第二章不等式第五課時

第二章不等式第五課時第1頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月考綱要求1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決.第2頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月知識梳理一、二元一次不等式表示的平面區(qū)域在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)有直線Ax＋By＋C＝0(B不為0)及點P(x0，y0)，則1．若B>0，Ax0＋By0＋C>0，則點P在直線的上方，此時不等式Ax＋By＋C>0表示直線Ax＋By＋C＝0的上方的區(qū)域．2．若B>0，Ax0＋By0＋C<0，則點P在直線的下方，此時不等式Ax＋By＋C<0表示直線Ax＋By＋C＝0的下方的區(qū)域．(注：若B為負(fù)，則可先將其變?yōu)檎?由此可知，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)第4頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月域．我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不含邊界直線．當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實線．由于對在直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得到的實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的正負(fù)情況，即可判斷Ax＋By＋C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域．特殊地，當(dāng)C≠0時，直線不過原點，通常把原點作為特殊點．第5頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月二、線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題．滿足線性約束條件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域(類似函數(shù)的定義域)；使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解．生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題．線性規(guī)劃問題一般用圖解法，其步驟如下1．根據(jù)題意，設(shè)出變量x、y；2．找出線性約束條件；3．確定線性目標(biāo)函數(shù)z＝f(x，y)；第6頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月4．畫出可行域(即各約束條件所表示區(qū)域的公共區(qū)域)；5．利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系f(x，y)＝t(t為參數(shù))；6．觀察圖形，找到直線f(x，y)＝t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案．第7頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月基礎(chǔ)自測1．(2010年全國卷Ⅰ)若變量x，y滿足約束條件則z＝x－2y的最大值為()A．4B．3C．2D．1解析：畫出可行域(如下圖)，z＝x－2y?y＝x－z，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點A(1，－1)時，z最大，且最大值為zmax＝1－2×(－1)＝3.答案：B第8頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月2A．(2011年廣州一模)某所學(xué)校計劃招聘男教師x名，女教師y名，x和y須滿足約束條件則該校招聘的教師人數(shù)最多是 （） A．6 B．8 C．10 D．12C第9頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月2B．(2010年郴州模擬)若實數(shù)x、y滿足則的取值范()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：可看作可行域中的點與原點構(gòu)成直線的斜率，畫出可行域可得≥2.故選D.答案：D第10頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月3．(2010年茂名一模)已知實數(shù)x，y滿足不等式組，目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－ax(a∈R)．若取最大值時的唯一最優(yōu)解是(1,3)，則實數(shù)a的取值范圍是_________．(1，＋∞)4．(2011年廈門一中月考)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，若函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象沒有經(jīng)過區(qū)域M，則a的取值范圍是________________________．(0,1)∪(1,2)∪(9，＋∞)第11頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月試畫出不等式組，表示的平面區(qū)域．解析：分別畫出不等式x－y≤1,2x＋y≤4，x≥1所表示的平面區(qū)域，它們的公共區(qū)域就是不等式組所表示的平面區(qū)域．(如右圖所示)第13頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月變式探究1．用平面區(qū)域表示不等式組的解集．解析：由于所求平面區(qū)域的點的坐標(biāo)要同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分．不等式y(tǒng)<－3x＋12表示直線y＝－3x＋12下方的區(qū)域；不等式x≤2y表示直線y＝x上方的區(qū)域．取兩區(qū)域重疊的部分，上圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集．第14頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月

(2010年柳州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組，表示的平面區(qū)域的面積是()A．4B．4C．2D．2思路分析：本題考查簡單的線性規(guī)劃的可行域、三角形的面積．第15頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：由題意，作出已知的不等式組表示的平面區(qū)域，即△ABC所在區(qū)域(如右圖所示)，其中，三個頂點分別為A(2,4)、B(2,0)、C(0,2)．于是，三角形ABC的面積為S△ABC＝＝4.答案：B第16頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月變式探究(2012年合肥模擬)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.B.C.D.解析：不等式組所表示的平面區(qū)域面積為右圖所示陰影部分．由可得C(1,1)，故S陰＝×|AB|×xc＝.答案：C第17頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)x，y滿足約束條件，分別求：(1)z＝6x＋10y；(2)z＝2x－y；(3)z＝2x－y(x，y均為整數(shù))的最大值，最小值．思路分析：由于所給的約束條件及目標(biāo)函數(shù)均為關(guān)于x，y的一次式，所以此問題是簡單線性規(guī)劃問題，使用圖解法求解．第18頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：(1)先作出可行域，如右圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)，B(1,1)，C，作出直線L0：6x＋10y＝0，再將直線L0平移，當(dāng)L0的平行線過B點時，可使z＝6x＋10y達(dá)到最小值，當(dāng)L0的平行線過A點時，可使z＝6x＋10y達(dá)到最大值．所以zmin＝16；zmax＝50.(2)同上，作出直線L0：2x－y＝0，再將直線L0平移，當(dāng)L0的平行線過C點時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值第19頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)L0的平行線過A點時，可使z＝2x－y達(dá)到最大值所以zmin＝－；zmax＝8.(3)同上，作出直線L0：2x－y＝0，再將直線L0平移，當(dāng)L0的平行線過C點時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值－，當(dāng)L0的平行線過A點時，可使z＝2x－y達(dá)到最大值8.但由于不是整數(shù)，而最優(yōu)解(x，y)中，x，y必須都是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點C不是最優(yōu)解，當(dāng)L0的平行線經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(1,4)時，可使z＝2x－y達(dá)到最小值，所以zmin＝－2.第20頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月點評：(1)線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值一般在可行域的頂點處取得，也可能在邊界處取得(如：上題第一小題中z＝6x＋10y的最大值可以在線段AC上任一點取到)．(2)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義——在y軸上的截距或其相反數(shù)．第21頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月變式探究3.(2011年廣州執(zhí)信中學(xué)檢測)設(shè)變量x，y滿足約束條件：則z＝x－3y的最小值為()

A．－2B．－4C．－6D．－8第22頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：如下圖作出可行域，知可行域的頂點是A(－2,2)、B及C(－2，－2)，于是目錄函數(shù)z＝x－3y在A(－2,2)取得最小值，最小值為－8.答案：D第23頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品，每件銷售收入分別為3千元、2千元．甲、乙產(chǎn)品都需要在A，B兩種設(shè)備上加工，在每臺A，B上加工一件甲所需工時分別為1小時、2小時，加工一件乙所需工時分別為2小時、1小時，A，B兩種設(shè)備每月有效使用臺時數(shù)分別為400和500.如何安排生產(chǎn)可使收入最大？思路分析：這個問題的數(shù)學(xué)模型是二元線性規(guī)劃．為此，需要確定線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)．第24頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：第25頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x，y，則約束條件是x+2y≤4002x+y≤500x≥0y≥0目標(biāo)函數(shù)是z＝3x＋2y.要求出適當(dāng)?shù)膞，y，使z＝3x＋2y取得最大值．如上圖所示，先畫出可行域．考慮3x＋2y＝z，z是參數(shù)，將它變形為y＝－3/2x＋z/2，它是斜率為－3/2，隨z變化的一組直線.是直線在y軸上截距，當(dāng)最大時，z最大，當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時，目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋2y取得最大值．第26頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月容易求得兩直線2x＋y＝500與x＋2y＝400的交點是(200,100)，即安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件、乙產(chǎn)品100件，可使收入3x＋2y取得最大值．點評：線性規(guī)劃的實際問題包括兩種基本類型：第一種是已知一定數(shù)量的人力、物力資源，求如何運用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大、收到的效益最大；第二種是給定一項任務(wù)，問如何統(tǒng)籌安排才能使完成該項任務(wù)的人力、物力資源量最?。?7頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月4．某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y必須滿足則z＝10x＋10y的最大值是()5x-11y≥-222x+3y≥92x≤11約束條件A．80B．85C．90D．95第28頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：畫出可行域(如圖的陰影部分)，易得A(5.5,4.5)，注意到x，y均為正整數(shù)，故當(dāng)且僅當(dāng)時，z＝10x＋10y取得最大值zmax＝10×5＋10×4＝90.答案：C第29頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月某人上午7時，乘摩托艇以勻速v海里/時(4≤v≤20)從A港出發(fā)到距50海里的B港去，然后乘汽車以勻速w千米/時(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市駛?cè)?，?yīng)該在同一天下午4至9點到達(dá)C市．設(shè)汽車、摩托艇所需的時間分別是x、y小時．(1)作出表示滿足上述條件的x、y范圍；(2)如果已知所要經(jīng)費p＝100＋3·(5－x)＋2·(8－y)(元)，那么v、w分別是多少時，走得最經(jīng)濟？此時需花費多少元？第30頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：(1)第31頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月由題得v＝50/y，w＝300/x，4≤v≤20,30≤w≤100.所以3≤x≤10，5/2≤y≤25/2.由于乘汽車、摩托車所需的時間和x＋y應(yīng)滿足：9≤x＋y≤14，因此滿足上述條件的點(x，y)的范圍是如上圖中的陰影部分(包括邊界)．(2)∵p＝100＋3·(5－x)＋2·(8－y)，∴3x＋2y＝131－p.第32頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月要使p最小，則131－p最大．在圖中的陰影部分區(qū)域(包括邊界)且斜率為－3/2的直線3x＋2y＝k中，使k值最大的直線必通過點(10,4)，即當(dāng)x＝10，y＝4時p最?。藭r，v＝12.5.w＝30，p的最小值為93元．點評：要能從實際問題中，建構(gòu)有關(guān)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型．第33頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月變式探究5．(2011年樂陵一中模擬)某公司計劃2009年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？第34頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋2000y.二元一次不等式組等價于第35頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．如右圖：作直線l：3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過M點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．第36頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月聯(lián)立解得x＝100，y＝200.∴點M的坐標(biāo)為(100,200)．∴zmax＝3000x＋2000y＝700000(元)．答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．第37頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月(2010年福建卷)設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域Ω1，平面區(qū)域Ω2與Ω1關(guān)于直線3x－4y－9＝0對稱，對于Ω1中的任意一點A與Ω2中的任意一點B，|AB|的最小值等于()A.28/5B．4C.12/5D．2教師用書備選題第38頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：由題意知，所求的|AB|的最小值，即為區(qū)域Ω1中的點到直線3x－4y－9＝0的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點A(1,1)到直線3x－4y－9＝0的距離最小，故|AB|的最小值為2×＝4，故選B.答案：B第39頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月變式探究6．(2010年沈陽模擬)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為M，使函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是()A．[1,3]B．[2，]C．[2,9]D．[,9]第40頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：區(qū)域M是三條直線相交構(gòu)成的三角形(如圖)顯然a>1，只需研究過(1,9)、(3,8)兩種情形，a1≤9且a3≥8，即2≤a≤9.故選C.第41頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月1．確定二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法與技巧確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用“直線定界，特殊點定域”的方法．(1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，則把直線畫成實線．(2)特殊點定域，即在直線Ax＋By＋C＝0的某一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．特別地，當(dāng)C≠0時，常把原點作為測試點；當(dāng)C＝0時，常選點(1,0)或者(0,1)作為測試點．第42頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月2．線性規(guī)劃問題的求解策略與步驟解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，借助直線(把線性目標(biāo)函數(shù)看成斜率為常數(shù)的一組平行直線)與平面區(qū)域(可行域)的交點，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解．其一般步驟是：(1)設(shè)出所求未知數(shù)；(2)列出約束條件(即不等式組)；(3)建立目標(biāo)函數(shù)；(4)作出可行域；(5)運用圖解法求出最優(yōu)解．第43頁，課件共51頁，創(chuàng)作于2023年2月其中分析題目的已知條件準(zhǔn)確找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可以把題目涉及的量分類列表，理清思路，然后列出不等式組(或方程組)確定約束條件和目標(biāo)函數(shù)．如果可行域是一個多邊形，那么一般在其頂點處取得最優(yōu)解．在求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by的最大值或最小值時，設(shè)ax＋by＝t，則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解．3