新教材北師大版數(shù)學(xué)章末測(cè)評(píng)第1章三角函數(shù)

章末綜合測(cè)評(píng)(一)三角函數(shù)(滿分：150分時(shí)間：120分鐘)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．下列說法中，正確的是()A．長為1的弧所對(duì)的圓心角是1弧度的角B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．－830°是第二象限角D．－124°與236°是終邊相同的角D[因?yàn)?36°＝－124°＋360°，所以－124°與236°是終邊相同的角，故選D.]2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))的值為()A．eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)D[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π))＝－cosα＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5).]3．半徑為2，圓心角為eq\f(π,3)的扇形的面積為()A．eq\f(4π,3)B．πC．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,3)[答案]C4．已知P(－3，4)是角α終邊上一點(diǎn)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A．－eq\f(3,5)B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)A[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(3,5).]5．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均為正的常數(shù))的最小正周期為π，當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是()A．f(2)<f(－2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(－2)A[由題意，T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，則f(x)＝Asin(2x＋φ)，而當(dāng)x＝eq\f(2π,3)時(shí)，2×eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(A>0)，則當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，即x＝eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z時(shí)，f(x)取得最大值．要比較f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判斷2，－2，0與最近的最高點(diǎn)處對(duì)稱軸的距離大小，距離越大，值越小，易知0，2與eq\f(π,6)比較近，－2與－eq\f(5π,6)比較近，所以，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝eq\f(π,6)，此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(π,6)))≈，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,6)))≈，，當(dāng)k＝－1時(shí)，x＝－eq\f(5π,6)，此時(shí)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))))≈，所以f(2)<f(－2)<f(0)，故選A.]6．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是()A．y＝cos|2x| B．y＝|sinx|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))D[y＝cos|2x|是偶函數(shù)，y＝|sinx|是偶函數(shù)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x是偶函數(shù)，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))＝－sin2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式得其最小正周期T＝π.]7．函數(shù)y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)的部分圖象大致為()ABCDD[當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，故排除A，C，當(dāng)x→＋∞時(shí)，y→1＋x，故排除B，滿足條件的只有D，故選D.]8．已知某帆船中心比賽場(chǎng)館區(qū)的海面上每天海浪高度y(米)可看作是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t)，經(jīng)長期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋B，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)：t/時(shí)03691215182124y/米2eq\f(3,2)1eq\f(3,2)2eq\f(3,2)eq\f(3,2)2則最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()A．y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1B．y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋eq\f(3,2)C．y＝2coseq\f(π,6)t＋eq\f(3,2)D．y＝eq\f(1,2)cos6πt＋eq\f(3,2)[答案]B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列函數(shù)中，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為單調(diào)增函數(shù)的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))C．y＝sin2x D．y＝tanx[答案]BD10．已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，則下面結(jié)論正確的是()A．把曲線C1向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2B．把曲線C1向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長度，得到曲線C2AD[因?yàn)镃1，C2函數(shù)名不同，所以先將C2利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成與C1相同的函數(shù)名，則C2：y＝sin(2x＋eq\f(2π,3))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，則把曲線C1向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長度變?yōu)閥＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線C2，故A正確．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標(biāo)不變，變?yōu)閥＝cos2x，再將曲線向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位得到C2，故D正確．]11．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))，則下列說法中不正確的是()A．函數(shù)f(x)的周期是eq\f(π,4)B．函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是x＝eq\f(π,3)C．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上為減函數(shù)D．函數(shù)f(x)是偶函數(shù)ACD[由題意知f(x)的周期是eq\f(π,2)；因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝1是最大值，故在區(qū)間[eq\f(2π,3)，eq\f(5π,6)]上不可能單調(diào)遞減；因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))≠feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))，故不可能是偶函數(shù)，故選ACD.]12．關(guān)于函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≤cosx,cosx，sinx>cosx))，下列說法正確的是()A．該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)B．當(dāng)且僅當(dāng)x＝π＋kπ(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)取得最小值－1C．該函數(shù)的圖象關(guān)于x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)對(duì)稱D．當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，0＜f(x)≤eq\f(\r(2),2)CD[畫出f(x)在一個(gè)周期[0，2π]上的圖象．由圖象知，函數(shù)f(x)的最小正周期為2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，該函數(shù)都取得最小值－1，故AB錯(cuò)誤，由圖象知，函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)對(duì)稱，在2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，0＜f(x)≤eq\f(\r(2),2).故CD正確．]三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13.如圖，單擺從某點(diǎn)開始來回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置O的距離s(單位：cm)和時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系為s＝2cos(πt＋eq\f(π,3))，那么單擺擺動(dòng)的頻率為_______，第二次到達(dá)平衡位置O所需要的時(shí)間為_______s.eq\f(1,2)eq\f(7,6)[單擺擺動(dòng)的頻率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,\f(2π,π))＝eq\f(1,2).當(dāng)t＝eq\f(1,6)s時(shí)，s＝0，故第一次到達(dá)平衡位置O的所需要的時(shí)間為t＝eq\f(1,6)s.所以第二次到達(dá)平衡位置O所需要的時(shí)間為eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)T＝eq\f(7,6)s.]14．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(3,5)，其中α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則α＋β＝________．eq\f(π,2)[由已知得sinα＝cosβ，∵cosβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，∴sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,2)－β，故α＋β＝eq\f(π,2).]15．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，當(dāng)0≤x≤π時(shí)，f(x)＝0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝________．eq\f(1,2)[由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋π))＝f(x)＋sinx，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)))＋sineq\f(17π,6)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)))＋sineq\f(11π,6)＋eq\f(1,2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＋sineq\f(5π,6)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]16．已知函數(shù)y＝sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上為增函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π，0))對(duì)稱，則ω的取值集合為________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，1))[x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則ωx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(ωπ,2)))，因?yàn)閥＝sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以eq\f(ωπ,2)≤eq\f(π,2)，即0<ω≤1；又y＝sinωx圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π，0))對(duì)稱，則sin3πω＝0，所以eq\f(kπ,ω)＝3π，解得ω＝eq\f(k,3)，再結(jié)合0<ω≤1可得ω＝eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，1]四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)已知角x的終邊過點(diǎn)P(1，eq\r(3)).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－x))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))的值；(2)寫出角x的集合S.[解]∵角x的終邊過點(diǎn)P(1，eq\r(3))，∴r＝|OP|＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.∴sinx＝eq\f(\r(3),2)，cosx＝eq\f(1,2).(1)原式＝sinx－cosx＝eq\f(\r(3)－1,2).(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π))時(shí)，x＝eq\f(π,3)，所以，角x的集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).18．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1(A>0，ω>0)的最大值為3，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(π,2).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求曲線y＝f(x)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；(3)設(shè)α是銳角，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2，求α的值．[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最大值為3，所以A＋1＝3，即A＝2.因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，所以最小正周期為T＝π.所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.故函數(shù)f(x)的解析式為y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1.(2)由2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以其對(duì)稱中心為點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z.(3)因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋1＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又因?yàn)?<α<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,6)<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,3).所以α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6).故α＝eq\f(π,3).19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a，a為常數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，|f(x)|的最大值為3，求a的值．[解](1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a.所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，f(x)∈[－1＋a，2＋a]，故a＝－2或1.20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示．(1)求此函數(shù)的解析式；(2)求此函數(shù)在[－2π，2π]上的遞增區(qū)間．[解](1)由函數(shù)的圖象知，A＝2eq\r(3)，eq\f(T,2)＝6－(－2)＝8，∴周期T＝16，∵T＝eq\f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8)，∴y＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))，∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，－2eq\r(3))，∴eq\f(π,8)×2＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，即φ＝2kπ－eq\f(3π,4)，又|φ|<π，∴φ＝－eq\f(3π,4)，∴函數(shù)的解析式為y＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3π,4))).(2)由已知得2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,8)x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即16k＋2≤x≤16k＋10，k∈Z，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16k＋2，16k＋10))，k∈Z，當(dāng)k＝－1時(shí)，為[－14，－6]，當(dāng)k＝0時(shí)，為[2，10]，∵x∈[－2π，2π]，∴函數(shù)在[－2π，2π]上的遞增區(qū)間為[－2π，－6]和[2，2π].21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的圖象的一條對(duì)稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(3)畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象．[解](1)因?yàn)閤＝eq\f(π,8)是函數(shù)y＝f(x)的圖象的對(duì)稱軸，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1，即eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.因－π<φ<0，所以k＝－1時(shí)得φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)知φ＝－eq\f(3π,4)，因此y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4))).由題意得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，(k∈Z)，所以函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\]