2013年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2013年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[每小題只有一個正確選項，在答題紙的相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆填涂]1．（4分）（2008?衢州）把拋物線y=x2向右平移2個單位得到的拋物線是（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）22．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）等腰直角三角形的腰長為，該三角形的重心到斜邊的距離為（）A． B． C． D．4．（4分）（2011?臺州）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：165．（4分）（2011?肇慶）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與直線a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，則BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.56．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在兩個圓中有兩條相等的弦，則下列說法正確的是（）A．這兩條弦所對的弦心距相等B．這兩條弦所對的圓心角相等C．這兩條弦所對的弧相等D．這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7．（4分）（2014?奉賢區(qū)二模）二次函數(shù)y=x2+3圖象的頂點坐標(biāo)是．8．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）拋物線y=ax2（a＞0）的圖象一定經(jīng)過象限．9．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）拋物線y=（x﹣1）（x+5）的對稱軸是：直線．10．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）已知拋物線y=x2﹣2x﹣3，它的圖象在對稱軸的部分是下降的．11．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）D、E分別是△ABC的邊AB、AC的反向延長線上的點，如果，那么的值是時，DE∥BC．12．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）已知線段a=3cm，c=6cm，若線段c是線段a、b的比例中項，則b=cm．13．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）已知三角形三邊長為3、4、5，則最小角的正弦是．14．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在高為100米的樓頂測得地面上某十字路口的俯角為α，那么樓底到這十字路口的水平距離是米．（用角α的三角比表示）15．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，那么cotB的值為．16．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）若⊙O的一條弦長為24，弦心距為5，則⊙O的直徑長為．17．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，則∠AOD=．18．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，設(shè)點C關(guān)于DE的對稱點為F，若DF∥AB，則BD的長為．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）計算：．20．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知l1∥l2，點A、G、B、C分別在l1和l2上，．（1）求的值；（2）若，，用向量與表示．21．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，AC與BD相交于點E，S△AED=9，S△BEC=25．（1）求證：∠DAC=∠CBD；（2）求cos∠AEB的值．22．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）通過學(xué)習(xí)銳角三角比，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值是一一對應(yīng)的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖（1）在△ABC中，AB=AC，底角B的鄰對記作canB，這時canB=，容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值也是一一對應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：（1）can30°=；（2）如圖（2），已知在△ABC中，AB=AC，canB=，S△ABC=24，求△ABC的周長．23．（12分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE的延長線與BC的延長線交于點F．（1）求證：△FDC∽△FBD；（2）求證：．24．（12分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知直線y=x與二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交于點A、O，（O是坐標(biāo)原點），點P為二次函數(shù)圖象的頂點，OA=，AP的中點為B．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求線段OB的長；（3）若射線OB上存在點Q，使得△AOQ與△AOP相似，求點Q的坐標(biāo)．25．（14分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖（1），已知∠MON=90°，點P為射線ON上一點，且OP=4，B、C為射線OM和ON上的兩個動點（OC＞OP），過點P作PA⊥BC，垂足為點A，且PA=2，連接BP．（1）若時，求tan∠BPO的值；（2）設(shè)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖（2），過點A作BP的垂線，垂足為點H，交射線ON于點Q，點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值．若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示OQ的長．

2013年上海市奉賢區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[每小題只有一個正確選項，在答題紙的相應(yīng)題號的選項上用2B鉛筆填涂]1．（4分）（2008?衢州）把拋物線y=x2向右平移2個單位得到的拋物線是（）A．y=x2+2 B．y=x2﹣2 C．y=（x+2）2 D．y=（x﹣2）2【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律．【解答】解：拋物線y=x2向右平移2個單位得y=（x﹣2）2．故選D．【點評】主要是考查二次函數(shù)的平移．2．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列等式中，正確的是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：根據(jù)三角函數(shù)的定義：A、sinA=，錯誤；B、cosB=，錯誤；C、tanA=，正確；D、cotB=，錯誤．故選C．【點評】要注意，在三角形中，∠A、∠B、∠C所有對的邊為a、b、c．3．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）等腰直角三角形的腰長為，該三角形的重心到斜邊的距離為（）A． B． C． D．【考點】等腰直角三角形；三角形的重心．【分析】作等腰直角三角形底邊上的高并根據(jù)勾股定理求解，再根據(jù)三角形重心三等分中線的性質(zhì)即可求出．【解答】解：如圖，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，底邊上的中線CD=sin45°=1，∵三角形的重心到三角形頂點的距離等于中點距離的2倍，∴重心到AB的距離=1×=．故選D．【點評】本題主要考查等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形重心的性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．4．（4分）（2011?臺州）若兩個相似三角形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得其相似比，又由相似三角形的周長的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵兩個相似三角形的面積之比為1：4，∴它們的相似比為1：2，∴它們的周長之比為1：2．故選A．【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長的比等于相似比．5．（4分）（2011?肇慶）如圖，已知直線a∥b∥c，直線m、n與直線a、b、c分別交于點A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，則BF=（）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5【考點】平行線分線段成比例．【分析】由直線a∥b∥c，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可得，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的長，則可求得答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴，解得：DF=，∴BF=BD+DF=3+=7.5．故選：B．【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理．題目比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在兩個圓中有兩條相等的弦，則下列說法正確的是（）A．這兩條弦所對的弦心距相等B．這兩條弦所對的圓心角相等C．這兩條弦所對的弧相等D．這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分【考點】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理．【分析】在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等，但在不同圓中則應(yīng)另當(dāng)別論．【解答】解：A、這兩條弦所對的弦心距不一定相等，原說法錯誤，故本選項錯誤；B、這兩條弦所對的圓心角不一定相等，原說法錯誤，故本選項錯誤；C、這兩條弦所對的弧不一定相等，原說法錯誤，故本選項錯誤；D、這兩條弦都被垂直于弦的半徑平分（垂徑定理），原說法正確，故本選項正確；故選D．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意在同圓和等圓這個條件，不要盲目解答．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置】7．（4分）（2014?奉賢區(qū)二模）二次函數(shù)y=x2+3圖象的頂點坐標(biāo)是（0，3）．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用頂點式直接得出頂點坐標(biāo)即可．【解答】解：∵二次函數(shù)y=x2+3，∴二次函數(shù)y=x2+3圖象的頂點坐標(biāo)是：（0，3）．故答案為：（0，3）．【點評】此題主要考查了利用二次函數(shù)頂點式求頂點坐標(biāo)，此題型是中考中考查重點，同學(xué)們應(yīng)熟練掌握．8．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）拋物線y=ax2（a＞0）的圖象一定經(jīng)過一二象限．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)a＞0，拋物線開口方向向上，再確定出頂點為原點，然后解答即可．【解答】解：∵a＞0，∴拋物線開口方向向上，又∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，0），∴一定經(jīng)過第一二象限．故答案為：一二．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．9．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）拋物線y=（x﹣1）（x+5）的對稱軸是：直線x=﹣2．【考點】拋物線與x軸的交點．【專題】計算題．【分析】令y=0求出拋物線與x軸的兩交點坐標(biāo)，找出兩交點的中點橫坐標(biāo)，即可確定出拋物線對稱軸．【解答】解：令y=0，得到x=1或﹣5，∵=﹣2，則拋物線的對稱軸為直線x=﹣2．故答案為：x=﹣2．【點評】此題考查了拋物線與x軸的交點，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）已知拋物線y=x2﹣2x﹣3，它的圖象在對稱軸左側(cè)的部分是下降的．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】本題實際上是判斷拋物線的增減性，根據(jù)解析式判斷開口方向，結(jié)合對稱軸回答問題．【解答】解：∵拋物線y=x2﹣2x﹣3中，a=1＞0，拋物線開口向上，∴拋物線圖象在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減?。ㄏ陆担睿鹤髠?cè)．【點評】根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸，可判斷拋物線的增減性．11．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）D、E分別是△ABC的邊AB、AC的反向延長線上的點，如果，那么的值是時，DE∥BC．【考點】平行線分線段成比例．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例的逆定理分析即可．【解答】解：要使DE∥BC，則需=．【點評】此題考查了平行線分線段成比例定理的逆定理．12．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）已知線段a=3cm，c=6cm，若線段c是線段a、b的比例中項，則b=12cm．【考點】比例線段．【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可求解．【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積，所以c2=ab，即62=3b，解得b=12．故答案為：12．【點評】此題考查了比例線段；理解比例中項的概念，注意線段不能是負(fù)數(shù)．13．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）已知三角形三邊長為3、4、5，則最小角的正弦是．【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理．【分析】根據(jù)三角形三邊長可以判斷三角形是直角三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．【解答】解：∵32+42=52，∴這個三角形是直角三角形．則最小角即3所對的角，它的正弦值是．故答案為：．【點評】本題可以考查銳角三角函數(shù)的定義即運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比邊．14．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在高為100米的樓頂測得地面上某十字路口的俯角為α，那么樓底到這十字路口的水平距離是100cotα米．（用角α的三角比表示）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【專題】探究型．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用銳角三角函數(shù)的定義直接進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖所示，∵∠BAC=α，BC=100m，∴AB=BC?cotα=100cotαm．故答案為：100cotα．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．15．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，那么cotB的值為．【考點】互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．【分析】一個角的余切值等于這個角的余角的正切值，據(jù)此作答即可．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A和∠B互余，∴cotB=tanA=．故答案為：．【點評】本題考查了互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，注意掌握一個角的余切值等于這個角的余角的正切值．16．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）若⊙O的一條弦長為24，弦心距為5，則⊙O的直徑長為26．【考點】垂徑定理；勾股定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，由OC垂直于AB，利用垂徑定理得到C為AB的中點，由AB的長求出AC的長，在直角三角形AOC中，由AC與OC的長，利用勾股定理求出OA的長，即可確定出圓O的直徑長．【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，AC=12，OC=5，根據(jù)勾股定理得：AO==13，則圓O的直徑長為26．故答案為：26【點評】此題考查了垂徑定理，以及勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．17．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，則∠AOD=40°．【考點】圓的認(rèn)識；平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可求得∠AOD的度數(shù)．【解答】解：∵∠BOC=110°，∠BOC+∠AOC=180°，∴∠AOC=70°，∵AD∥OC，OD=OA，∴∠D=∠A=70°，∴∠AOD=180°﹣2∠A=40°．故答案為：40．【點評】本題考查平行線性質(zhì)、圓的認(rèn)識及三角形內(nèi)角和定理的運用．18．（4分）（2013?奉賢區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，設(shè)點C關(guān)于DE的對稱點為F，若DF∥AB，則BD的長為1．【考點】平行線分線段成比例；角平分線的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意作出草圖，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=CE，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠A=∠EGF，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式表示出GE，再表示出CG，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式計算即可得解．【解答】解：如圖，設(shè)BD=CE=x，∵∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC===4，∵點C關(guān)于DE的對稱點為F，∴EF=CE=x，∵DF∥AB，∴∠A=∠EGF，∴△ABC∽△GEF，∴=，即=，解得GE=x，∴CG=GE+CE=x+x=x，∵DF∥AB，∴=，即=，解得x=1，即BD=1．故答案為：1．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，軸對稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度不是很大，找準(zhǔn)線段的對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）計算：．【考點】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將cos30°=，cot60°=，sin60°=，tan45°=1分別代入，然后化簡即可得出答案．【解答】解：原式===3+．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值．20．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知l1∥l2，點A、G、B、C分別在l1和l2上，．（1）求的值；（2）若，，用向量與表示．【考點】*平面向量．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=，結(jié)合，即可得出答案；（2）先表示出，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出．【解答】解：（1）∵，∴=，又∵l1∥l2，∴==．（2）∵，，∴=﹣=﹣，∴==（﹣）．【點評】本題考查了平面向量的加減及平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，根據(jù)題意得出線段的比值是解答本題的關(guān)鍵．21．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，AC與BD相交于點E，S△AED=9，S△BEC=25．（1）求證：∠DAC=∠CBD；（2）求cos∠AEB的值．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形．【分析】（1）先由∠BAC=∠BDC=90°與∠AEB=∠DEC，證得△ABE∽△DCE；即可證得=，又由∠AED=∠BEC，證得△AED∽△BEC，故可得出∠DAC=∠CBD；（2）由（1）知△AED∽△BEC，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得AE與BE的比值，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AC⊥AB，BD⊥CD，∴∠BAC=∠BDC=90°，又∵∠AEB=∠DEC，∴△ABE∽△DCE，∴=，即=，又∵∠AED=∠BEC，∴△AED∽△BEC，∴∠DAC=∠CBD；（2）解：∵△AED∽△BEC，S△AED=9，S△BEC=25，∴==，∴在Rt△ABE中，cos∠AEB==．【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)題意得出△ABE∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵．22．（10分）（2013?奉賢區(qū)一模）通過學(xué)習(xí)銳角三角比，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值是一一對應(yīng)的，因此，兩條邊長的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對（can），如圖（1）在△ABC中，AB=AC，底角B的鄰對記作canB，這時canB=，容易知道一個角的大小與這個角的鄰對值也是一一對應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對的定義，解下列問題：（1）can30°=；（2）如圖（2），已知在△ABC中，AB=AC，canB=，S△ABC=24，求△ABC的周長．【考點】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專題】新定義．【分析】（1）過點A作AD⊥BC于點D，根據(jù)∠B=30°，可得出BD=AB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出BC=AB，繼而得出canB；（2）過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)canB=，設(shè)BC=8x，AB=5x，再由S△ABC=24，可得出x的值，繼而求出周長．【解答】解：（1）過點A作AD⊥BC于點D，∵∠B=30°，∴cos∠B==，∴BD=AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=AB，故can30°==；（2）過點A作AE⊥BC于點E，∵canB=，則可設(shè)BC=8x，AB=5x，∴AE==3x，∵S△ABC=24，∴BC×AE=12x2=24，解得：x=，故AB=AC=5，BC=8，從而可得△ABC的周長為18．【點評】本題考查了解直角三角形及勾股定理的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，表示出各個邊的長度．23．（12分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點，DE的延長線與BC的延長線交于點F．（1）求證：△FDC∽△FBD；（2）求證：．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=EC，推出∠EDC=∠ECD，求出∠FDC=∠B，根據(jù)∠F=∠F證△FBD∽△FDC，即可；（2）由（1）可知FBD∽△FDC，所以，由已知條件可證明△BDC∽△BCA所以即．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵E是AC的中點，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD，∵∠ACB=90°，∠BDC=90°∴∠ECD+∠DCB=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠ECD=∠B，∴∠FDC=∠B，∵∠F=∠F，∴△FBD∽△FDC；（2）∵△FBD∽△FDC，∴，∵△BDC∽△BCA，∴，∴．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，解題的關(guān)鍵是由相似得到比例式．24．（12分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖，已知直線y=x與二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交于點A、O，（O是坐標(biāo)原點），點P為二次函數(shù)圖象的頂點，OA=，AP的中點為B．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求線段OB的長；（3）若射線OB上存在點Q，使得△AOQ與△AOP相似，求點Q的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由點A在直線y=x上，可知A的橫縱坐標(biāo)相等，又因為OA=3，所以可以求出A的坐標(biāo)，再把O和A的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c，求出b和c的值即可求出函數(shù)的解析式；（2）用配方法求出頂點P的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出OP的長和AP的長，利用勾股定理的逆定理即可判定三角形AOP的形狀，進(jìn)而求出OB的長；（3）若△AOQ與△AOP相似，則①△AOP∽△OQA或②△AOP∽△OAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出滿足題意的OQ值即可．【解答】解：（1）∵點A在直線y=x上，且OA=3，∴A點的坐標(biāo)是（3，3，）∵點O（0，0），A（3，3）在函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上，∴，解得：，故二次函數(shù)的解析式是y=x2﹣2x；（2）∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴頂點P的坐標(biāo)為（1，﹣1）∴PO==，AP=2，∴AO2+PO2=AP2，∴∠AOP=90°，∴△AOP是直角三角形，∵B為AP的中點，∴OB=；（3）∵∠AOP=90°，B為AP的中點，∴OB=AB，∴∠AOB=∠OAB，若△AOQ與△AOP相似，則①△AOP∽△OQA時，∴，∴OQ1=；②△AOP∽△OAQ時，∴，∴OQ2=2，∵點P的坐標(biāo)為（1，﹣1），A點的坐標(biāo)是（3，3，），B為AP的中點，∴B點的橫坐標(biāo)==2，縱坐標(biāo)==1，∴B點的坐標(biāo)為（2，1），∴Q1（，），Q2（4，2）即點Q的坐標(biāo)分別是Q1（，），Q2（4，2）．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)、勾股定理以及逆定理的運用以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題時也要注意分類討論數(shù)學(xué)思想的運用，題目的綜合性很強，難度中等．25．（14分）（2013?奉賢區(qū)一模）如圖（1），已知∠MON=