第二章隨機(jī)變量及分布一元_第1頁(yè)
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連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間,對(duì)這種類(lèi)型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個(gè)值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過(guò)給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.下面我們就來(lái)介紹對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.1.

實(shí)例:了解人們身高的分布身高的數(shù)據(jù)已知根據(jù)這些數(shù)據(jù)作頻率直方圖對(duì)頻率直方圖進(jìn)行考察

af

(

x)dxP(a

X

b)

=對(duì)于隨機(jī)變量X

,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)

,

x?

(-¥

,+¥

)

,使得對(duì)任意a

b

,

有b則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱(chēng)f(x)為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)為概率密度或密度.2.

連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義3.

概率密度函數(shù)的性質(zhì)1

:

f

(

x)

?

0¥-¥2

:

f

(

x)dx

=

1這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)f(x)是否為某隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.f

(x)xo面積為1上之比的極限.

這里,如果把概率理解為質(zhì)量,f

(x)相當(dāng)于線(xiàn)密度.的概率與區(qū)間長(zhǎng)度DxX落在區(qū)間(x,x

+Dx]DxP(x

<

X

x

+

Dx)limDxfi

0Dx

x=

limDxfi

0=f(x)故X的密度f(wàn)(x)在x

這一點(diǎn)的值,恰好是4.

對(duì)f(x)的進(jìn)一步理解:若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn),則:x+DxDxDxfi

0f

(t)dt

f

(

x)Dx=

lim

0,f

(

x)

=

kx

+

1, 0

x

2其它例:已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)k

+¥-¥f

(

x)dx

=

1

20=

1

即:(kx

+1)dx解:21(20kx

2

+

x)

=

1

2k

+

2

=

12\

k

=

-

1要注意的是,密度函數(shù)

f(x)在某點(diǎn)處a的高度,并不反映X取值的概率.

但是,這個(gè)高度越大,則X取a附近的值的概率就越大.

也可以說(shuō),在某點(diǎn)密度曲線(xiàn)的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f

(x)xo若不計(jì)高階無(wú)窮小,有:P{x

<

X

x

+

Dx}

=

f

(

x)Dx它表示隨機(jī)變量X取值于(x,x

+Dx]的概率近似等于f

(x)Dx.f

(x)Dx

在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的P(

X

=

xk

)

=

pk作用相類(lèi)似.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0.即:P

(

X

=

a)

=

0,a為任一指定值這是因?yàn)?/p>

aP(

X

=

a)

=

lim

P(a

X

<

a

+Dx)Dxfi

0a

+Dxf

(

x)dx=

limDxfi

0=

0需要指出的是:由此得,1)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X,有P(a

X

b)

=

P(a

<

X

b)=

P(a

X

<

b)=

P(a

<

X

<

b)2)P(X=a)=0而{X=a}并非不可能事件{X

?

R

-{a}}并非必然事件稱(chēng)A為幾乎不可能事件,B為幾乎必然事件.可見(jiàn),由P(A)=0,

不能推出

A

=

f由P(B)=1,

不能推出

B=S下面給出幾個(gè)隨機(jī)變量的例子.由于連續(xù)型隨機(jī)變量唯一被它的密度函數(shù)所確定.所以,若已知密度函數(shù),該連續(xù)型隨機(jī)變量的概率規(guī)律就得到了全面描述.f

(x)xo則稱(chēng)X服從區(qū)間(a,

b)上的均勻分布,記作:X

U(a,

b)它的實(shí)際背景是:

隨機(jī)變量X

取值在區(qū)間(a,b)上,并且取值在(a,b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.則X

具有(a,b)上的均勻分布.(1)若隨機(jī)變量X的概率密度為:f

(x)ab

1,

a

<

x

<

b0,

其它f

(

x)

=

b

-

a均勻分布常見(jiàn)于下列情形:如在數(shù)值計(jì)算中,由于四舍五入,小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差;公交線(xiàn)路上兩輛公共汽車(chē)前后通過(guò)某汽車(chē)停車(chē)站的時(shí)間,即乘客的候車(chē)時(shí)間等.例1某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車(chē),即

7:00,7:15,7:30,

7:45

等時(shí)刻

有汽車(chē)到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時(shí)間

X

是7:00

7:30

之間的均勻隨機(jī)變量,

試求他候車(chē)時(shí)間少于5

分鐘的概率.解:以7:00為起點(diǎn)0,以分為單位依題意,X

U

(0,30)

1

,0

<

x

<

300,

其它f

(

x)

=

30從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車(chē),即7:00,7:15,7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站,

1

,0

<

x

<

300,

其它f

(

x)

=

3030

30

32510=

15

1

dx

+

30

1

dx

=

1即乘客候車(chē)時(shí)間少于5

分鐘的概率是1/3.候車(chē)時(shí)間X少于5

分鐘,乘客必須在7:10到7:15

之間,或在7:25

到7:30

之間到達(dá)車(chē)站.所求概率為:P{10

<

X

<

15}

+

P{25

<

X

<

30}指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中,如元件的壽命.(2)若隨機(jī)變量X具有概率密度

x

?

0x

<

0f

(

x)

=

0

le

-lxl

>

0則稱(chēng)X服從參數(shù)為l

的指數(shù)分布.常簡(jiǎn)記為X~E(

l

).

+¥-¥+¥f

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