第二章-矢量分析課件

第一章矢量分析主要內容梯度、散度、旋度、亥姆霍茲定理6學時0.

矢量及其運算標量場和矢量場矢量場的散度矢量場的旋度標量場的梯度亥姆霍姿定理12九月20231第一章矢量分析主要內容0.矢量及其1.0矢量及其運算

直角坐標系

矢量表示矢量代數(shù)矢量微積分12九月202321.0矢量及其運算直角坐標系01八月20232直角坐標系三變量xyz

坐標表示線元面元體積元

12九月20233直角坐標系三變量xyz

標量

一個只用它的大小就能完整的描述的物理量稱為標量。如：時間、質量、溫度、功、速率等。

矢量

一個有大小和方向的物理量稱為矢量。如：力、速度、力矩等。矢量表示12九月20234標量矢量表示01八月20234幾何法代數(shù)表示矢量表示單位矢量（unitvector）：

的模值：方向余旋：

12九月20235幾何法矢量表示單位矢量（unitvector）矢量加減法矢量代數(shù)12九月20236矢量加減法矢量代數(shù)01八月20236矢量乘積數(shù)乘標量積矢量代數(shù)12九月20237矢量乘積矢量代數(shù)01八月20237標量積結論單位矢量交換率分配率兩矢量垂直的充分必要條件：標量積等于零。

矢量代數(shù)12九月20238標量積結論矢量代數(shù)01八月20238矢量乘積數(shù)乘標量積矢量積矢量代數(shù)12九月20239矢量乘積矢量代數(shù)01八月20239矢量積結論

單位矢量交換率分配率：兩矢量平行的充分必要條件：矢量積等于零。矢量代數(shù)12九月202310矢量積結論矢量代數(shù)01八月202310矢量函數(shù)矢量微積分矢量函數(shù)的導數(shù)

對空間坐標的導數(shù)12九月202311矢量函數(shù)矢量微積分矢量函數(shù)的導數(shù)對空間矢量微積分矢量函數(shù)的導數(shù)

對空間坐標的導數(shù)

對時間的導數(shù)矢量函數(shù)的積分

12九月202312矢量微積分矢量函數(shù)的導數(shù)對空間坐標的導數(shù)1.1矢量場和標量場

場的概念標量場的等值線矢量場的矢量線12九月2023131.1矢量場和標量場場的概念01八月20231場的概念1.場的概念

任何物理過程總是在一定空間上發(fā)生，對應的物理量在空間區(qū)域按特定的規(guī)律分布。如：

電荷在其周圍空間激發(fā)電場的分布電流在周圍空間激發(fā)磁場的分布地球上太陽及其他原因激發(fā)溫度的分布在空間區(qū)域上每一點有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了該物理量的場12九月202314場的概念1.場的概念01八月202314標量場：若所研究的物理量是標量，這樣的場稱為標量場。如溫度場、密度場、電位場等；矢量場：若所研究的物理量是矢量，這樣的場稱為矢量場。如速度場、引力場、電場、磁場等。標量場與矢量場12九月202315標量場：若所研究的物理量是標量，這樣的場稱為標量場。如溫度場臺灣海峽表面海水鹽度分布福建省臺灣島12九月202316臺灣海峽表面海水鹽度分布福建省臺灣島01八月20231612九月20231701八月202317場（field）是描述空間中所有點上的某一物理量的函數(shù)。靜態(tài)場動態(tài)場

StaticfieldTime-varyingfield

標量場矢量場靜態(tài)場與動態(tài)場12九月202318場（field）是描述空間中所有點上的某一物理量的函數(shù)。靜態(tài)等值面空間內標量值相等的點的集合所形成的曲面。等值面方程

u（x,y,z）=C

（C

為任意常數(shù)）標量場的等值面12九月202319等值面空間內標量值相等的點的集合所形成的曲面。標量場的等矢量場的矢量線為描述矢量場的方向和數(shù)值，除直接用矢量的數(shù)值和方向來表示矢量場外，還用矢量線來描述矢量場分布。所謂矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向為該點矢量的方向。12九月202320矢量場的矢量線為描述矢量場的方向和數(shù)值，除直接用矢量的數(shù)值和矢量線是這樣的一些曲線，線上每一點的切線方向都代表該點的矢量場的方向。

矢量線的意義（矢量線的任一點的切向和Ｆ平行）

矢量線方程：12九月202321矢量線是這樣的一些曲線，線上每一點的切線方向都代表該點的矢量1.2矢量場的散度

通量散度高斯通量定理12九月2023221.2矢量場的散度通量01八月202矢量在場中某一個曲面上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量。通量flowofflux

12九月202323矢量在場中某一個曲面上的面積分，稱為該矢量場通過此曲面的通量通量可認為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；模1F1等于在某點與1F1垂直的單位面積上通過的矢量線的數(shù)目，1F1又稱為通量面密度矢量。>0(有正源)<0(有負源)=0(無源)通量

flowofflux

12九月202324通量可認為是穿過1S1面的矢量線的總數(shù)，故矢量線又叫通量線；通量是由1S1內的通量源決定，而通量是一個積分量，僅能說明較大范圍內的源分布情況，而不能說明每一點的性質。引入散度概念。散度divergence定義：散度是通量對體積的變化率（單位體積內所穿出的通量），所以散度又稱為通量源密度。12九月202325通量是由1S1內的通量源決定，而通量是一個積分量，僅能說明較計算：散度divergence哈密頓（Hamilton）算子,12九月202326計算：散度divergence哈密頓（Hamil

散度的物理意義

矢量的散度是一個標量，是空間坐標

點的函數(shù)；散度代表矢量場的通量源的分布特性。

?

A=0(無源）

?A=0(負源)

?A=0(正源)

在矢量場中，若

?A=0，稱之為有源場，

稱為(通量)源密度；若矢量場中處處

?A=0，稱之為無源場。散度

divergence12九月202327散度的物理意義矢量的散度是一個標量，是空間坐標?A=高斯通量定理已知：因為：為的體密度所以：高斯通量定理故：因為：為的體密度12九月202328高斯通量定理已知：因為：為的體密度所以：高斯通量定理故：因為例1.2-1點電荷位于坐標原點，在離其處產生的電通量密度為：其中，求任意點處電通量密度的散度；并求穿出以為半徑的球面的電通量。解同理可得所以12九月202329例1.2-1點電荷位于坐標原點，在離其處產生的電通量密度

可見，除點電荷所在源點（）外，空間各點的D的散度均為0。接例1.2-1所以12九月202330可見，除點電荷所在源點（）外，空間各點的D的散度均為0。接

矢量場的環(huán)量

旋度

斯托克斯定理1.3矢量場的旋度12九月202331矢量場的環(huán)量1.3矢量場的旋度01八月2旋渦12九月202332旋渦01八月202332該環(huán)量表示繞線旋轉趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動

=0，無渦旋運動流體做渦旋運動

0，有產生渦旋的源環(huán)量矢量F

沿空間有向閉合曲線L

的線積分環(huán)量circulation例：流速場12九月202333該環(huán)量表示繞線旋轉趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方流體做渦

環(huán)量密度過點P作一微小曲面

S，它的邊界曲線記為

L，面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當

S

點P時，存在極限環(huán)量密度取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。旋度rotation12九月202334環(huán)量密度過點P作一微小曲面S，它的邊界曲線記為L，面的

定義旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大環(huán)量密度的方向。它與環(huán)量密度的關系為：在直角坐標系下旋度rotation

計算12九月202335定義旋度是一個矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向為最大

旋度的物理意義1

旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)；某點旋度的大小是該點環(huán)量密度的最

大值；某點旋度的方向是該點最大環(huán)量密度

的方向；在矢量場中，若,稱之為

旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源

(或渦旋源)；若矢量場處處

稱之為無旋場。旋度rotation12九月202336旋度的物理意義1旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數(shù)；旋旋度rotation

旋度的物理意義2

扽可得：若那么存在一個A使得（矢量磁位A）；

扽可得：若那么存在一個u使得（標量電位u）。12九月202337旋度rotation旋度的物理意義2扽可得：斯托克斯定理

(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線積分與面積分的相互轉化。圖斯托克斯定理——斯托克斯定理

在電磁場理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個非常重要的公式。12九月202338斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函1.4標量場的梯度

方向導數(shù)梯度12九月2023391.4標量場的梯度方向導數(shù)01八月202339研究的是標量在某點沿某一方向的變化率問題(directionalderivative)。

方向導數(shù)lM0U計算：定義：12九月202340研究的是標量在某點沿某一方向的變化率問題(direction在這無窮多個方向中哪個方向的變化率最大？

定義：梯度gradient

12九月202341在這無窮多個方向中哪個方向的變化率最大？定義：梯度表明gradu在L方向上的投影正好等于函數(shù)u(x,y,z)在該方向上的方向導數(shù)，當gradu與L方向一致時，即：方向導數(shù):。梯度gradient

那么，梯度gradu就是u(M)變化率最大的方向。12九月202342表明gradu在L方向上的投影正好等于函數(shù)u(x,y,z)在哈密頓（Hamilton）算子梯度gradient

12九月202343哈密頓（Hamilton）算子梯度gradie

梯度的物理意義1

標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數(shù)；梯度的大小為該點標量函數(shù)的最大變化率，即該點最大方向導數(shù)；梯度的方向為該點最大方向導數(shù)的方向,

即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向。梯度gradient

12九月202344梯度的物理意義1標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標例1

三維高度場的梯度例2

電位場的梯度高度場的梯度

與過該點的等高線垂直；

數(shù)值等于該點位移的最

大變化率；

指向地勢升高的方向。電位場的梯度

與過該點的等位線垂直；

指向電位增加的方向。

數(shù)值等于該點的最大方向導數(shù)；

三維高度場的梯度電位場的梯度梯度gradient

梯度的物理意義212九月202345例1三維高度場的梯度例2電位場的梯度高度場的梯度與例1.4-1求在M0（1，0，1）點沿的方向導數(shù)。梯度gradient

解：12九月202346例1.4-1求在M0（1，0，例1.4-2求在M0（2，-1，1）點沿的方向導數(shù)。梯度gradient

解：或者：12九月202347例1.4-2求在M0（2，-11.5亥姆霍茲定理

亥姆霍茲定理矢量場的分類亥姆霍茲定理的意義12九月2023481.5亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理01八月20234亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。（矢量F惟一地確定）電荷密度

電流密度J場域邊界條件在電磁場中已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件12九月202349亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：（矢量F惟一地確定）電荷密度在電矢量場的分類無旋場 或無源場或有旋場有源場

對于一個既有源又有旋的矢量場，可以看認為是一個有旋無源場和一個有源無旋場的疊加；12九月202350矢量場的分類無旋場01八月202350以上兩式的含義：矢量場是由場的源所引起的，已知了散度源和旋度源就可以唯一確定續(xù)前12九月202351以上兩式的含義：續(xù)前01八月202351例試判斷下列各圖中矢量場的性質。00000012九月202352例試判斷下列各圖中矢量場的性質。00000001八亥姆霍茲定理的意義亥姆霍茲定理：在有限區(qū)