穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)課件

第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)9/13/20231第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)8/3/20231一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務之一。穩(wěn)定的充要條件和屬性

穩(wěn)定的基本概念：設(shè)系統(tǒng)處于某一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開了該平衡狀態(tài)。當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統(tǒng)為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則為不穩(wěn)定的系統(tǒng)。9/13/20232一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：上式右邊第一項為零狀態(tài)解，對應與由輸入引起的響應過程。第二項為零輸入解，對應于由初始狀態(tài)引起的響應過程。這項相當于系統(tǒng)齊次微分方程的解。+系數(shù)取決于初始條件的多項式穩(wěn)定的充要條件和屬性式中：x(t)—輸入，y(t)—輸出為常系數(shù)。將上式求拉氏變化，得(初始值不全為零）9/13/20233設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：上式右邊第一項為零狀態(tài)解，對應與由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即傳遞函數(shù)的極點）全為負實數(shù)或具有負實部的共軛復根?；蛘哒f，特征方程的根應全部位于s平面的左半部。穩(wěn)定的充要條件和屬性前面討論的當外作用消失后，如果經(jīng)過足夠長的時間它能回復到原來的起始平衡狀態(tài)可看作第二項經(jīng)過足夠長的時間變?yōu)榱恪?/13/20234線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：穩(wěn)定的充要條件和屬性前面討論的當充要條件說明如果特征方程中有一個正實根，它所對應的指數(shù)項將隨時間單調(diào)增長；如果特征方程中有一對實部為正的共軛復根，它的對應項是發(fā)散的周期振蕩。上述兩種情況下系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征方程中有一個零根，它所對應于一個常數(shù)項，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)；如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應于等幅的周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。從控制工程的角度認為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面9/13/20235充要條件說明如果特征方程中有一個正實根，它所對于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負實根或?qū)嵅繛樨摚τ谌A或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。充要條件說明注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點有關(guān)，與零點無關(guān)。9/13/20236對于一階系統(tǒng)，二、勞思—赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的全部系數(shù)為正值；由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…項系數(shù)組成，第二行為2，4，6，…項系數(shù)組成。勞斯判據(jù)9/13/20237二、勞思—赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù)勞思陣的前9/13/202388/3/20238勞斯判據(jù)以下各項的計算式為：9/13/20239勞斯判據(jù)以下各項的計算式為：8/3/20239勞斯判據(jù)依次類推。可求得9/13/202310勞斯判據(jù)依次類推。可求得8/3/202310勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：均大于零且9/13/202311勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：用一個正數(shù)去乘或除某整行，不會改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點，極點個數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。[例]：系統(tǒng)的特征方程為：-130（2）100（）勞斯陣第一列有負數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號變化兩次，表示有兩個極點在s的右半平面。勞斯判據(jù)特殊情況9/13/202312特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：用一個正數(shù)去乘或除某整行，勞斯判據(jù)特殊情況勞思陣某一行第一項系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。[處理辦法]：用很小的正數(shù)代替零的那一項，然后據(jù)此計算出勞斯陣列中的其他項。若第一次零（即）與其上項或下項的符號相反，計作一次符號變化。[例]：令則

故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個極點。9/13/202313勞斯判據(jù)特殊情況勞思陣某一行第一項系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號相反的一對實根，或一對共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對共軛復根。勞斯判據(jù)特殊情況例如:[處理辦法]：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對此輔助方程式對s求導所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過求解輔助方程得到。輔助方程應為偶次數(shù)的。9/13/202314勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位[例]：168168130380從第一列都大于零可見，好象系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意此時還要計算大小相等位置徑向相反的根再來判穩(wěn)。由輔助方程求得：勞斯判據(jù)特殊情況輔助方程為：，求導得：，或，用1，3，0代替全零行即可。此時系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。控制工程上認為是不穩(wěn)定的。9/13/202315[例]：16816813（二）、胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的胡爾維茨行列式的主子行列式全部為正。胡爾維茨行列式的構(gòu)造：主對角線上的各項為特征方程的第二項系數(shù)至最后一項系數(shù)，在主對角線以下各行中各項系數(shù)下標逐次增加，在主對角線以上各行中各項系數(shù)下標逐次減小。當下標大于n或小于0時，行列式中的項取0。胡爾維茨行列式：9/13/202316（二）、胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)胡爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：9/13/202317胡爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用胡爾維茨判據(jù)：胡爾維茨行列式為胡爾維茨判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-Chipard定理）：若或，則系統(tǒng)穩(wěn)定。胡爾維茨判據(jù)的另一種形式：式中，為胡爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計算工作量。9/13/202318胡爾維茨判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-（三）勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應用

判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3-4]系統(tǒng)的特征方程為：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：排列勞斯陣如下：因為，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個極點。9/13/202319（三）勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應用判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：試用胡爾維茨定理判穩(wěn)。[解]：系統(tǒng)的特征方程為：列胡爾維茨行列式如下：所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計算 這樣可以減小一半的計算量。9/13/202320[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個極點并畫出極點分布圖。[解]：勞斯陣如下行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導數(shù)為：將4,48或1,12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

因為行全為零，所以特征方程必有特殊的根。求解如下：

由于有特征根為共軛虛數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定9/13/202321[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：設(shè)剩余的一個根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極點分布如下：注意：勞斯判據(jù)實際上只能判斷代數(shù)方程的根是在s平面左半閉平面還是在右半開平面。對于虛軸上的根要用輔助方程求出。若代數(shù)方程有對稱于虛軸的實根或共軛復根，則一定在勞斯表的第一列有變號，并可由輔助方程求出9/13/202322設(shè)剩余的一個根為-p。則：

分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個別參數(shù)對穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù)。[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：9/13/202323分析系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性的影響利用勞斯和勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）利用勞斯和胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對穩(wěn)定性。在實際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問題。9/13/202324勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大利用實部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕量為0。作的垂線，若系統(tǒng)的極點都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。一般說，越大，穩(wěn)定程度越高?？捎?代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。[例]系統(tǒng)特征為：，可知它是穩(wěn)定的。令則：行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對輔助方程求導，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，其系數(shù)為1，0。其解為： ，有一對共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度恰為1。9/13/202325利用實部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)特征方程的根的實數(shù)部分不大于-1，試確定k值的取值范圍。[解]：閉環(huán)特征方程為：現(xiàn)以s=x-1代入上式，得勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，此時k的取值范圍為9/13/202326[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)特征方程的根的實數(shù)部分討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點離虛軸遠近外，還要考慮共軛極點的振蕩情況。對于共軛極點，其實部反映響應的衰減快慢，虛部反映響應的振蕩情況。對于極點，對應的時域響應為。所以，越小，衰減越慢，越大，振蕩越激烈。如下圖示意：可用共軛極點對負實軸的張角來表示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。當時，表示極點在虛軸上，系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定。越小，穩(wěn)定性越高。相對穩(wěn)定性越好。9/13/202327討論相對穩(wěn)定性除了考慮極點離虛軸遠近外，還要三、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施僅僅調(diào)節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施-杠桿和放大器的傳遞函數(shù)執(zhí)行電機的傳遞函數(shù)進水閥門的傳遞函數(shù)控制對象水箱的傳遞函數(shù)例：如圖所示的液位控制系統(tǒng)9/13/202328三、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)僅僅調(diào)節(jié)參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：閉環(huán)特征方程為：展開為：方程系數(shù)：由于，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。這也可從勞斯表看出。勞斯表：由于無論怎樣調(diào)節(jié)參數(shù)K和T都不能使系統(tǒng)穩(wěn)定，所以是一個結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變原系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。9/13/202329結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施閉環(huán)傳遞函數(shù)為：令：閉環(huán)特征方結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)及其改進措施由圖可看出，造成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的原因是前向