彈性力學(xué)讀書報(bào)告

作業(yè)1：《彈性力學(xué)》讀書報(bào)告一、彈性力學(xué)的作用彈性力學(xué)主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機(jī)械設(shè)計(jì)中所提出的強(qiáng)度和剛度問題。它是材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)、塑性力學(xué)和某些交叉學(xué)科的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于建筑、機(jī)械、化工、航天等工程領(lǐng)域。彈性體是變形體的一種，它的特征為：在外力作用下物體變形，當(dāng)外力不超過某一限度時(shí)，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。絕對彈性體是不存在的。物體在外力除去后的殘余變形很小時(shí)，一般就把它當(dāng)作彈性體處理。彈性力學(xué)在常用坐標(biāo)系下的基本方程2.1平衡微分方程物體處在平衡狀態(tài)，其內(nèi)部的每一點(diǎn)都處于平衡狀態(tài)。使用一個(gè)微六面體代表物體內(nèi)的一點(diǎn)，則作用在該微六面體上的所有力應(yīng)滿足平衡條件，由此可以導(dǎo)出平衡微分方程。如圖1所示，取直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸和邊重合，各邊的長度分別為dx，dy，dz。在微六面體x=0面上，應(yīng)力是σxτxyτxz；在x=dx面上的應(yīng)力，圖1根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的連續(xù)性并按泰勒級數(shù)對x=0的面展開，略去高階項(xiàng)，可得同理，可由y=0，z=0面上的應(yīng)力表示y=dy，z=dz面上的應(yīng)力。最后，所有各面上的應(yīng)力如圖一示。當(dāng)彈性體平衡時(shí)，P點(diǎn)的平衡就以微元體平衡表示。這樣，就有6個(gè)平衡方程考慮微單元體沿x方向的平衡，可得整理上式并除以微單元體的體積dxdydz，得（1）同理，建立y、z方向的平衡條件，可得（2）這就是彈性力學(xué)的平衡微分方程，其中X，Y，Z是單位體積里的體積力沿x，y，z方向上的分量?？紤]圖一中微單元體的力矩平衡。對通過點(diǎn)C平衡于x方向的軸取力矩平衡得于是力矩平衡方程在略去高階項(xiàng)之后只剩兩項(xiàng)由此可得同理可得這既是剪應(yīng)力互等定理。它表明：在兩個(gè)互相垂直的平面上，與兩個(gè)平面的交線垂直的剪應(yīng)力分量的大小相等，方向指向或者背離這條交線。根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，式（1）和（2）中包含的九個(gè)應(yīng)力分量中只有6個(gè)是獨(dú)立的，這6個(gè)應(yīng)力描述了物體內(nèi)部的任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。2.2幾何方程2.3物理方程物理方程的矩陣形式其中矩陣[D]稱為三維應(yīng)力狀態(tài)下的彈性矩陣三、彈性力學(xué)解題的主要方法3.1位移解法位移解法是以位移分量作為基本未知量的解法。把平衡方程、本構(gòu)方程和幾何方程簡化為三個(gè)用位移分量表示的平衡方程，從中解出位移分量。然后再代回幾何方程和本構(gòu)方程，進(jìn)而求出應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。3.2應(yīng)力解法應(yīng)力解法是以應(yīng)力分量作為基本的未知數(shù)的解法。由協(xié)調(diào)方程、本構(gòu)方程和平衡方程簡化出六個(gè)用應(yīng)力分量表示的協(xié)調(diào)方程，再加上平衡方程和力邊界條件解出六個(gè)應(yīng)力分量。然后由本構(gòu)方程求出應(yīng)變分量，再對幾何方程積分即可得到位移分量。由于應(yīng)力與應(yīng)變間的胡克定律是代數(shù)方程，應(yīng)變解法的求解難度不會(huì)比應(yīng)力解法有實(shí)質(zhì)性的改善，而邊界條件用應(yīng)力表示則方便很多，所以很少采用應(yīng)變解法。3.3應(yīng)力函數(shù)解法在位移解法中，引進(jìn)三個(gè)單值連續(xù)的位移函數(shù)，使協(xié)調(diào)方程自動(dòng)滿足，問題被歸結(jié)為求解三個(gè)用位移表示的位移方程。應(yīng)變分量可由位移偏導(dǎo)數(shù)的組合來確定。與此類似，在應(yīng)力解法中也有可以引進(jìn)某些自動(dòng)滿足平衡方程的函數(shù)，稱之為應(yīng)力函數(shù)，把問題歸結(jié)為求解用應(yīng)力函數(shù)表示的協(xié)調(diào)方程。應(yīng)力分量可由應(yīng)力函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的組合來確定。應(yīng)力函數(shù)解法既保留了應(yīng)力解法的優(yōu)點(diǎn)（能直接求出應(yīng)力分量），又吸收了位移解法的思想（能自動(dòng)滿足平衡方程，基本未知數(shù)降為三個(gè)），所以是彈性力學(xué)理論中最常用的解法之一。四、列舉2-3個(gè)例題例一：懸臂梁確定應(yīng)力函數(shù)的邊界條件圖2以A（0，h/2）為起始點(diǎn)，調(diào)整中的任意常數(shù)使（a）選左手坐標(biāo)系且M以逆時(shí)針為正，應(yīng)力函數(shù)在邊界條件上滿足逆時(shí)針向：（b）順時(shí)針向：（c）其中，г為流動(dòng)邊界點(diǎn)。Rx，Ry和Mг分別是從A點(diǎn)起算的邊界載荷對г點(diǎn)簡化的主矢量和逆時(shí)鐘向主距。在下邊界AB上，載荷處處為零。由（b）式得：（d）左邊界AC是放松邊界，不必逐點(diǎn)給定φ及其偏導(dǎo)數(shù)值。在邊界CD上，按順時(shí)鐘向公式（c）得（e）（2）選擇域內(nèi)應(yīng)力函數(shù)由應(yīng)力函數(shù)沿主要邊界的分布規(guī)律可看出，φ沿x方向按二次多項(xiàng)式規(guī)律變化，沿y方向的規(guī)律未知，由此可選（f）帶入邊界條件（d（e）可以定出待定函數(shù)的邊界條件當(dāng)y=h/2時(shí)，f0=f1=f2=0（g）當(dāng)y=－2時(shí)，f0=－M；f1=－P；f2=－q（h）（3）求待定函數(shù)由邊界條件（g）可得出各待定常數(shù)：（i）進(jìn)而可得：（j）最后帶回到公式（f）中得：（k）（4）求應(yīng)力把（k）式代入應(yīng)力公式可以得到：（l）例2：矩形薄板矩形薄板的位移，受力如圖所示圖3取坐標(biāo)軸如圖所示，把位移函數(shù)設(shè)為所以不論各系數(shù)如何取值，上式都滿足固定邊的位移邊界條件：按瑞利-里茲法求解。板的應(yīng)力邊界條件為板上邊界：板下邊界：板右邊界：將位移試函數(shù)代入式得：將位移試函數(shù)代入應(yīng)變勢能表達(dá)式，通過積分運(yùn)算，將結(jié)果代入上面六個(gè)方程可確定6個(gè)待定系數(shù)。其結(jié)果是：所得的位移分量為：例3：半無限平面圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為）圖4解：很小，，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應(yīng)力函數(shù)代入，可求得應(yīng)力分量：；；邊界條件：（1）；代入應(yīng)力分量式，有或（1）（2）取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有：，