2014年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷

2014年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）（2014?松江區(qū)三模）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B． C． D．3.142．（4分）（2014?松江區(qū)三模）下列運(yùn)算一定正確的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2014?松江區(qū)三模）如果將拋物線y=x2+1平移后，能夠得到拋物線y=（x﹣2）2+1，那么下列關(guān)于“平移”敘述正確的是（）A．向右平移2個單位 B．向左平移2個單位C．向上平移2個單位 D．向下平移2個單位4．（4分）（2006?寧波）將100個個體的樣本編成組號為①～⑧的八個組，如下表：那么第⑤組的頻率為（）組號①②③④⑤⑥⑦⑧頻數(shù)14111213■■131210A．14 B．l5 C．0.114 D．0.155．（4分）（2014?松江區(qū)三模）下列說法中正確的是（）A．正多邊形一個外角的大小與它的邊數(shù)成正比例B．正多邊形一個外角的大小與它的邊數(shù)成反比例C．正多邊形一個內(nèi)角的大小與它的邊數(shù)成正比例D．正多邊形一個內(nèi)角的大小與它的邊數(shù)成反比例6．（4分）（2014?松江區(qū)三模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=24，BD=18，那么這個梯形中位線的長等于（）A．6 B．12 C．15 D．21二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）（2014?松江區(qū)三模）計算：=．8．（4分）（2006?河北）計算：（﹣a2）3=．9．（4分）（2004?佛山）分解因式：xy2﹣x=．10．（4分）（2015?徐匯區(qū)二模）方程的解是．11．（4分）（2014?松江區(qū)三模）不等式組的解集是．12．（4分）（2014?松江區(qū)三模）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是．13．（4分）（2006?旅順口區(qū)）在“石頭、剪刀、布”的游戲中，兩人做同樣手勢的概率是．14．（4分）（2014?松江區(qū)三模）甲、乙兩人都加工a個零件，甲每小時加工20個，如果乙比甲晚工作1小時，且兩人同時完成任務(wù)，那么乙每小時加工個零件（用含a的代數(shù)式表示）．15．（4分）（2014?松江區(qū)三模）如圖，已知在?ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，DE與對角線AC相交于點(diǎn)F．如果，，那么=（用含、的式子表示）．16．（4分）（2014?松江區(qū)三模）小明在大樓上的窗口A處看見地面B處蹲著一只小狗，如果窗口離地面的高度AC為30米，小狗離大樓的距離BC為40米，那么小明看見小狗時的俯角約等于度（備用數(shù)據(jù)：tan37°=cot53°≈0.75）．17．（4分）（2014?松江區(qū)三模）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓與直線BC的位置關(guān)系是．18．（4分）（2014?松江區(qū)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=，現(xiàn)作如下操作：將△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′（點(diǎn)A′、C、B′的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C、B），聯(lián)結(jié)A′B，如果△AA′B是等腰三角形，那么B′C的長是．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2014?松江區(qū)三模）先化簡，再計算：，其中x=．20．（10分）（2014?松江區(qū)三模）已知：二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，3）．求：這個二次函數(shù)的解析式，及這個函數(shù)圖象的對稱軸．21．（10分）（2014?松江區(qū)三模）已知：如圖，⊙O的弦AB長為8，延長AB至C，使BC=AB，tanC=．求：（1）⊙O的半徑；（2）點(diǎn)C到直線AO的距離．22．（10分）（2014?松江區(qū)三模）某公司2011年銷售一種產(chǎn)品的年利潤為300萬元，如果2012年和2013年銷售這種產(chǎn)品年利潤的增長率相同，且2013年比2012年的年利潤增加了72萬元，求2013年銷售這種產(chǎn)品的年利潤．23．（12分）（2014?松江區(qū)三模）已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N．（1）求證：EF∥BD；（2）當(dāng)MN：EF=2：3時，求證：△AMN是等邊三角形．24．（12分）（2014?松江區(qū)三模）如圖，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，第一象限中的點(diǎn)A是函數(shù)圖象上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，作AB∥y軸，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，作AC∥x軸，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）試猜想：∠B的大小是否隨點(diǎn)A位置的變化而變化？如果不變，求出∠B的度數(shù)，如果變化，請說明理由；（3）當(dāng)BC平分∠ABP時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．25．（14分）（2014?松江區(qū)三模）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E是上底AD的中點(diǎn)，P是腰AB上一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PE并延長，交射線CD于點(diǎn)M，作EF⊥PE，交下底BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)MF交AD于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)PF，AB=AD=4，BC=6，點(diǎn)A、P之間的距離為x，△PEF的面積為y．（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，求x的值；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)∠CMF=∠PFE時，求△PEF的面積．

2014年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）（2014?松江區(qū)三模）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B． C． D．3.14【考點(diǎn)】無理數(shù)．【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式：①開方開不盡的數(shù)，②無限不循環(huán)小數(shù)，③含有π的數(shù)，結(jié)合選項即可作出判斷．【解答】解：A、是有理數(shù)，故本選項錯誤；B、是無理數(shù)，故本選項正確；C、=7，是有理數(shù)，故本選項錯誤；D、3.14是有理數(shù)，故本選項錯誤；故選B．【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)的三種形式．2．（4分）（2014?松江區(qū)三模）下列運(yùn)算一定正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡；二次根式的加減法．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，合并同類項法則分別求出每個式子的值，再逐個判斷即可．【解答】解：A、和不能合并，故本選項錯誤；B、=|a+b|，當(dāng)a+b≥0時，才等于a+b，而a2+2ab+b2=（a+b）2，故本選項錯誤；C、當(dāng)a﹣b≥0時，等式才成立，故本選項錯誤；D、=﹣a，故本選項正確；故選D．【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，合并同類項的法則的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和判斷能力，題目比較好，難度適中．3．（4分）（2014?松江區(qū)三模）如果將拋物線y=x2+1平移后，能夠得到拋物線y=（x﹣2）2+1，那么下列關(guān)于“平移”敘述正確的是（）A．向右平移2個單位 B．向左平移2個單位C．向上平移2個單位 D．向下平移2個單位【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】幾何變換．【分析】先根據(jù)頂點(diǎn)式得到平移前后兩拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過頂點(diǎn)的平移確定拋物線的平移．【解答】解：∵拋物線y=x2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），拋物線y=（x﹣2）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），而點(diǎn)（0，1）向右平移2個單位得到點(diǎn)（2，1），∴將拋物線y=x2+1向右平移2個單位后，能夠得到拋物線y=（x﹣2）2+1．故選A．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．4．（4分）（2006?寧波）將100個個體的樣本編成組號為①～⑧的八個組，如下表：那么第⑤組的頻率為（）組號①②③④⑤⑥⑦⑧頻數(shù)14111213■■131210A．14 B．l5 C．0.114 D．0.15【考點(diǎn)】頻數(shù)與頻率．【專題】圖表型．【分析】根據(jù)總數(shù)和表格中的數(shù)據(jù)，可以計算得到第⑤組的頻數(shù)；再根據(jù)頻率=頻數(shù)÷總數(shù)進(jìn)行計算．【解答】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，得第5組的頻數(shù)為100﹣（14+11+12+13+13+12+10）=15，其頻率為15：100=0.15．故選D．【點(diǎn)評】本題考查頻數(shù)、頻率的計算方法．各組的頻數(shù)之和為總數(shù)；頻率=頻數(shù)：總數(shù)．5．（4分）（2014?松江區(qū)三模）下列說法中正確的是（）A．正多邊形一個外角的大小與它的邊數(shù)成正比例B．正多邊形一個外角的大小與它的邊數(shù)成反比例C．正多邊形一個內(nèi)角的大小與它的邊數(shù)成正比例D．正多邊形一個內(nèi)角的大小與它的邊數(shù)成反比例【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；正比例函數(shù)的定義；反比例函數(shù)的定義．【分析】正n邊形一個外角等于，正多邊形一個外角的大小與它的邊數(shù)成反比例；正n邊形一個內(nèi)角等于（n﹣2）?180°=180°n﹣360°，正多邊形一個內(nèi)角的大小與它的邊數(shù)成一次函數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：設(shè)正多邊形為正n邊形，一個外角等于，正多邊形一個外角的大小與它的邊數(shù)成反比例；一個內(nèi)角等于（n﹣2）?180°=180°n﹣360°，正多邊形一個內(nèi)角的大小與它的邊數(shù)成一次函數(shù)，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角以及正比例函數(shù)與反比例函數(shù)、一次函數(shù)的定義．6．（4分）（2014?松江區(qū)三模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=24，BD=18，那么這個梯形中位線的長等于（）A．6 B．12 C．15 D．21【考點(diǎn)】梯形中位線定理．【分析】作出圖形，過點(diǎn)D作DE∥AC，可得四邊形ACED是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=CE，DE=AC，然后求出△BDE是直角三角形，利用勾股定理列式求出BE，再根據(jù)梯形的中位線等于上底與下底和的一半解答．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE∥AC，∵AD∥BC，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AD=CE，DE=AC=24，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∴△BDE是直角三角形，由勾股定理得，BE===30，∴這個梯形中位線的長=（AD+BC）=（CE+BC）=BE=×30=15．故選C．【點(diǎn)評】本題考查了梯形的中位線等于上底與下底和的一半，勾股定理，熟記定理并作輔助線構(gòu)造出平行四邊形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）（2014?松江區(qū)三模）計算：=3．【考點(diǎn)】算術(shù)平方根．【專題】計算題．【分析】=，即是求9的算術(shù)平方根．【解答】解：根據(jù)題意：==3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題考查算術(shù)平方根的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，是?？嫉囊粋€知識點(diǎn)．8．（4分）（2006?河北）計算：（﹣a2）3=﹣a6．【考點(diǎn)】冪的乘方與積的乘方．【分析】先確定符號，再根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘計算即可．【解答】解：（﹣a2）3=﹣a2×3=﹣a6．故填﹣a6．【點(diǎn)評】本題考查冪的乘方的性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，計算時要注意符號．9．（4分）（2004?佛山）分解因式：xy2﹣x=x（y﹣1）（y+1）．【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．【分析】先提取公因式x，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．【解答】解：xy2﹣x，=x（y2﹣1），=x（y﹣1）（y+1）．故答案為：x（y﹣1）（y+1）．【點(diǎn)評】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．10．（4分）（2015?徐匯區(qū)二模）方程的解是2．【考點(diǎn)】無理方程．【分析】方程兩邊同時乘方后將無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解后驗根即可確定正確的答案．【解答】解：方程兩邊同時乘方得：6﹣x=x2，解得：x=﹣3或x=2，當(dāng)x=﹣3時，左邊===3≠右邊，所以舍去，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了無理方程的解法，解題的關(guān)鍵是了解如何將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程求解．11．（4分）（2014?松江區(qū)三模）不等式組的解集是x＞1．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．【分析】求出每個不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出即可．【解答】解：∵解不等式3x﹣2＞x得：x＞1，解不等式≤3x得：x≥，∴不等式組的解集是x＞1，故答案為：x＞1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式組的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集．12．（4分）（2014?松江區(qū)三模）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍是m＞4．【考點(diǎn)】根的判別式．【分析】根據(jù)根的判別式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．【解答】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣4x+m=0沒有實(shí)數(shù)根，∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×m＜0，解得：m＞4，故答案為：m＞4．【點(diǎn)評】本題主要考查對根的判別式，解一元一次不等式等知識點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)題意得出（﹣4）2﹣4×1×m＜0是解此題的關(guān)鍵．13．（4分）（2006?旅順口區(qū)）在“石頭、剪刀、布”的游戲中，兩人做同樣手勢的概率是．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可．【解答】解：兩人做手勢所有機(jī)會均等的結(jié)果有9種，其中的3個（石頭，石頭）、（剪刀，剪刀），（布，布）是我們所關(guān)注的結(jié)果，所以P（同種手勢）=．

小剛小強(qiáng)石頭剪刀布石頭（石，石）（石，剪）（石，布）剪刀（剪，石）（剪，剪）（剪布）布（布，石）（布，剪）（布，布）【點(diǎn)評】如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=．14．（4分）（2014?松江區(qū)三模）甲、乙兩人都加工a個零件，甲每小時加工20個，如果乙比甲晚工作1小時，且兩人同時完成任務(wù)，那么乙每小時加工個零件（用含a的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】列代數(shù)式（分式）．【分析】此題中，乙比甲少工作1個小時．根據(jù)工作時間=工作量÷工作效率列式．【解答】解：甲加工a個零件需要是時間是，乙工作時間是﹣1．則乙每小時加工的零件是：=．故答案是：．【點(diǎn)評】本題考查了列代數(shù)式．找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題考查工作時間=工作總量÷工作效率這個等量關(guān)系．15．（4分）（2014?松江區(qū)三模）如圖，已知在?ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，DE與對角線AC相交于點(diǎn)F．如果，，那么=（用含、的式子表示）．【考點(diǎn)】*平面向量．【分析】先求出DF：EF的值，從而可得DF：DE，表示出，即可得出．【解答】解：∵DF：EF=DC：AE=2：1，∴DF：DE=，∵=﹣=﹣，∴=（﹣）=﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的知識，解答本題的關(guān)鍵是先確定各線段之間的關(guān)系，難度一般．16．（4分）（2014?松江區(qū)三模）小明在大樓上的窗口A處看見地面B處蹲著一只小狗，如果窗口離地面的高度AC為30米，小狗離大樓的距離BC為40米，那么小明看見小狗時的俯角約等于37度（備用數(shù)據(jù)：tan37°=cot53°≈0.75）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而得出∠DAB=∠B，AC=30m，BC=40m，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出即可．【解答】解：如圖所示：由題意可得出：小明看見小狗時的俯角為∠DAB=∠B，AC=30m，BC=40m，tanB===0.75，故∠B=37°．故答案為：37．【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意得出∠DAB=∠B是解題關(guān)鍵．17．（4分）（2014?松江區(qū)三模）已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，那么以點(diǎn)D為圓心，DE為半徑的圓與直線BC的位置關(guān)系是相離．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)勾股定理求出AF的長，再由點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)得出DE是△ABC的中位線，故可得出DE即GF的長，由此可得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=AC=13，BC=10，∴BF=BC=5，∴AF===12．∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=5，GF=AF=6，∵5＜6，∴⊙D與直線BC的位置關(guān)系是相離．故答案為：相離．【點(diǎn)評】考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是得到點(diǎn)D到直線AC的距離．18．（4分）（2014?松江區(qū)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=，現(xiàn)作如下操作：將△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′（點(diǎn)A′、C、B′的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A、C、B），聯(lián)結(jié)A′B，如果△AA′B是等腰三角形，那么B′C的長是．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)余弦的定義得到cosB==，則可得到BC=3，再利用勾股定理計算出AC=4，由于∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，所以只有AA′=AB=5，則A′C=AA′+AC=9，再根據(jù)折疊和位似的性質(zhì)得∠B′=∠B，于是可判斷Rt△A′B′C∽Rt△ABC，然后利用相似比可計算出B′C．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，cosB=，∴cosB==，即BC=3，∴AC==4，∵∠BAA′＞90°，△AA′B是等腰三角形，∴AA′=AB=5，∴A′C=AA′+AC=5+4=9，∵△ACB沿直線AC翻折，然后再放大得到△A′CB′，∴∠B′=∠B，∴Rt△A′B′C∽Rt△ABC，∴=，即=，∴B′C=．故答案為．【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）（2014?松江區(qū)三模）先化簡，再計算：，其中x=．【考點(diǎn)】分式的化簡求值．【專題】計算題．【分析】原式約分后，利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式=?﹣=﹣=，當(dāng)x=+1時，原式==2﹣．【點(diǎn)評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20．（10分）（2014?松江區(qū)三模）已知：二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，3）．求：這個二次函數(shù)的解析式，及這個函數(shù)圖象的對稱軸．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A（1，0）和B（2，3）代入二次函數(shù)y=2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，從而求得函數(shù)關(guān)系式，在利用x=﹣求出圖象的對稱軸；【解答】解：∵二次函數(shù)y=2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（2，3），∴解得∴這個二次函數(shù)的解析式為y=2x2﹣3x+1，這個函數(shù)圖象的對稱軸為直線．【點(diǎn)評】題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，題目比較基礎(chǔ)，難度不大．21．（10分）（2014?松江區(qū)三模）已知：如圖，⊙O的弦AB長為8，延長AB至C，使BC=AB，tanC=．求：（1）⊙O的半徑；（2）點(diǎn)C到直線AO的距離．【考點(diǎn)】垂徑定理；解直角三角形．【分析】（1）作OD⊥AB，垂足為點(diǎn)，求出AD、CD，根據(jù)勾股定理求出AO即可；（2）解直角三角形即可求出答案．【解答】解：（1）作OD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，由垂徑定理，得AD=BD，∵BC=AB=8，∴AD=4，CD=12，∵，∴OD=3，∴AO=5，由勾股定理得：AO==5，即⊙O的半徑等于5；（2）作CE⊥AO，垂足為點(diǎn)E，∵，∴，解得，∴點(diǎn)C到直線AO的距離是．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計算的能力，題目比較典型，難度適中．22．（10分）（2014?松江區(qū)三模）某公司2011年銷售一種產(chǎn)品的年利潤為300萬元，如果2012年和2013年銷售這種產(chǎn)品年利潤的增長率相同，且2013年比2012年的年利潤增加了72萬元，求2013年銷售這種產(chǎn)品的年利潤．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【專題】增長率問題．【分析】設(shè)銷售這種產(chǎn)品年利潤的增長率為x．等量關(guān)系：2013年比2012年的年利潤增加了72萬元．【解答】解：設(shè)銷售這種產(chǎn)品年利潤的增長率為x．由題意，得300（1+x）2﹣300（1+x）=72．解得x=0.2．則300（1+x）2=300（1+0.2）2=432．答：2013年銷售這種產(chǎn)品的年利潤為432萬元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．23．（12分）（2014?松江區(qū)三模）已知：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，AE、AF分別與BD相交于點(diǎn)M、N．（1）求證：EF∥BD；（2）當(dāng)MN：EF=2：3時，求證：△AMN是等邊三角形．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)和已知條件易證△ABE≌△ADF，所以BE=DF，再證明，即可得到EF∥BD；（2）根據(jù)已知條件可證明AM=AN，由（1）可知：AE=AF，進(jìn)而可證明：△AMN是等邊三角形．【解答】證明：（1）在菱形ABCD中，∵AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，∴∠AEB=∠AFD=90°．在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF．∴BE=DF，又∵BC=CD，∴，∴EF∥BD；（2）∵M(jìn)N∥EF，MN：EF=2：3，∴．∴．∵BE∥AD，∴．而AD=AB，∴．∴∠BAE=30°．∵AB∥CD，AF⊥CD，∴∠BAF=90°．∴∠EAF=60°．∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF．而，∴AM=AN．∴△AMN是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定方法，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．24．（12分）（2014?松江區(qū)三模）如圖，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，第一象限中的點(diǎn)A是函數(shù)圖象上異于點(diǎn)P的一點(diǎn)，作AB∥y軸，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)B，作AC∥x軸，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)C．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）試猜想：∠B的大小是否隨點(diǎn)A位置的變化而變化？如果不變，求出∠B的度數(shù)，如果變化，請說明理由；（3）當(dāng)BC平分∠ABP時，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）由正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，又由反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)P，即可求得反比例函數(shù)的解析式；（2）首先設(shè)正比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m）（m＞0且m≠1）．由題意可得∠BAC=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，m），繼而求得∠B=30°；（3）由當(dāng)BC平分∠ABP時，那么∠ABP=60°．可設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=kx+b，交x軸于點(diǎn)D，y軸于點(diǎn)E．繼而可求得PB的解析式，則可求得答案．【解答】解：（1）∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)P，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，），又∵反比例函數(shù)的圖象也經(jīng)過點(diǎn)P，∴，即．∴所求反比例函數(shù)的解析式為；（2）不變．證明如下：設(shè)正比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，m）（m＞0且m≠1）．由題意，得∠BAC=90°，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，m）．∴AB=，AC=．∴，∴銳角∠B=30°，即不變．（3）當(dāng)BC平分∠ABP時，那么∠ABP=60°．設(shè)直線PB的表達(dá)式為y=kx+b，交x軸于點(diǎn)D，y軸于點(diǎn)E．那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，b）、點(diǎn)D的坐標(biāo)為（b，0）．∴0=bk+b．解得：．又∵直線PB經(jīng)過點(diǎn)P，∴．解得：．∴直線PB的表達(dá)式為：，又∵，解得：；∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，）．【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．25．（14分）（2014?松江區(qū)三模）已知：如圖，在梯形AB