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連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.1.
實(shí)例:了解人們身高的分布身高的數(shù)據(jù)已知根據(jù)這些數(shù)據(jù)作頻率直方圖對(duì)頻率直方圖進(jìn)行考察
af
(
x)dxP(a
£
X
£
b)
=對(duì)于隨機(jī)變量X
,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)
,
x?
(-¥
,+¥
)
,使得對(duì)任意a
£
b
,
有b則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱(chēng)f(x)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度.2.
連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義3.
概率密度函數(shù)的性質(zhì)1
:
f
(
x)
?
0¥-¥2
:
f
(
x)dx
=
1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.f
(x)xo面積為1上之比的極限.
這里,如果把概率理解為質(zhì)量,f
(x)相當(dāng)于線(xiàn)密度.的概率與區(qū)間長(zhǎng)度DxX落在區(qū)間(x,x
+Dx]DxP(x
<
X
£
x
+
Dx)limDxfi
0Dx
x=
limDxfi
0=f(x)故X的密度f(wàn)(x)在x
這一點(diǎn)的值,恰好是4.
對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn),則:x+DxDxDxfi
0f
(t)dt
f
(
x)Dx=
lim
0,f
(
x)
=
kx
+
1, 0
£
x
£
2其它例:已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)k
+¥-¥f
(
x)dx
=
1
20=
1
即:(kx
+1)dx解:21(20kx
2
+
x)
=
1
2k
+
2
=
12\
k
=
-
1要注意的是,密度函數(shù)
f(x)在某點(diǎn)處a的高度,并不反映X取值的概率.
但是,這個(gè)高度越大,則X取a附近的值的概率就越大.
也可以說(shuō),在某點(diǎn)密度曲線(xiàn)的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f
(x)xo若不計(jì)高階無(wú)窮小,有:P{x
<
X
£
x
+
Dx}
=
f
(
x)Dx它表示隨機(jī)變量X取值于(x,x
+Dx]的概率近似等于f
(x)Dx.f
(x)Dx
在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的P(
X
=
xk
)
=
pk作用相類(lèi)似.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0.即:P
(
X
=
a)
=
0,a為任一指定值這是因?yàn)?/p>
aP(
X
=
a)
=
lim
P(a
£
X
<
a
+Dx)Dxfi
0a
+Dxf
(
x)dx=
limDxfi
0=
0需要指出的是:由此得,1)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X,有P(a
£
X
£
b)
=
P(a
<
X
£
b)=
P(a
£
X
<
b)=
P(a
<
X
<
b)2)P(X=a)=0而{X=a}并非不可能事件{X
?
R
-{a}}并非必然事件稱(chēng)A為幾乎不可能事件,B為幾乎必然事件.可見(jiàn),由P(A)=0,
不能推出
A
=
f由P(B)=1,
不能推出
B=S下面給出幾個(gè)隨機(jī)變量的例子.由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以,若已知密度函數(shù),該連續(xù)型隨機(jī)變量的概率規(guī)律就得到了全面描述.f
(x)xo則稱(chēng)X服從區(qū)間(a,
b)上的均勻分布,記作:X
~
U(a,
b)它的實(shí)際背景是:
隨機(jī)變量X
取值在區(qū)間(a,b)上,并且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.則X
具有(a,b)上的均勻分布.(1)若隨機(jī)變量X的概率密度為:f
(x)ab
1,
a
<
x
<
b0,
其它f
(
x)
=
b
-
a均勻分布常見(jiàn)于下列情形:如在數(shù)值計(jì)算中,由于四舍五入,小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差;公交線(xiàn)路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽車(chē)停車(chē)站的時(shí)間,即乘客的候車(chē)時(shí)間等.例1某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車(chē),即
7:00,7:15,7:30,
7:45
等時(shí)刻
有汽車(chē)到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時(shí)間
X
是7:00
到
7:30
之間的均勻隨機(jī)變量,
試求他候車(chē)時(shí)間少于5
分鐘的概率.解:以7:00為起點(diǎn)0,以分為單位依題意,X
~
U
(0,30)
1
,0
<
x
<
300,
其它f
(
x)
=
30從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車(chē),即7:00,7:15,7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站,
1
,0
<
x
<
300,
其它f
(
x)
=
3030
30
32510=
15
1
dx
+
30
1
dx
=
1即乘客候車(chē)時(shí)間少于5
分鐘的概率是1/3.候車(chē)時(shí)間X少于5
分鐘,乘客必須在7:10到7:15
之間,或在7:25
到7:30
之間到達(dá)車(chē)站.所求概率為:P{10
<
X
<
15}
+
P{25
<
X
<
30}指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中,如元件的壽命.(2)若隨機(jī)變量X具有概率密度
x
?
0x
<
0f
(
x)
=
0
le
-lxl
>
0則稱(chēng)X服從參數(shù)為l
的指數(shù)分布.常簡(jiǎn)記為X~E(
l
).
+¥-¥+¥f
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