問題導(dǎo)學(xué)1.1.1任意角

1.1任意角和弧度制1.1.1任意角問題導(dǎo)學(xué)一、角的概念的推廣活動(dòng)與探究1下列命題：①第一象限角是銳角；②銳角都是第一象限角；③第一象限角一定不是負(fù)角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是鈍角；⑥三角形內(nèi)角是第一、第二象限的角；⑦向左轉(zhuǎn)體1周形成的角為360°.其中是真命題的為__________(把正確命題的序號(hào)都寫上)．遷移與應(yīng)用下列命題正確的是()A．－330°與330°都是第四象限角B．45°角是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的C．鈍角都是第二象限角D．小于90°的角都是銳角正確理解正角、負(fù)角和零角的概念，由定義可知，關(guān)鍵是看終邊的旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針、順時(shí)針還是沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，要正確理解象限角的概念．二、終邊相同的角的問題活動(dòng)與探究2已知角α＝2012°.(1)把α改寫成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ＜720°.遷移與應(yīng)用寫出與15°角終邊相同的角的集合，并求該集合中適合不等式－1080°≤β＜720°的元素β.在給定范圍內(nèi)確定角的問題，有兩種處理思路：一種思路是不解不等式，根據(jù)條件k∈Z，采用觀察和特殊值檢驗(yàn)的方法求出k的值，求解時(shí)需注意不要漏解；另一種思路是解不等式，然后再根據(jù)k∈Z求出k的值．三、區(qū)間角的表示活動(dòng)與探究3若α是第三象限角，判斷2α，和180°－α是第幾象限角．遷移與應(yīng)用如圖所示，試分別表示出終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)的角．1．寫區(qū)間角的集合時(shí)應(yīng)嚴(yán)格按照寫區(qū)間角的三個(gè)步驟進(jìn)行，注意集合表述的嚴(yán)謹(jǐn)性，應(yīng)特別檢查所寫集合能否包含問題所要表達(dá)的全部角．2．區(qū)間角是指終邊落在坐標(biāo)系的某個(gè)區(qū)域的角，其寫法可分三步：(1)先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)按由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的0°到360°范圍內(nèi)的角α，β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α＜x＜β}；(3)再加上起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β出現(xiàn)的k倍的周期，即得區(qū)間角的集合．當(dāng)堂檢測(cè)1．下列敘述正確的是()A．第一或第二象限的角都可作為三角形的內(nèi)角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．第四象限角一定是負(fù)角D．鈍角比第三象限角小2．若角α與β的終邊相同，則角α－β的終邊()A．在x軸的非負(fù)半軸上B．在x軸的非正半軸上C．在y軸的非正半軸上D．在y軸的非負(fù)半軸上3．與405°角終邊相同的角是()A．k·360°－45°，k∈ZB．k·360°±405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z4．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，則M__________N．(填“”或“”)5．在0°～360°范圍內(nèi)：與－1000°角終邊相同的最小正角是__________，是第__________象限角．提示：用最精煉的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記.答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1．一條射線端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)預(yù)習(xí)交流1提示：角的概念推廣后，角度的范圍不再限于0°～360°，它應(yīng)包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．3．第幾象限4．α＋k·360°，k∈Z整數(shù)個(gè)周角預(yù)習(xí)交流2提示：終邊相同的角不一定相等，它們相差360°的整數(shù)倍；相等的角，終邊相同．5．{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}6．{x|x＝k·360°，k∈Z}{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}{x|x＝k·180°，k∈Z}{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}{x|x＝k·180°＋90°，k∈Z}課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1②⑦解析：①390°是第一象限角，可它不是銳角，所以①不正確；②銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，故是第一象限角，所以②正確；③－330°是第一象限角，但它是負(fù)角，所以③不正確；④120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，顯然390°＞120°，所以④不正確；⑤480°角是第二象限角，但它不是鈍角，所以⑤不正確；⑥90°角可作三角形內(nèi)角，但它既不是第一象限角，也不是第二象限角，所以⑥不正確；⑦向左轉(zhuǎn)體為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)體1周形成的角為360°，所以⑦正確．遷移與應(yīng)用C解析：對(duì)于A，－330°是第一象限角，故A排除；對(duì)于B,45°角是正角，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成的，故排除B；對(duì)于D，－60°角是小于90°的角，但它不是銳角，故排除D．綜上，此題應(yīng)選C．活動(dòng)與探究2思路分析：確定β的值，求出α所在的象限；列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值，得到角θ的大?。猓?1)用2012°除以360°商為5，余數(shù)為212°．∴k＝5．∴α＝5×360°＋212°(β＝212°)．∴α為第三象限角．(2)與2012°終邊相同的角為k·360°＋2012°(k∈Z)，令－360°≤k·360°＋2012°＜720°(k∈Z)，解得－eq\f(593,90)≤k＜－eq\f(323,90)(k∈Z)，∴k＝－6，－5，－4．將k的值代入k·360°＋2012°中，得角θ的值為－148°，212°，572°．遷移與應(yīng)用解：與15°角終邊相同的角的集合為{β|β＝15°＋k·360°，k∈Z}．由－1080°≤15°＋k·360°＜720°，得到－1095°≤k·360°＜705°．又k∈Z，∴k可?。?，－2，－1,0,1．相應(yīng)的β的值分別為－1065°，－705°，－345°，15°，375°．∴滿足條件的角β的度數(shù)有－1065°，－705°，－345°，15°，375°．活動(dòng)與探究3思路分析：將第三象限的角α表示為180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，從而可以分別得出2α，eq\f(α,3)和180°－α的角的表示形式，再根據(jù)象限角的定義來作出判斷．解：∵α是第三象限角，∴180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°(k∈Z)，(1)360°＋2k·360°＜2α＜540°＋2k·360°(k∈Z)，即(2k＋1)·360°＜2α＜180°＋(2k＋1)·360°(k∈Z)，則2α是第一、二象限角，或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角．(2)60°＋k·120°＜eq\f(α,3)＜90°＋k·120°(k∈Z)，當(dāng)k＝3m(m∈Z)時(shí)，eq\f(α,3)為第一象限角；當(dāng)k＝3m＋1(m∈Z)時(shí)，eq\f(α,3)為第三象限角；當(dāng)k＝3m＋2(m∈Z)時(shí)，eq\f(α,3)為第四象限角．所以eq\f(α,3)為第一或第三或第四象限角．(3)－270°＋k·360°＜－α＜－180°＋k·360°(k∈Z)，則－90°＋k·360°＜180°－α＜k·360°(k∈Z)．所以180°－α是第四象限角．遷移與應(yīng)用解：在圖(1)中，0°～360°范圍內(nèi)的終邊落在指定區(qū)域的角α滿足45°≤α≤210°，故滿足條件的角的集合為{α|45°＋k·360°≤α≤210°＋k·360°，k∈Z}．在圖(2)中，0°～360°范圍內(nèi)的終邊落在指定區(qū)域的角α滿足0°≤α≤45°或315°≤α≤360°，轉(zhuǎn)化為－180°～180°范圍內(nèi)，終邊落在指定區(qū)域的角α滿足－45°≤α≤45°，故滿足條件的角的集合為{α|－45°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．【當(dāng)堂檢測(cè)】1．B解析：－330°角是第一象限角，但不能作為三角形的內(nèi)角，故A錯(cuò)；280°角是第四象限角，它是正角，故C錯(cuò)；－100°角是第三象限角，它比鈍角小，故D錯(cuò)．2．A解析：由已知可得α＝β＋k·360°(k∈Z)，∴α－β＝k·360°(k∈Z)，∴α－β的終邊在x軸的非負(fù)半軸上．3．C解析：∵405°＝360°＋45°，是與45°角終邊相同的角，即與405°角終邊相同的角是k·360°＋45°，故