第02講常用邏輯用語精講

第02講常用邏輯用語(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高考真題回歸 3第三部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷 4高頻考點二：充分條件與必要條件的應(yīng)用 6高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比 9高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷 13高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定 15高頻考點六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù) 16第四部分：高考新題型 20①開放性試題 20②劣構(gòu)性試題 21溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、充分條件、必要條件與充要條件的概念（1）若，則是的充分條件，是的必要條件；（2）若且，則是的充分不必要條件；（3）若且，則是的必要不充分條件；（4）若，則是的充要條件；（5）若且，則是的既不充分也不必要條件.拓展延伸一：等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件（1）是的充分不必要條件是的充分不必要條件；（2）是的必要不充分條件是的必要不充分條件；（3）是的充要條件是的充要條件；（4）是的既不充分也不必要條件是的既不充分也不必要條件.拓展延伸二：集合判斷法判斷充分條件、必要條件若以集合的形式出現(xiàn)，以集合的形式出現(xiàn)，即：，：，則（1）若，則是的充分條件；（2）若，則是的必要條件；（3）若，則是的充分不必要條件；（4）若，則是的必要不充分條件；（5）若，則是的充要條件；（6）若且，則是的既不充分也不必要條件.拓展延伸三：充分性必要性高考高頻考點結(jié)構(gòu)（1）是的充分不必要條件且（注意標志性詞：“是”，此時與正常順序）（2）的充分不必要條件是且（注意標志性詞：“的”，此時與倒裝順序）2、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.（2）存在量詞短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.（3）全稱量詞命題及其否定（高頻考點）①全稱量詞命題：對中的任意一個，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②全稱量詞命題的否定：.（4）存在量詞命題及其否定（高頻考點）①存在量詞命題：存在中的元素，有成立；數(shù)學(xué)語言：.②存在量詞命題的否定：.（5）常用的正面敘述詞語和它的否定詞語正面詞語等于（）大于（）小于（）是否定詞語不等于（）不大于（）不小于（）不是正面詞語都是任意的所有的至多一個至少一個否定詞語不都是某個某些至少兩個一個也沒有第二部分：高考真題回歸1．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當時，；若，則，由可得，取，則當時，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”；若存在正整數(shù)，當時，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當時，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當時，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當時，”的充分必要條件.故選：C.2．（2022·天津·高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當為整數(shù)時，必為整數(shù)；當為整數(shù)時，比一定為整數(shù)，例如當時，.所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.3．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：充分條件與必要條件的判斷典型例題例題1．（2023秋·天津河北·高三統(tǒng)考期末）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由得：或，，，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.例題2．（2023秋·河北唐山·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】不等式，解得記，因為，所以“”是“”成立充分不必要條件.故選：A例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，則是的______條件．【答案】充分非必要【詳解】，，因為，所以是的充分非必要條件.故答案為：充分非必要練透核心考點1．（2023秋·云南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)集合，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】當時，，此時有，則條件具有充分性；當時，有或，得到，故不具有必要性，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A．2．（2023秋·云南楚雄·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由，可得；由，可得．故“”是“”的必要不充分條件．故選：B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知命題p：，q：，那么p是q的_______條件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）．【答案】充分非必要【詳解】不等式解得，命題p：，命題q：，命題p：成立，能推出命題q：成立，命題q：成立，不能推出命題p：成立，所以p是q的充分非必要條件.故答案為：充分非必要高頻考點二：充分條件與必要條件的應(yīng)用典型例題例題1．（2023秋·山東濟南·高一統(tǒng)考期末）已知集合或，.(1)當時，求；(2)若“”是“”成立的必要不充分條件，求的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【詳解】（1）當時，或，由，得，所以，所以或.（2）若“”是“”成立的必要不充分條件，則是的真子集，故，解得.例題2．（2023春·湖南邵陽·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知全集，集合，______．在下面三個條件中任選一個，補充在上面的已知條件中并作答：①②③(1)當時，求；(2)當時，“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，(2)【詳解】（1）當時，，或．選①，，解得，∴，∴．選②，,解得，，∴．選③，，，，∴．（2）當時，，∵“”是“的充分不必要條件，∴，解得．故的范圍為．例題3．（2023秋·江蘇鹽城·高一江蘇省上岡高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)定義域為，集合.(1)求集合；(2)若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意知：，解得或.集合.對于集合B滿足：.又.（2）若是的充分不必要條件，則集合是的真子集，由（1）知，只需滿足或即可，解得或.綜述，滿足題意的的取值范圍是.練透核心考點1．（2023春·廣東廣州·高一廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【詳解】由，解得，即，記；由，解得，即，記，因為是的充分不必要條件，所以，即，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：.2．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知全集為R，集合，.(1)求；(2)若，且“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1），又，；（2）因為“”是“的必要不充分條件，所以，因為，所以且等號不同時成立，解得，即3．（2023秋·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）設(shè)p：實數(shù)x滿足，q：實數(shù)x滿足．(1)若q為真，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若p是q的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）若q為真，則實數(shù)x滿足，即，所以，解得：，即q為真時，實數(shù)x的取值范圍為；（2）對于p：實數(shù)x滿足，變形為：，即，所以，對于q，由（1）有：，因為p是q的必要不充分條件，則q可推出p，而p不能推出q則，解得，故實數(shù)a的取值范圍為.4．（2023秋·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，集合，其中．(1)若“”是“”成立的必要不充分條件，求的取值范圍；(2)若命題“，使得”是真命題，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），得，解得：，即，因為“”是“”成立的必要不充分條件，所以，則，解得：；（2）由條件可知，，或，所以或，解得：，所以的取值范圍是高頻考點三：充分條件與必要條件（“是”，“的”）結(jié)構(gòu)對比典型例題例題1．（2023秋·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）下列選項中，是“不等式在上恒成立”的一個必要不充分條件的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，其圖象開口向上，∵不等式在上恒成立，∴，解得，又∵，∴是的必要不充分條件，選項,,則是的充要條件，選項,,則是的充分不必要條件，選項,,則是的充分不必要條件.故選：A.例題2．（多選）（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末）已知命題：關(guān)于的不等式的解集為，那么命題的一個必要不充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，則，解得又，，故選：CD．例題3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．或【答案】C【詳解】因為，所以，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，則，故，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：C．例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式的解集為，則成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為若不等式的解集為，所以與3是方程的兩個根，且，由韋達定理可知，，，所以可化為，解得．由A，B，C，D四個選項中可知，只有選項D滿足是的真子集，從而成立的一個必要不充分條件是.故選：D.練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合的一個必要條件是，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解不等式，即，得，故，所以的一個必要條件是，則對于A,，不一定是的子集，A錯誤；對于B，，不是的子集，B錯誤；對于C，，是的子集，C正確；對于D,,不一定是的子集，比如時，D錯誤；故選：C2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）命題“，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為為真命題，所以或，對A，是命題“”為真命題的充分不必要條件，A對，對B，是命題“”為真命題的充要條件，B錯，對C，是命題“”為真命題的必要不充分條件，C錯，對D，是命題“”為真命題的必要不充分條件，D錯，故選：A3．（2023春·新疆烏魯木齊·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)，，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為p是q的充分不必要條件，所以，所以，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.4．（2023秋·湖北襄陽·高一襄陽四中?？计谀┤簟啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，則實數(shù)k的取值范圍是______．【答案】或【詳解】由，則，由，則或，因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，則或，即或．故答案為：或．高頻考點四：全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷典型例題例題1．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀╆P(guān)于命題，下列說法正確的是（

）A．，且命題是假命題B．，且命題是真命題C．，且命題是假命題D．，且命題是真命題【答案】A【詳解】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得，對于命題，當時，，即命題是真命題，所以命題是假命題.故選：A.例題2．（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列命題的否定中，真命題的是（

）A．， B．所有正方形既是矩形也是菱形C．， D．所有三角形都有外接圓【答案】AC【詳解】選項A，，所以原命題為假命題，則原命題的否定為真命題，所以選項A滿足條件；選項B，所有正方形既是矩形也是菱形，原命題是真命題，原命題的否定為假命題，所以選項B不滿足條件；選項C，當時，，所以原命題為假命題，原命題的否定為真命題，所以選項C滿足條件；選項D，所有三角形都有外接圓，原命題是真命題，原命題的否定為假命題，所以選項D不滿足條件.故選：AC.例題3．（2023·高一課時練習(xí)）下列命題中是真命題的有________________（填序號）．（1），（2）所有的正方形都是矩形（3），（4）至少有一個實數(shù)，使【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，故（1）正確；（2）因為正方形的四個角都是直角，故（2）正確；（3）因為恒成立，故（3）錯誤；（3）因為沒有實數(shù)根，故（4）錯誤.綜上所述，正確的有（1）（2）.故答案為：（1）（2）.練透核心考點1．（2023·高一課時練習(xí)）下列四個命題中，是真命題的為（

）A．任意，有 B．任意，有C．存在，使 D．存在，使【答案】C【詳解】由于對任意，都有，因而有，故A為假命題．由于，當時，不成立，故B為假命題．由于，當時，，故C為真命題．由于使成立的數(shù)只有，而它們都不是有理數(shù)，因此沒有任何一個有理數(shù)的平方等于3，故D是假命題．故選：C2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列命題中的假命題是A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】試題分析：當x=1時，（x-1）2=0,顯然選項B中的命題為假命題，故選B．3．（多選）（2023春·河南漯河·高一漯河高中?？奸_學(xué)考試）在下列命題中，真命題是（

）A．命題“”的否定形式是：“，”.B．.C．，使得.D．.【答案】AC【詳解】對于A，特稱命題的否定為全稱命題，所以命題“”的否定形式是：“，”，正確；對于B，，所以不正確；對于C，當時，所以正確；對于D，當是，，所以不正確.故選：AC.高頻考點五：含有一個量詞的命題的否定典型例題例題1．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┟}“，是奇函數(shù)”的否定是（

）A．，是偶函數(shù) B．，不是奇函數(shù)C．，是偶函數(shù) D．，不是奇函數(shù)【答案】B【詳解】命題“，是奇函數(shù)”的否定是：，不是奇函數(shù).故選：B.例題2．（2023·河南信陽·河南省信陽市第二高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知命題：，使得且，則為（

）A．，使得且 B．，使得或C．，使得或 D．，使得且【答案】C【詳解】“存在一個符合A且B”的否定為“任意一個都不符合A且B”，即“任意一個都符合或”.即使得或,故選：C.例題3．（2023秋·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）命題：，的否定為___________；使命題成立的一個的值為___________．【答案】

，

【詳解】解：因為命題p：，，所以命題p：，；當時，成立，所以命題p成立的一個x的值為1.故答案為：，，1.練透核心考點1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知命題，使得，則為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】因為，使得，根據(jù)特稱命題的否定得：，．故選：B．2．（2023秋·山東濟寧·高一統(tǒng)考期末）已知命題：，，則是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】：，.故選：C.3．（2023春·廣東廣州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）命題“，”的否定是______.【答案】，【詳解】命題“，”的否定是“，”，故答案為：，.高頻考點六：根據(jù)全稱（特稱）命題的真假求參數(shù)典型例題例題1．（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知命題“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：因為命題“，”為真命題，所以，命題“，”為真命題，所以，時，，因為，，所以，當時，，當且僅當時取得等號.所以，時，，即實數(shù)的取值范圍是故選：C例題2．（2023秋·四川成都·高一統(tǒng)考期末）若“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【詳解】命題“，”的否定是：，，依題意，命題“，”為真命題，當時，成立，則，當時，不等式恒成立，則，解得，綜上得：，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：例題3．（2023·高三課時練習(xí)）已知命題“存在，使等式成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【詳解】由，可得：.因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的值域為.若命題“存在，使等式成立”是真命題，則.所以命題“存在，使等式成立”是假命題時，實數(shù)m的取值范圍是或.即實數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）命題：，為真命題的一個充分條件是_________．【答案】（不唯一，集合的子集即可）【詳解】解：因為，對于，為真命題，所以，對于，恒成立，所以，對于，恒成立，因為，對勾函數(shù)的最大值為，所以，對于，恒成立，則所以，命題為真命題時，的取值范圍是，所以，命題：，為真命題的一個充分條件可以是（不唯一，集合的子集即可）故答案為：（不唯一，集合的子集即可）練透核心考點1．（2023秋·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）若，使得成立是假命題，則實數(shù)可能取值是（

）．A． B． C．4 D．5【答案】B【詳解】由題意得：，成立是真命題，故在上恒成立，由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，故，故選：B.2．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.當時，由可得，不合乎題意；當時，由題意可得，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.3．（2023秋·四川眉山·高二眉山中學(xué)?？计谀┤裘}：“，使”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為____．【答案】或【詳解】由題意得，“，使”是真命題，當時，易得時命題成立；當時，由拋物線開口向下，命題不成立；當時，則命題等價于，即或故答案為：或4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）命題“，”為假命題，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.①當時，可得.若，則有，合乎題意；若，則有，解得，不合乎題意；②若，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.第四部分：高考新題型①開放性試題1．（2023春·北京·高三北京市八一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若實數(shù)滿足，則使得成立的一個的值是________.【答案】（答案不唯一）【詳解】解：由得，所以，解得：或，故取即可，答案不唯一故答案為：2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)，寫出“”的一個充分條件：______．【答案】（答案不唯一）．【詳解】只要是集合的子集即可，如．故答案為：（答案不唯一）．3．（2023·全國·高三對口高考）能說明“若，則”為假命題的一組，的值依次為____________．（寫出滿足條件的一組即可）【答案】，（答案不唯一）【詳解】解：使“若則”為假命題，則使“若，則”為真命題即可，只需取，即可滿足，所以滿足條件的一組，的值為，（答案不唯一）．故答案為：，（答案不唯一）4．（2022秋·廣東肇慶·高一?？茧A段練習(xí)）若“”是“”的必要不充分條件，則的值可以是__________.（寫出滿足條件的一個值即可）【答案】（答案不唯一，滿足即可）【詳解】由于“”是“”的必要不充分條件，所以，所以的值只需小于即可.故答案為：（答案不唯一，滿足即可）②劣構(gòu)性試題1．（2023秋·山東濟寧·高一濟寧一中?？计谀蘑佟俺浞植槐匾獥l件”、②“必要不充分條件”兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集合，.(1)若，求；(2)若存在正實數(shù)，使得“”是“”成立的，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)條件選擇，答案見解析.【詳解】（1）依題意，，解得，即，當時，解不等式得：，即,所以.（2）選①，由（1）知，，，解不等式得：，即，因為“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，則有，于是得或，解得或，即有，所以正實數(shù)